彈塑性力學(xué)問題的微分提法與基本解法

第四章彈塑性力學(xué)問題的微分

提法與基本解法

福州大學(xué)結(jié)構(gòu)工程研究所

卓衛(wèi)東博士2023/8/181002第四章彈塑性力學(xué)問題的微分提法與基本解法

引言基本方程彈塑性力學(xué)問題的微分提法彈性力學(xué)問題的基本解法解的唯一性定理

圣維南原理疊加原理2023/8/182第四章彈塑性力學(xué)問題的微分提法與基本解法引言（Introduction）彈塑性力學(xué)理論的主要任務(wù)是研究可變形固體在外部因素（例如外力、溫度變化等）作用下的應(yīng)力和變形分布規(guī)律。求解彈塑性力學(xué)問題的目的，也在于求出固體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力和位移，即固體內(nèi)的應(yīng)力場和位移場。

2023/8/183第四章彈塑性力學(xué)問題的微分提法與基本解法引言（Introduction）在前面三章里，我們已經(jīng)建立了一個彈塑性力學(xué)問題所滿足的全部基本方程，它們包括：平衡（運(yùn)動）微分方程幾何方程和應(yīng)變協(xié)調(diào)方程本構(gòu)方程幾何關(guān)系平衡關(guān)系物理關(guān)系（本構(gòu)關(guān)系）線彈性本構(gòu)方程塑性本構(gòu)方程增量形式全量形式2023/8/184第四章彈塑性力學(xué)問題的微分提法與基本解法引言（Introduction）——本章學(xué)習(xí)要點(diǎn)彈塑性力學(xué)問題的微分提法彈塑性力學(xué)問題的兩種基本解法：

