頻率域穩(wěn)定判據(jù)講解課件

第五節(jié)頻率域穩(wěn)定判據(jù)第五章線性系統(tǒng)的頻域分析法第五節(jié)頻率域穩(wěn)定判據(jù)第五章線性系統(tǒng)的頻域分析法1項(xiàng)目?jī)?nèi)容教學(xué)目的掌握如何使用Nyquist圖和Bode圖判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。教學(xué)重點(diǎn)使用Nyquist圖和Bode圖判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。教學(xué)難點(diǎn)講授技巧及注意事項(xiàng)注重公式的理論推導(dǎo)，最后給出結(jié)論，通過典型例題利用結(jié)論進(jìn)行分析。5-5頻率域穩(wěn)定判據(jù)從控制論角度來理解幅角定理。項(xiàng)目?jī)?nèi)容教學(xué)目的掌握如何使用Nyqui2一、Nyquist判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)——幅角定理設(shè)復(fù)變函數(shù)①對(duì)s平面上的每一個(gè)點(diǎn)s(復(fù)數(shù))，在F平面上必有一點(diǎn)通過映射關(guān)系F(s)與之對(duì)應(yīng)。②對(duì)s平面上的任一個(gè)不通過極點(diǎn)的封閉曲線C，在F平面上必有一連續(xù)封閉曲線Γ通過映射關(guān)系F(s)與之對(duì)應(yīng)。一、Nyquist判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)——幅角定理設(shè)復(fù)變函數(shù)3幅角定理：設(shè)s平面閉合曲線C包圍F(s)的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)，則s沿C順時(shí)針運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，F(xiàn)平面內(nèi)的閉合曲線Γ繞原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的圈數(shù)為：R=Z-P說明：當(dāng)R>0時(shí)，曲線Γ順時(shí)針包圍原點(diǎn)；

當(dāng)R<0時(shí)，曲線Γ逆時(shí)針包圍原點(diǎn)；當(dāng)R=0時(shí)，曲線Γ不包圍原點(diǎn)。幅角定理：設(shè)s平面閉合曲線C包圍F(s)的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)4證明：設(shè)曲線C內(nèi)包含一個(gè)零點(diǎn)z1S沿曲線C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，各向量的幅角變化情況為Γ繞原點(diǎn)的圈數(shù)為-1(順時(shí)針1圈)。由復(fù)數(shù)運(yùn)算，知[s][F]證明：設(shè)曲線C內(nèi)包含一個(gè)零點(diǎn)z1S沿曲線C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，各5同理可知：當(dāng)曲線C內(nèi)包含一個(gè)極點(diǎn)p時(shí)，若S沿C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，F(xiàn)平面內(nèi)Γ繞原點(diǎn)的圈數(shù)為1圈(逆時(shí)針)。所以，當(dāng)C內(nèi)包含z個(gè)零點(diǎn)和p個(gè)極點(diǎn)時(shí)，若S沿曲線C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，曲線Γ順時(shí)針繞原點(diǎn)的圈數(shù)：若R=-P，即F平面內(nèi)曲線Γ逆時(shí)針繞原點(diǎn)的圈數(shù)等于F(s)的極點(diǎn)被曲線C包圍的個(gè)數(shù)，則C內(nèi)沒有包含F(xiàn)(s)的零點(diǎn)。由幅角定理推導(dǎo)出的重要結(jié)論：R=Z-P同理可知：當(dāng)曲線C內(nèi)包含一個(gè)極點(diǎn)p時(shí)，若S沿61.復(fù)變函數(shù)F(s)的選擇二、從控制論角度來理解幅角定理

判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定要看閉環(huán)特征方程的特征根在s平面上的分布情況，所以初步選擇為研究對(duì)象。F(s)的極點(diǎn)=開環(huán)傳函的極點(diǎn)(容易得到)F(s)的零點(diǎn)=閉環(huán)傳函的極點(diǎn)(不易得到，是研究的對(duì)象)1.復(fù)變函數(shù)F(s)的選擇二、從控制論角度來理解幅角定理7系統(tǒng)穩(wěn)定→s平面的右半平面沒有Φ(s)的極點(diǎn)→s平面的右半平面沒有F(s)的零點(diǎn)

