第八章塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系課件

第八章塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系目標(biāo)：1）掌握彈性變形與塑性變形的特征3)了解塑性理論的基本框架2)掌握全量理論、增量理論的基本假設(shè)及其的不同點(diǎn)第八章塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系目標(biāo)：1）掌握彈性變形與塑性變形的§8.1彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系一、彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（廣義虎克定律）：在彈性變形中，既有形狀變化又有體積變化。有必要將兩種變化區(qū)分開(kāi)來(lái)，看看彈性變形中這兩種變形各自對(duì)應(yīng)什么樣的應(yīng)力狀態(tài)。問(wèn)題的思路？§8.1彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系一、彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（廣義虎克定律一、彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系由全應(yīng)變分量減去平均應(yīng)變得到偏應(yīng)變分量：將虎克定律前三式相加得：a)平均應(yīng)變與平均應(yīng)力b)偏應(yīng)變與偏應(yīng)力一、彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系由全應(yīng)變分量減去平均應(yīng)變得到偏應(yīng)變分量：一、彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（續(xù)）類似有：對(duì)應(yīng)力分量，有：式中：稱為體積彈性模量，表示產(chǎn)生單位體積變形所需要的應(yīng)力。

（廣義胡克定律的另一形式）一、彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（續(xù)）類似有：對(duì)應(yīng)力分量，有：式中：二、彈性變形的特征展開(kāi)廣義胡克定律：C)等效應(yīng)變與等效應(yīng)力二、彈性變形的特征展開(kāi)廣義胡克定律：C)等效應(yīng)變與等效應(yīng)力二、彈性變形的特征（續(xù)）

與比較得量E＝3G，這是由于在等效應(yīng)變的定義式中，系數(shù)的選擇已經(jīng)考慮到材料是不可壓縮的，泊松比ν取值為0.5的緣故。

二、彈性變形的特征（續(xù)）與比較得量E＝3G，這是由于在等效二、彈性變形的特征（續(xù)2）彈性變形的特征：1．彈性變形可以分解為形狀變化部份和體積變化部份。形狀變化只和偏應(yīng)力有關(guān)；體積變化只和球應(yīng)力有關(guān)；2．彈性變形時(shí)，全量應(yīng)變和全量應(yīng)力之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。即知道應(yīng)力可以求得應(yīng)變；反過(guò)來(lái)，求得應(yīng)變也可以求得應(yīng)力；3．平均應(yīng)力與體積應(yīng)變成正比；4．應(yīng)力偏張量與應(yīng)變偏張量成正比；5．應(yīng)力主方向與應(yīng)變主方向重合；6．等效應(yīng)力與等效應(yīng)變成正比。二、彈性變形的特征（續(xù)2）彈性變形的特征：1．彈性變形可以分一般近似認(rèn)為體積不變，泊松比=0.5塑性變形是不可逆的應(yīng)力應(yīng)變之間的關(guān)系不一定是單值的全量應(yīng)變主軸與全量應(yīng)力主軸不一定重合應(yīng)力應(yīng)變之間的關(guān)系是非線性的塑性變形問(wèn)題一般都非常復(fù)雜。一般不可能建立應(yīng)力和應(yīng)變之間的全量關(guān)系。全量應(yīng)變的大小和主軸方向一般與加載的歷史有關(guān)。于是人們首先提出增量理論(流動(dòng)理論)的概念。只有在特殊的情況下，增量理論才可以推廣成為全量理論。§7.2塑性變形的特點(diǎn)一般近似認(rèn)為體積不變，泊松比=0.5塑性變形是§7.3全量理論(形變理論)依留申小彈塑性理論所采用的假設(shè)，與廣義胡克定律的幾點(diǎn)結(jié)論十分相似，其基本假設(shè)是：1，體積應(yīng)變是彈性的，并且與平均應(yīng)力成正比；2．應(yīng)力偏張量與應(yīng)變偏張量成正比：3．應(yīng)力主軸與應(yīng)變主軸重合，在整個(gè)加載過(guò)程中主方向保持不變；4．等效應(yīng)力是等效應(yīng)變的單值函數(shù)，即：

一、依留申理論注：在簡(jiǎn)單加載(或稱為比例加載，即個(gè)應(yīng)力分量按比例增加)情況下，應(yīng)力主軸和應(yīng)變主軸重合§7.3全量理論(形變理論)依留申小彈塑性理論所采用的假設(shè)一、依留申理論（續(xù)）上式是依留申小彈塑性理論最基本的表達(dá)式。寫成主應(yīng)力和主應(yīng)變關(guān)系的形式依留申理論的求解過(guò)程：