位移解法

應(yīng)力解法彈塑性力學(xué)問題的幾個基本原理：

解的唯一性原理

圣維南原理

線彈性問題的疊加原理2023/8/185第四章彈塑性力學(xué)問題的微分提法與基本解法基本方程——平衡（運(yùn)動）微分方程（Navier方程）

或簡寫形式：2023/8/186第四章彈塑性力學(xué)問題的微分提法與基本解法基本方程——幾何方程之Cauchy方程

或簡寫形式：2023/8/187第四洲章略彈塑哀性力較學(xué)問落題的怕微分午提法貍與基泡本解掛法基本兵方程——幾何販方程殼之Sa團(tuán)in域tVe坑na徒nt方程20毅23吹/7憶/68第四踩章樹彈塑棋性力韻學(xué)問嫂題的痕微分轎提法崗與基抬本解仆法基本污方程——本構(gòu)塊方程哨之廣屯義Ho抖ok穩(wěn)e定理婆（各決向同光性彈心性體繁）或簡委寫形慶式：20要23嘴/7他/69第四李章扒彈塑荷性力食學(xué)問鬼題的鳥微分禽提法馳與基脆本解綢法基本積方程——本構(gòu)嚷方程騙之廣旋義Ho序ok仁e定理況（各貨向同衛(wèi)性彈駕性體碧）或簡沈?qū)懶翁剖剑?0溫23紛/7廊/610第四纖章嘆彈塑追性力雜學(xué)問鹽題的梨微分受提法協(xié)與基用本解硬法基本細(xì)方程——本構(gòu)型方程債之Pr脅an氣dt化l-確Re容us攤s流動隔法則或簡襪寫形崖式：20攔23蠶/7列/611第四洞章賊彈塑黎性力倍學(xué)問辨題的兇微分鴨提法冷與基甜本解龜法基本嘴方程——本構(gòu)市方程慈之Le賢vy譜-Mi摔se孝s流動乳法則或簡完寫形擇式：20韻23千/7堆/612第四師章山彈塑動性力叉學(xué)問康題的寇微分慰提法啦與基午本解漆法基本鍛方程——本構(gòu)抵方程笛之依止留申詠本構(gòu)渠方程或簡北寫形遺式：20蝴23具/7載/613第四宇章雨彈塑杯性力養(yǎng)學(xué)問鎮(zhèn)題的軍微分罵提法施與基態(tài)本解短法基本難方程——小動結(jié)概括孕起來吐，對矩一個推具體匆的彈裕塑性瓦力學(xué)誰問題訊，當(dāng)認(rèn)固體但內(nèi)的奪所有石質(zhì)點(diǎn)怒都處上于彈完性階乞段時呀，它凍需要誕滿足海的基萬本方劃程一草共有15個：3個平敗衡微管分方您程，6個幾浪何方歪程和6個本勻構(gòu)方鳥程。扭在這15個方界程中抽，正陪好包年含15個未他知函區(qū)數(shù)：6個應(yīng)透力分解量，6個應(yīng)章變分帶量和3個位先移分不量。因胖此，大從數(shù)順學(xué)上黑看，逆在給乘定問猛題的嗽邊界連條件勿時，凡這些井未知鍵函數(shù)家是可擴(kuò)以求訊解的賢。20腔23究/7皇/614第四漁章名彈塑沖性力筋學(xué)問兼題的講微分茶提法植與基每本解黨法基本陽方程——小門結(jié)當(dāng)固抵體內(nèi)惹的部欠分或敗全部勸質(zhì)點(diǎn)府處于嶼塑性予階段宗時，婆問題達(dá)就相辣對復(fù)俱雜多曾了。對固尺體內(nèi)篇的彈性昆區(qū)，它坑需要蘭滿足勝的基張本方耳程及傾求解塞方法濃都與劍上述邪一樣吳。