選擇曲線C順時(shí)針包圍s的右半平面，由幅角定理推導(dǎo)出的結(jié)論，知：若R=-P，即F平面內(nèi)曲線Γ繞原點(diǎn)的逆時(shí)針圈數(shù)等于F(s)的在右半平面的極點(diǎn)數(shù)，則s右半平面內(nèi)沒有包含F(xiàn)(s)的零點(diǎn)，系統(tǒng)穩(wěn)定。F(s)的極點(diǎn)=開環(huán)傳函的極點(diǎn)(容易得到)F(s)的零點(diǎn)=閉環(huán)傳函的極點(diǎn)(不易得到)系統(tǒng)穩(wěn)定→s平面的右半平面沒有Φ(s)的極點(diǎn)8

GF在F平面包圍坐標(biāo)原點(diǎn)的圈數(shù)=GGH在GH平面上包圍(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)。

對(duì)于開環(huán)傳函G(s)H(s)，選擇合適的封閉曲線C順時(shí)針包圍s的右半平面，如果GGH在GH平面逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)R等于G(s)H(s)的在s平面右半平面極點(diǎn)數(shù)P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。GH平面：將F平面右移一個(gè)單位，可得一個(gè)新的平面，稱之為GH平面。由F(s)=1+G(s)H(s)知：F平面的原點(diǎn)就是GH平面的(-1,0)點(diǎn)。最終結(jié)論：GF在F平面包圍坐標(biāo)原點(diǎn)的圈數(shù)=GGH在G92.S平面內(nèi)閉合曲線C的選擇奈氏圍線：順時(shí)針包圍整個(gè)s右半平面的封閉曲線。選奈氏圍線為C即可。由于C不能通過F(s)=G(s)H(s)的極點(diǎn)，分兩種情況討論。2.S平面內(nèi)閉合曲線C的選擇奈氏圍線：順時(shí)針包圍整個(gè)s10G(s)H(s)無虛軸上的極點(diǎn)

奈氏圍線由兩部分組成，C1：半徑為∞的右半圓s=Rejq(R→∞，-900≤q≤+900)；C2：s平面的整個(gè)虛軸s=j(-∞<<+∞)。C2C1R=∞C=C1+C2[s]G(s)H(s)無虛軸上的極點(diǎn)C2C1R=∞C=C1+C2[11G(s)H(s)有虛軸上的極點(diǎn)奈氏圍線在第一種情況的基礎(chǔ)上加上開環(huán)虛軸極點(diǎn)：①開環(huán)系統(tǒng)含有積分環(huán)節(jié)對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)0在原點(diǎn)附近，取s=eejq(e→0+,-900≤q≤+900)(修正圍線C3)C2C1R=∞C=C1+C2+C3C3[s]G(s)H(s)有虛軸上的極點(diǎn)①開環(huán)系統(tǒng)含有積分環(huán)節(jié)對(duì)應(yīng)的極12②開環(huán)系統(tǒng)含有等幅振蕩環(huán)節(jié)對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)在附近，取(e→0+,-900≤q≤+900)

(修正圍線C4、C5)C2C1R=∞C4C5C=C1+C2+C4+C5[s]②開環(huán)系統(tǒng)含有等幅振蕩環(huán)節(jié)對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)C2C1R=∞C4C5C13討論在s平面當(dāng)s沿奈氏圍線C運(yùn)動(dòng)時(shí)通過復(fù)變函數(shù)G(s)H(s)映射到GH平面上曲線GGH的情況。3.GH平面閉合曲線GGH的繪制C2C1R=∞C=C1+C2[s]G(s)H(s)無虛軸上的極點(diǎn)(ν=0，0型系統(tǒng))討論在s平面當(dāng)s沿奈氏圍線C運(yùn)動(dòng)時(shí)通過復(fù)變函數(shù)G(s)H(s14當(dāng)s沿C1順時(shí)針移動(dòng)時(shí)，在GH平面上的映射為m=n時(shí)，上式=，n>m時(shí)，上式=0。說明C1為GGH為一個(gè)點(diǎn)，對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究沒有意義。當(dāng)s沿C1順時(shí)針移動(dòng)時(shí)，在GH平面上的映射為m=n時(shí)，上式=15當(dāng)s沿C2順時(shí)針移動(dòng)時(shí)，在GH平面上的映射①s=j(0≤＜+∞)：正虛軸，對(duì)應(yīng)GH平面上的開環(huán)幅相曲線GGH1