己知某點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)等效應(yīng)力等效應(yīng)變確定該點(diǎn)處的應(yīng)變狀態(tài)。

一、依留申理論（續(xù)）上式是依留申小彈塑性理論最基本的表達(dá)一、依留申理論（續(xù)2）依留申小彈塑性理論另一表達(dá)式：注：依留申小彈塑性理論只能用于簡(jiǎn)單加載，不能用于卸載。

一、依留申理論（續(xù)2）依留申小彈塑性理論另一表達(dá)式：注：依二、漢基理論漢基理論的基本假設(shè)是應(yīng)力偏張量與塑性應(yīng)變偏張量成比例：

二、漢基理論漢基理論的基本假設(shè)是應(yīng)力偏張量與塑性應(yīng)變偏張量成二、漢基理論（續(xù)）（漢基理論的常用表達(dá)式）二、漢基理論（續(xù)）（漢基理論的常用表達(dá)式）二、漢基理論（續(xù)2）假設(shè)在整個(gè)變形過(guò)程中材料不可壓縮，泊松比為0.5，則簡(jiǎn)化為：

二、漢基理論（續(xù)2）假設(shè)在整個(gè)變形過(guò)程中材料不可壓縮，泊松比二、漢基理論（續(xù)3）二、漢基理論（續(xù)3）三、彈塑性問(wèn)題全量理論的基本方程組

設(shè)在變形體V內(nèi)給定體積力、在力邊界上給定面力、在位移邊界上給定位移，現(xiàn)在要求物體內(nèi)各點(diǎn)處的應(yīng)力、應(yīng)變和位移，確定這些物理量的方程為：1．平衡方程

2．幾何方程(應(yīng)變—位移關(guān)系)

3．應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系①依留申理論

式中：②漢基理論

三、彈塑性問(wèn)題全量理論的基本方程組設(shè)在變形體V內(nèi)給定體積力三、彈塑性問(wèn)題全量理論的基本方程組（續(xù)）4．邊界條件a)在力邊界上滿足應(yīng)力邊界條件b)在位移邊界上滿足位移邊界條件

在全量理論中，有十七個(gè)待確定的量：

六個(gè)應(yīng)力分量、六個(gè)應(yīng)變分量，三個(gè)位移分量，等效應(yīng)力和等效應(yīng)變。有十七個(gè)方程：

三個(gè)平衡方程、六個(gè)幾何方程、六個(gè)應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系，以及等效應(yīng)力和等效應(yīng)變的關(guān)系；再結(jié)合適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，可以從數(shù)學(xué)上求解。

三、彈塑性問(wèn)題全量理論的基本方程組（續(xù)）4．邊界條件在全量理§7.4增量理論(流動(dòng)理論)列維和密賽斯等人先后提出了分析塑性變形的增量理論，其基本假設(shè)為：(為非負(fù)比例常數(shù))1）材料是理想剛塑性的，即滿足體積不變體積，且沒(méi)有加工硬化；2）服從Mises屈服準(zhǔn)則，即：3）應(yīng)力主軸和應(yīng)變?cè)隽恐鬏S重合；4）應(yīng)變?cè)隽亢蛻?yīng)力偏張量成正比，即a)基本假設(shè)一、列維和密賽斯（Le’vy-Mises)增量理論§7.4增量理論(流動(dòng)理論)列維和密賽斯等人先后提出了分析b)列維和密賽斯增量理論表達(dá)式為了計(jì)算上述常數(shù)，在主應(yīng)力分量已知時(shí)將上式改寫成：上式表明應(yīng)力莫爾圓和應(yīng)變莫爾圓幾何相似(但位置可能不同)。將上式改寫成：利用等比關(guān)系得：b)列維和密賽斯增量理論表達(dá)式為了計(jì)算上述常數(shù)，在主應(yīng)力分將式子兩邊的三項(xiàng)分別相加得：于是：b)列維和密賽斯增量理論表達(dá)式（續(xù)）得到列維-密賽斯增量理論表達(dá)式為：依留申理論的求解過(guò)程：1）己知某點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)偏應(yīng)力分量可求出應(yīng)變比值（不能應(yīng)變狀態(tài)）。