對塑性嶺區(qū)，由胞于材金料的針變形硬規(guī)律盜與加據(jù)載歷炒史有炒關(guān)，率所以混，本間構(gòu)方君程一陜般都庫應(yīng)采表用增嚼量的疊形式趴，這寧樣就斤增加蘇了一胡個未視知的冷比例衛(wèi)系數(shù)刃，不筒過與曉此同賄時也另增加舟了一屬個屈服盾條件，因胞此，畫問題磁仍然波是可轎以求助解的險；在圍整個獲固體紅都是腥處于亞比例努加載低的情登況下旦，本浴構(gòu)方據(jù)程則呈可以宋采用旦全量牢的形儉式，裳此時塘，它春需要乘滿足襖的基房誠本方元程和醬求解僵方法顯就與揉彈性誤區(qū)的徒情形火相類羅似，場但由膠于本吧構(gòu)方孩程是非線茂性的，盤所以哀在求節(jié)解時借會遇潮到數(shù)丟學(xué)上蹈的困始難。20富23瓦/7肺/615第四撲章駝彈塑看性力賀學(xué)問冷題的樸微分指提法先與基島本解溪法基本包方程——邊界墾條件或簡乖寫形喘式：靜力蟻邊界滋條件誘：位移思邊界名條件康：或簡鉤寫形主式：20折23應(yīng)/7獎/616彈塑沫性力秀學(xué)問菊題的眼微分附提法——三類六偏微挎分邊面值問燦題工程麗實(shí)踐炎中，機(jī)一個仔實(shí)際握的彈多塑性膝力學(xué)厘問題覆是如侵何提節(jié)出的婆呢？粱這里嚴(yán)給出德一個雅具體瀉的表南述：設(shè)在稈固體斜內(nèi)給億定體她力Xi，在波應(yīng)力魄邊界柄上給折定面邀力Xi，在懲位移奴邊界挑上給滿定位鉗移ui，要餐求確曠定固址體內(nèi)能各點(diǎn)范的應(yīng)熄力、洽應(yīng)變終和位膝移。乓按照新上一嘗節(jié)的小討論編，這猜些未躬知量移滿足狼一組倚偏微綢分方這程和蛋邊界寒條件仆。因斜此，聲從數(shù)索學(xué)的支觀點(diǎn)碼來看仗，一驕個實(shí)征際的液彈塑膽性力餓學(xué)問譯題總暑是可昏以歸織結(jié)為家一個盜偏微根分方西程組唱的邊歷值問駝題。單這就水是所唐謂的微分違提法。根據(jù)諸具體體問題靜邊界它條件跌的不恰同，巡壽可以像有以路下三類嫁邊值問題狡。第四杏章陡彈塑怨性力討學(xué)問聲題的拒微分亂提法浸與基且本解稈法20森23考/7梨/617彈塑窯性力灶學(xué)問寺題的蛇微分貨提法——第一轉(zhuǎn)類邊誘值問端題給定獸作用朵在固曠體內(nèi)抄的體府力Xi以及酬表面歲處的景面力Xi，求饞固體鳴在平亦衡狀她態(tài)下脆的應(yīng)肢力場伙和位蹤蝶移場神。此廟時，殘邊界略條件洪全部爛取為稠如下潛的形況式：第四卵章樹彈塑乘性力哥學(xué)問受題的蔽微分在提法導(dǎo)與基遺本解列法20稠23餓/7焰/618彈塑其性力質(zhì)學(xué)問棋題的凱微分近提法——第二糟類邊床值問柔題給定連作用蓮在固見體內(nèi)胖的體稈力Xi以及添表面潛處的跨位移ui，求戲固體棟在平揭衡狀棒態(tài)下響的應(yīng)竹力場拒和位買移場返。此屑時，句邊界亞條件熄全部艙取為昆如下系的形封式：第四艷章都彈塑衛(wèi)性力貸學(xué)問謠題的徑微分積提法鏈與基械本解色法20盛23淹/7賠/619彈塑欠性力蓮學(xué)問響題的館微分疏提法——第三寺類邊從值問憑題給定委作用循在固刮體內(nèi)靠的體液力Xi，同牢時在辭固體功部分垮邊界每上給罩定面睡力，汪在其那余邊宋界上扇給定惕位移另，求爹固體所在平頓衡狀透態(tài)下穩(wěn)的應(yīng)獵力場便和位房誠移場，求物固體協(xié)在平趙衡狀開態(tài)下勢的應(yīng)啦力場頓和位衰移場允。此抓時，渾邊界均條件盒取為貢如下匙的形拍式：第四誕章題彈塑妹性力差學(xué)問委題的典微分油提法柿與基罪本解艷法以及給定面力邊界給定位移邊界20淋23酸/7理/620第四紋章側(cè)彈塑純性力壺學(xué)問檔題的憂微分跟提法雪與基巴本解胳法彈性論力學(xué)本問題匙的基臭本解驢法——基本際思想從幾尤何方剛程和肺本構(gòu)碑方程繪中可軋以發(fā)呈現(xiàn)，6個應(yīng)赤力分更量、6個應(yīng)眼變分鉤量和3個位午移分爺量之愧間不是榨彼此高無關(guān)的。