2014年內(nèi)蒙古高考理科數(shù)學(xué)真題

2014年內(nèi)蒙古高考理科數(shù)學(xué)真題2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分?？忌鹁砬靶鑼⑿彰蜏?zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上。2.回答第Ⅰ卷時(shí)，考生需用鉛筆在答題卡上涂黑對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)。如需更改，需先用橡皮擦干凈再涂其他答案標(biāo)號(hào)。3.回答第Ⅱ卷時(shí)，考生需將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效。4.考試結(jié)束后，考生需將試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)集合M={0,1,2}，N={x|x^2-3x+2≤0}，則M∩N=（）A.{1}B.{2}C.{0,1}D.{1,2}2.設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，z1=2+i，則z1z2=（）A.-5B.5C.-4+iD.-4-i3.設(shè)向量a,b滿足|a+b|=10，|a-b|=6，則a·b=（）A.1B.2C.3D.54.鈍角三角形ABC的面積是√2/2，AB=1，BC=2，則AC=（）A.5B.2C.1D.5/25.某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是（）A.0.8B.0.75C.0.6D.0.456.如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1（表示1cm）,圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個(gè)底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為（）A.17/27B.5/10C.10/27D.1/27.執(zhí)行右圖程序框圖，如果輸入的x,t均為2，則輸出的S=（）A.4B.5C.6D.78.設(shè)曲線y=ax-ln(x+1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=2x，則a=（）A.0B.1C.2D.39.設(shè)約束條件為x-y+1≤0，3x-y-5≥0，則函數(shù)z=2x-y的最大值為（）A.4B.5C.6D.71.第一段話已經(jīng)沒有格式錯(cuò)誤，不需要改寫。2.第二段話已經(jīng)沒有格式錯(cuò)誤，不需要改寫。3.第三段話已經(jīng)沒有格式錯(cuò)誤，不需要改寫。4.鈍角三角形ABC的面積為√2/2，已知AB=1，BC=2，則可以用勾股定理求出AC的長度為√5。因此，答案為A選項(xiàng)的5。5.某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.6。根據(jù)題意，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率可以用條件概率公式計(jì)算，即P(隨后一天空氣質(zhì)量為優(yōu)良|某天空氣質(zhì)量為優(yōu)良)=P(某天空氣質(zhì)量為優(yōu)良且隨后一天空氣質(zhì)量為優(yōu)良)/P(某天空氣質(zhì)量為優(yōu)良)=0.6/0.75=0.8。因此，答案為A選項(xiàng)的0.8。6.如圖，在網(wǎng)格紙上，粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個(gè)底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到。可以通過計(jì)算圓柱體體積和切削掉部分的體積，求出切削掉部分的體積與原毛坯體積的比值。圓柱體體積為πr^2h=54π，切削掉部分的體積為1/4圓柱體體積=13.5π，因此比值為13.5π/54π=0.25。化簡得到比值為1/4，因此答案為D選項(xiàng)的1/2。7.根據(jù)右圖程序框圖，當(dāng)輸入的x和t均為2時(shí)，程序的執(zhí)行流程為：先執(zhí)行第一個(gè)if語句，由于2≤3成立，因此執(zhí)行if語句中的內(nèi)容，即令S=2，然后執(zhí)行第二個(gè)if語句，由于2≤3仍然成立，因此執(zhí)行if語句中的內(nèi)容，即令S=S+2=4。因此，答案為A選項(xiàng)的4。8.設(shè)曲線y=ax-ln(x+1)，則y'=a/(x+1)，在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=2x，代入得a=2。因此，答案為C選項(xiàng)的2。9.根據(jù)約束條件，可以將x-y+1≤0和3x-y-5≥0化為x≤y-1和y≤3x-5。將這兩個(gè)不等式畫在坐標(biāo)系上，得到它們的交點(diǎn)為(2,-1)。因此，z=2x-y的最大值出現(xiàn)在點(diǎn)(2,-1)。將這個(gè)點(diǎn)代入z=2x-y，得到最大值為4。因此，答案為A選項(xiàng)的4。10.設(shè)拋物線C：y^2=3x的焦點(diǎn)為F，過F且傾斜角為30°的直線交C于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。則△OAB的面積為（）。解析：直線過F，且傾斜角為30°，則直線方程為y=tan30°(x-a)，其中a為直線與y軸的交點(diǎn)。將直線方程代入拋物線方程，得到交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為A(√3,3)、B(-√3,3)。則△OAB的底為2√3，高為3，面積為3√3，選項(xiàng)C為正確答案。11.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M、N分別是A1B1、A1C1的中點(diǎn)，BC=CA=C1C，則BM與AN所成的角的余弦值為（）。解析：由于M、N分別是A1B1、A1C1的中點(diǎn)，所以MN∥BC，且MN=BC/2。則三角形ABM、A1BN相似，且∠ABM=∠A1BN。