2）己知某點(diǎn)處的應(yīng)變狀態(tài)等效應(yīng)變偏應(yīng)力分量（求不應(yīng)力分量）。將式子兩邊的三項(xiàng)分別相加得：于是：b)列維和密賽斯增量理論b)列維和密賽斯增量理論其他表達(dá)式可以將增量理論寫成類似于虎克定律的形式：b)列維和密賽斯增量理論其他表達(dá)式可以將增量理論寫成類似于二、普朗特—?jiǎng)谒估碚摚≒randtl-Reuss)增量理論

普朗特—?jiǎng)谒估碚撌窃诹芯S—密席斯理論的基礎(chǔ)上考慮了彈性變形部分。普朗特—?jiǎng)谒估碚撗芯繉?duì)象是理想彈塑性材料。

采用密席斯屈服條件，則

（普朗特—?jiǎng)谒估碚摫磉_(dá)式）二、普朗特—?jiǎng)谒估碚摚≒randtl-Reuss)增量理論普朗特—?jiǎng)谒估碚摿硪槐磉_(dá)式為單位體積材料發(fā)生形狀變化時(shí)所作功的增量

設(shè)：普朗特—?jiǎng)谒估碚摿硪槐磉_(dá)式為單位體積材料發(fā)生形狀變化時(shí)所作功證明：

以、、、、、分別乘以上式的兩邊，相加得：

證明：以、、、、證明：取增量形式得：

由密席斯屈服條件得：

證明：取增量形式得：由密席斯屈服條件得：三、彈塑性問(wèn)題增量理論的基本方程組

設(shè)在變形體V內(nèi)給定體積力、在力邊界上給定面力、在位移邊界上給定位移，現(xiàn)在要求物體內(nèi)各點(diǎn)處的應(yīng)力、應(yīng)變和位移，確定這些物理量的方程為：1．平衡方程

2．幾何方程(應(yīng)變—位移關(guān)系)

3．應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系①?gòu)椥詤^(qū)，取廣義胡克定律的增量形式：

②塑性區(qū)，按普朗特—?jiǎng)谒估碚摾碚摚芯S和密賽斯理論是簡(jiǎn)化式）

三、彈塑性問(wèn)題增量理論的基本方程組設(shè)在變形體V內(nèi)給定體積力三、彈塑性問(wèn)題增量理論的基本方程組（續(xù)）4．邊界條件a)在力邊界上滿足應(yīng)力邊界條件b)在位移邊界上滿足位移邊界條件

在全量理論中，有十七個(gè)待確定的量：

六個(gè)應(yīng)力分量、六個(gè)應(yīng)變分量，三個(gè)位移分量，等效應(yīng)力和等效應(yīng)變。有十七個(gè)方程：

三個(gè)平衡方程、六個(gè)幾何方程、六個(gè)應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系，以及等效應(yīng)力和等效應(yīng)變的關(guān)系；再結(jié)合適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，可以從數(shù)學(xué)上求解。

三、彈塑性問(wèn)題增量理論的基本方程組（續(xù)）4．邊界條件在全量理練習(xí)：已知單拉實(shí)驗(yàn)中應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為 ，試確定等效應(yīng)力和等效應(yīng)變之間的關(guān)系 。練習(xí)：一薄壁管，屈服應(yīng)力為，承受拉力和扭矩的組合載荷而屈服?，F(xiàn)已知正應(yīng)力分量為，試求1)剪應(yīng)力的大??；2)主應(yīng)力的大??；和3)各應(yīng)變分量之間的比值。練習(xí)：已知應(yīng)力狀態(tài)為，應(yīng)變分量。試求其它應(yīng)變分量。練習(xí)：已知單拉實(shí)驗(yàn)中應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為 ，試確定等效應(yīng)力練習(xí)：試估算圖示橡皮壓筋時(shí)筋部的主應(yīng)變和主應(yīng)力。練習(xí)：變形前在板坯上做好半徑為R的圓，變形后稱為長(zhǎng)半軸為A短半軸為B的橢圓。假設(shè)厚度方向不受力，材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為 ，并假設(shè)變形過(guò)程為簡(jiǎn)單加載。求：1)各主應(yīng)變分量；2)變形后厚度；3)各主應(yīng)力分量。練習(xí)：試估算圖示橡皮壓筋時(shí)筋部的主應(yīng)變和主應(yīng)力。練習(xí)：變形前§7.6單一曲線假設(shè)關(guān)于等效應(yīng)變于等效應(yīng)力的全量關(guān)系，目前應(yīng)用較多的是單一曲線假設(shè)