疲比如碑說，滴只要劃知道梯了位默移分饒量，買通過Ca彼uc卸hy方程談，就群可得腎到應(yīng)兔變分董量，爺再通克過本輔構(gòu)方洞程，隙就可攤確定巷應(yīng)力格分量裁；反叫之，針如果籠知道座了應(yīng)確力分群量，旦則可鑄通過喜本構(gòu)愈方程茅求得傭應(yīng)變彼分量詞，不撤過這急時求低得的憂應(yīng)變升分量宣必須勇滿足臣一組燒補(bǔ)充稀方程坑，即抽應(yīng)變梨協(xié)調(diào)貿(mào)方程寒，以絡(luò)保證森固體去在變賞形后移的連結(jié)續(xù)性精，然戰(zhàn)后再旦通過幫對Ca鍛uc昆hy方程笨的積臟分求愛位移養(yǎng)分量箭?？梢艘?，嶼在求笨解一賽個彈波性力鎖學(xué)問早題時辰，并騰不需氧要同時求出所有逮的未知末函數(shù)重。20硬23診/7誰/621第四弱章加彈塑昆性力圍學(xué)問漁題的析微分求提法蜂與基咳本解普法彈性包力學(xué)層問題港的基譜本解戴法——基本換思想基于濁上述權(quán)考慮度，我手們在輪求解朽一個侮彈性饞力學(xué)循問題路時，黨就可敵以采熱取兩倦種不勝同的刑策略華：◆一種值是以位移作為基本鈔未知孔函數(shù)求解營，在褲求出鑒位移都后，尚再求箱得其茶它的白未知命函數(shù)笑，這分種解勉法稱軋為位移購法?！袅硪换N是環(huán)以應(yīng)力作為基本梨未知食函數(shù)求解掙，在跟求出汗應(yīng)力鈴后，杯再求渴得其厚它的喬未知哪函數(shù)霉，這鑼種解頌法稱煙為應(yīng)力患法。20憐23邁/7胳/622第四羽章痰彈塑解性力關(guān)學(xué)問從題的始微分亂提法歡與基訓(xùn)本解尖法彈性腔力學(xué)挑問題毫的基拘本解就法——位移拘法的蜓定解余方程位移恒法即采沃用三抹個位銹移分銹量u,耐v,晶w作為感基本謠未知展函數(shù)肥，為夕此，脫必須命將基溫本方筑程改敏用位煎移分倚量來么表示戶。具判體地允說，愉就是但要從姿平衡遺微分那方程秀、Ca軍uc極hy方程鳳和本授構(gòu)方螺程中消去應(yīng)力喜分量顛和應(yīng)港變分庭量，夸以得昌到僅愚包含霸基本晉未知翼函數(shù)冒位移浸分量鞋的方抗程。董以下憤即為鳴位移渾法求由解時其需要厘滿足岔的基撈本方青程（La榨mé方程）：20刮23隆/7嗓/623第四步章券彈塑灰性力怪學(xué)問俗題的割微分膊提法革與基終本解話法彈性胞力學(xué)征問題家的基布本解耗法——位移怕法定貢解方毀程的謹(jǐn)導(dǎo)出⑴將Ca捷uc縱hy方程牲代入謊本構(gòu)運(yùn)方程線，得⑵將上選式代澤入平繞衡微腦分方晝程，?？傻萌糇⑺疽獾絼t有20稿23處/7話/624第四漂章冒彈塑菊性力麻學(xué)問樸題的弓微分躲提法剛與基扯本解山法彈性礙力學(xué)江問題吊的基巷本解種法——位移遍法應(yīng)抱用◆一個拜特例墾：無體力穴作用冬的情丹形【解】采用企位移婦法求距解，詳過程慘如下滲：①列出基本方程②將上觸列方螞程對x求偏匠導(dǎo)數(shù)③合并同類項推得20嶺23覺/7專/625第四漁章立彈塑極性力克學(xué)問朝題的夕微分作提法慮與基殖本解距法彈性直力學(xué)錢問題奇的基棍本解蝕法——位移弟法應(yīng)犯用（竊續(xù)）④調(diào)和盟運(yùn)算進(jìn)一鉆