。②s=j(-∞＜≤0)：負(fù)虛軸，在GH平面中的映射曲線GGH2與開環(huán)幅相曲線GGH1關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱。n-m=2時(shí)C和的GGH對(duì)應(yīng)關(guān)系GGH1GGH2C2C1C2C1n=m時(shí)C和的GGH對(duì)應(yīng)關(guān)系GGH1GGH2[s][s][GH][GH]當(dāng)s沿C2順時(shí)針移動(dòng)時(shí)，在GH平面上的映射①s=j(0≤16C2C1R=∞C=C1+C2+C3C3修正圍線C3在GH平面上的映射為①G(s)H(s)含有積分環(huán)節(jié)[s]G(s)H(s)有虛軸上的極點(diǎn)C2C1R=∞C=C1+C2+C3C3修正圍線C3在GH平面17C2C1R=∞C3修正圍線C3映射到GH平面上的曲線是半徑為∞的圓弧，且起始于G(j0-)H(j0-)，終止于G(j0+)H(j0+)，并順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度np(q逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)p(-900~+900))。n=1，n-m=3時(shí)C和的GGH的對(duì)應(yīng)關(guān)系GGH[s][GH]C2C1R=∞C3修正圍線C3映射到GH平面上18G(s)H(s)含有等幅振蕩環(huán)節(jié)C2C1R=∞C4C5C=C1+C2+C4+C5修正圍線C4和C5映射到GH平面上的曲線都是半徑為∞，圓心角等于np的圓弧，且起始于G(jwn-)H(jwn-)，終止于G(jwn+)H(jwn+)。[s]G(s)H(s)含有等幅振蕩環(huán)節(jié)C2C1R=∞C4C5C=C194、GGH包圍(-1,j0)圈數(shù)的計(jì)算環(huán)繞計(jì)算法：奈氏曲線包圍(-1,j0)的圈數(shù)(逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù))；穿越計(jì)算法：奈氏曲線穿越負(fù)實(shí)軸(-∞，-1)段的次數(shù)，由上至下為正穿越N+，由下至上為負(fù)穿越N-。R=N+－N-以上計(jì)算是在全閉合奈氏曲線(-∞<<+∞)下進(jìn)行的，如果是半閉合奈氏曲線(0<<+∞)，則以上結(jié)果應(yīng)乘以2。注意：4、GGH包圍(-1,j0)圈數(shù)的計(jì)算環(huán)繞計(jì)算法：奈氏曲線包20三、奈氏判據(jù)設(shè)奈氏曲線逆時(shí)針圍繞(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)為R，如果Z=R-P=0則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。P—開環(huán)不穩(wěn)定極點(diǎn)數(shù)(開環(huán)傳函位于s右半平面的極點(diǎn)數(shù))Z—開環(huán)不穩(wěn)定零點(diǎn)數(shù)(開環(huán)傳函位于s右半平面的零點(diǎn)數(shù))三、奈氏判據(jù)設(shè)奈氏曲線逆時(shí)針圍繞(-1,j0)21四、奈氏判據(jù)判穩(wěn)實(shí)用步驟1、做常規(guī)開環(huán)傳函極坐標(biāo)圖(0+≤≤+∞)；2、從G(j0+)H(j0+)開始，逆時(shí)針補(bǔ)畫一條半徑為∞，圓心角為的圓?。?、計(jì)算R(按照正負(fù)穿越情況計(jì)算)；4、從G(s)H(s)中找出不穩(wěn)定極點(diǎn)數(shù)P；5、按照奈氏判據(jù)Z=R-P，判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。四、奈氏判據(jù)判穩(wěn)實(shí)用步驟1、做常規(guī)開環(huán)傳函極坐標(biāo)圖(0+≤22用奈氏穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性例一個(gè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)穩(wěn)定用奈氏穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性例一個(gè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為23例系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)不穩(wěn)定沒有極點(diǎn)位于右半s平面，P=0。

例系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)不穩(wěn)定沒有極點(diǎn)位于右半s平面24例系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

沒有極點(diǎn)位于右半s平面，P=0。

例系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為沒有極點(diǎn)位于右半s平面，P=0。25五、對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)奈氏判據(jù)在極坐標(biāo)圖和對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的表現(xiàn)形式的對(duì)比極坐標(biāo)圖負(fù)實(shí)軸(-∞,1)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖j(w)=-1800

L(w)>00-1800

-3600

N-N+第三象限第二象限對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上R的計(jì)算方法：在20lgA(w)>0的頻段內(nèi)，相頻特性j(w)穿越-1800次數(shù)的2倍。0-p

N-N+-1

j(w)從-p線出發(fā)時(shí)，計(jì)做半次穿越。五、對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)奈氏判據(jù)在極坐標(biāo)圖26s/rad0.11100.01s/rad0.11100.01-2700-3600-1800-900002040-20-40輔助線N-N+注意：當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)含有積分環(huán)節(jié)時(shí)，對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線上w為0+處，用虛線向上增