步可綿推得20著23頃/7紋/626第四床章把彈塑氣性力飼學(xué)問輛題的嚼微分豎提法拜與基俊本解奔法彈性訊力學(xué)挖問題湖的基眨本解廢法——應(yīng)力俘法的件定解獨(dú)方程應(yīng)力溪法即匠采用文六個杠應(yīng)力啄分量使作為葡基本憑未知芳函數(shù)作，以否應(yīng)力膀作為庭基本賢未知燦函數(shù)僵時，撤需要竭滿足話的基戀本方記程為平衡梢微分臨方程刊、應(yīng)挖變協(xié)稿調(diào)方礦程和您本構(gòu)擱方程。為浸此，鞠必須哀將基王本方而程改側(cè)用應(yīng)換力分盡量來丸表示乎。具時體地寺說，秋就是質(zhì)要從午應(yīng)變偽協(xié)調(diào)娃方程踏和本餅構(gòu)方惑程中消去應(yīng)變娛分量乳，以感得到準(zhǔn)僅包競含基刷本未溉知函饅數(shù)應(yīng)洞力分校量的脆方程雅。以駕下即毯為應(yīng)竊力法娛的定睡解方芳程：①平衡微分方程②巷B-染M方程20燦23迫/7器/627第四笑章茫彈塑膨性力意學(xué)問旅題的首微分指提法派與基必本解待法彈性朋力學(xué)來問題妨的基砍本解頓法——應(yīng)力依法的申定解仍方程(續(xù)）②B-M方程20啦23液/7榴/628第四糠章突彈塑估性力紛學(xué)問互題的計微分倚提法循與基脹本解素法解的擊唯一咳性定額理前已路提及豪，一乏個實(shí)炭際的擇彈塑躁性力筆學(xué)問宅題數(shù)表學(xué)上刻總是港歸結(jié)萄為一床個偏勵微分叨方程拘組的只邊值銷問題磨。因蝕此，候求解懶一個游彈塑話性力粱學(xué)問番題，柏實(shí)際惱上就草是在呈嚴(yán)格佩的邊乒界條玻件下戚求解律一個幅復(fù)雜飛的偏霸微分部方程瓣組。效在一翠般情侍況下恒，我血們很啞難直綱接得打到數(shù)承學(xué)上車的解粱析解預(yù)或精碼確解魚。這欄自然廉就產(chǎn)犯生一脆個疑荷問：解是場否存逝在和慕是否諸唯一？回答納是肯蚊定的，即匪彈塑鋒性力傳學(xué)問鉤題的善解是存在的，踐而且諸在小濾變形府條件跨下，坊對于累受一晉組平彈衡力緊系作因用的進(jìn)固體備，其塌內(nèi)部河各點(diǎn)鼠的應(yīng)羅力分救量和般應(yīng)變披分量曲是唯一的；森如果尚在固庸體表政面全款部給選定位示移邊腐界條嚼件，冊或者紐奉在部該分表陡面給膏定位蛾移邊嗓界條揮件而盾另外凝部分哨表面四給定子靜力糞邊界憐條件歲的情骨況下蔬，則恩位移朽分量鞭也是屯唯一濃的。20駝23警/7咐/629第四蔑章夫彈塑撐性力尊學(xué)問妨題的銀微分許提法腎與基播本解販法解的恨唯一遇性定饑?yán)黻P(guān)于釣解的場存在清定理如的數(shù)繩學(xué)證爛明過我程冗鎖長，拋這里消不擬死介紹拋，但次我們侮可以妄從物理迷現(xiàn)象上來錯理解梯：可供以想卸象，芹固體忍在載產(chǎn)荷作鄭用和中適當(dāng)丘的約宇束下腰，總猛會有迫一種團(tuán)相應(yīng)擔(dān)的變串形狀六態(tài)，航因而嚷，從靜這個刺角度亂來看啟，解儲總是餓存在學(xué)的。浮在應(yīng)趙用解騰的存檔在定誤理時擴(kuò)，關(guān)挽鍵是議要正悶確地訂給出砍物理罰問題緊的數(shù)舊學(xué)描順述。20雀23鋪/7尸/630第四遮章悅彈塑虛性力元學(xué)問沃題的糟微分通提法抵與基季本解照法解的局唯一畝性定狐理——理論帖意義彈塑費(fèi)性力勇學(xué)問喝題解節(jié)的唯曉一性沫定理場的重?fù)屢獠┝x在價于，剃它為逆解胳法、半逆屬解法以及刃各種近似虛解法和數(shù)值顛解法提供粥了一姑個理剪論依揚(yáng)據(jù)。所謂強(qiáng)逆解鄉(xiāng)豐法，份就是請我們猾預(yù)先術(shù)選取獸一組湊位移蓮或應(yīng)磚力函襯數(shù)，量由此城確定糕其它躲的未資知函相數(shù)，撕然后咱驗證鎮(zhèn)是否溪滿足足基本籍方程穗和邊盛界條歲件，濤如果殃滿足關(guān)，則他根據(jù)透解的抱唯一蘋性定延理，陪該組萄位移礙或應(yīng)跳力函夫數(shù)以易及由霸其確飾定的甘其它破未知量函數(shù)超的解聯(lián)，就曲是問畢題的仍正確辭答案細(xì)。所企謂半丟逆解瘡法，晌就是夫在所負(fù)有的僵未知桑量中詢，根況據(jù)問屋題的鉤特點(diǎn)強(qiáng)或已令有研輕究成棄果，勁預(yù)先陰假設(shè)摟一部莫分未蜘知量耳為已稻知，獨(dú)然后交利用油基本設(shè)方程疑和邊例界條食件，披確定尖其余進(jìn)的未州知量偉，這亦樣就離得到滅了全展部未械知量誓的解奮答。20屯23究/7然/631第四侄章替彈塑硬性力泳學(xué)問閉題的致微分隙提法矛與基杏本解捆法圣維和南原壘理——局部敗影響珍原理再（18曲55年提繳出）由作透用在降固體豎局部父表面煮上的政自平興衡力禁系（榨即合吳力與表合力泳矩都優(yōu)為零寒的力嘩系）鑄所引僻起的樹應(yīng)變毛，在古遠(yuǎn)離鳥作用丈區(qū)（非距離睜遠(yuǎn)大斃于該篩局部蔬作用臂區(qū)的魄線性做尺寸恒）的挨地方重可以載忽略畝不計眉。這學(xué)就是圣維盼南原疤理，又瓜稱為局部晃影響碧原理。這個傲原理崗的許鐘多生援動的戀實(shí)例貸，都慈可以枯從我剪們?nèi)胀统５那蛏畎橹邪l(fā)懇現(xiàn)，奇譬如抹用鉗食子剪特斷一位根鐵稅絲，豪建筑狹工地梅上用醋鋼筋螺鉗截何斷鋼刺筋等雷等。20哈23吧/7釋/632第四叼章狗彈塑閑性力株學(xué)問祖題的臥微分尼提法盛與基謙本解便法圣維易南原瓦理——靜力揀等效悶原理圣維職南原以理的撕另一站種實(shí)憤用提謙法是賤：若拜把作面用在烈固體賢局部森表面杏上的登力系艦，用丈另一館組與槐之靜階力等云效的削力系肺來代演替，床則這珍種等套效替老換只異對離牙該局群部作老用區(qū)瀉很近淋的地傅方產(chǎn)艦生影歐響，布對遠(yuǎn)話離該獄局部幻玉作用喘區(qū)處匯的影填響則著可忽川略不授計。桑這稱啟為靜力身等效世原理。20絡(luò)23巡壽/7優(yōu)/633第四電章退彈塑昂性力與學(xué)問謎題的膏微分赴提法無與基解本解別法圣維經(jīng)南原秧理——應(yīng)用我們汽已經(jīng)牽知道驅(qū)，一倡個實(shí)么際的閥彈塑鋒性力泊學(xué)問利題在附數(shù)學(xué)址上總咸是可病以歸回結(jié)為塘一個載偏微今分方鋤程組垂的邊畫值問貍題。秘因而金，彈吵塑性狼理論院要求在固允體表螺面的欄每個扒邊界踏點(diǎn)上驗都給發(fā)定邊綿界條云件。但形實(shí)際蘆工程圖問題繼卻往兼往只驚知道精在固想體邊板界總的荷載適值，壓而其踏具體彈分布沃形式悉并不針明確溉；另套一方露面，鴉在求么解時生使未倚知的嚇應(yīng)力彼分量酬、應(yīng)瀉變分灰量和恐位移叫分量感函數(shù)終完全管滿足牛基本垃方程憑，并臥不困籮難，防但要哥使這懼些函降數(shù)同跨時滿例足逐點(diǎn)筑給定的精借確邊小界條意件，謹(jǐn)卻往辮往發(fā)能生很濾大的