則BM與AN所成的角的余弦值為cos∠ABM=AB/BM=√2/2，選項(xiàng)B為正確答案。12.設(shè)函數(shù)f(x)=3sin(πx/2)。若存在f(x)的極值點(diǎn)x滿足x^2+(2/f(x))^2<12，則m的取值范圍是（）。解析：由于f(x)為周期函數(shù)，且在[0,1]上單調(diào)遞增，則其極值點(diǎn)為0、1/2、1。當(dāng)x=0或1/2時(shí)，(2/f(x))^2=8；當(dāng)x=1時(shí)，(2/f(x))^2=2。則x^2+(2/f(x))^2<12的解集為{0<x<1/2}∪{1/2<x<1}。因此，m的取值范圍為(-∞,-2]∪[2,∞)，選項(xiàng)A為正確答案。13.(x+a)的展開式中，x^7的系數(shù)為15，則a=________。（用數(shù)字填寫答案）解析：根據(jù)二項(xiàng)式定理，展開式為(x+a)^7=C^7_0a^7+C^7_1a^6x+...+C^7_7x^7。由于x^7的系數(shù)為15，則C^7_7=15，即a=8，選項(xiàng)無法填寫。14.函數(shù)f(x)=sin(x+2θ)-2sinθcos(x+θ)的最大值為_________。解析：由于f(x)為周期函數(shù)，且最大值出現(xiàn)在一個(gè)周期內(nèi)，則只需在[0,2π]內(nèi)求解。f(x)的導(dǎo)數(shù)為cos(x+2θ)-2cosθcos(x+θ)，令其為0，得到x=π/2-θ或3π/2-θ。因此，f(x)的最大值為|f(π/2-θ)|=|sinθ|+2|cosθsinθ|=√5sin(θ+arccos(2/√5))，選項(xiàng)無法填寫。15.已知偶函數(shù)f(x)在[0,+∞)單調(diào)遞減，f(2)=0。若f(x-1)>f(x)，則x的取值范圍是__________。解析：由于f(x)為偶函數(shù)，所以f(-x)=f(x)，且在[0,+∞)單調(diào)遞減，則f(x)<0，且f(x)在[0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+∞)上單調(diào)遞增。又因?yàn)閒(2)=0，所以f(x)<0，且x∈(0,2)。當(dāng)x-1∈(0,1)時(shí)，f(x-1)<f(x)，即x∈(1,2)。因此，x的取值范圍為(1,2)，選項(xiàng)無法填寫。16.設(shè)點(diǎn)M(x,1)，若在圓O:x^2+y^2=1上存在點(diǎn)N，使得∠OMN=45°，則x的取值范圍是________。解析：設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(Nx,Ny)，則OM=√(x^2+1)，ON=√(Nx^2+Ny^2)，且∠OMN=45°。根據(jù)余弦定理，有(Nx-x)^2+(Ny-1)^2=2(Nx^2+Ny^2-1)。又因?yàn)辄c(diǎn)N在圓上，所以Nx^2+Ny^2=1。將Nx^2+Ny^2代入方程，得到2x^2-2Nx+Ny^2-2Ny=0。因?yàn)椤螼MN=45°，所以O(shè)M=ON，即x^2+(Ny-1)^2=1。將Ny^2代入方程，得到2x^2-2Nx+2Ny-2=0，即x=Nx-Ny±1。因此，x的取值范圍為[-1,1]，選項(xiàng)無法填寫。17.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1。（Ⅰ）證明an+1/an是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）證明：1+1/2+...+1/an<3/an。解析：（Ⅰ）由于an+1=3an+1，所以an+1/an=3，即{an+1/an}為公比為3的等比數(shù)列。根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，有an=3^(n-1)。（Ⅱ）當(dāng)n=1時(shí)，1<3/a1，不等式成立。當(dāng)n>1時(shí)，1/2<1/an，且1/3<1/an-1。根據(jù)不等式的傳遞性，有1+1/2+...+1/an<1+1/2+...+1/a2+1/a2+1/a3+...+1/an=1/a1+1/a2+...+1/a(n-1)+1/an=3/an，即1+1/2+...+1/an<3/an，證畢。18.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)。（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）設(shè)二面角D-AE-C為60°，AP=1，AD=3，求三棱錐E-ACD的體積。解析：（Ⅰ）連接PE，交平面ABCD于點(diǎn)F，連接BF。由于PE∥CD，且E為PD的中點(diǎn)，則PE=ED，且∠PED=90°。又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，且PE∥CD，所以PA∥BF。又因?yàn)镻E=ED，所以BF=2PE。又因?yàn)锽F∥平面AEC，且E為PD的中點(diǎn)，所以BF∥EC。因此，PB∥平面AEC。（Ⅱ）連接AE、CE、DE，且交于點(diǎn)G。由于二面角D-AE-C為60°，且AD=3，AP=1，則tan∠DAP=1/3，且sin∠DAP=1/√10。又因?yàn)椤螪AP+∠EAC=90°，所以cos∠EAC=sin∠DAP=1/√10。又因?yàn)椤螮AC=∠ECD，且AC=CD=2，所以EC=2/√5，AE=2√5/5。因此，三棱錐E-ACD的高為AP=1，底面積為AC×CD=4，體積為(1/3)×4×1=4/3，選項(xiàng)無法填寫。19.某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭純收入y（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表：年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013純收入y 2.6 3.0 3.4 3.8 4.2 4.6 5.0（Ⅰ）求出該地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭純收入的平均增長率；（Ⅱ）預(yù)測2014年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭純收入的值。解析：（Ⅰ）平均增長率為[(y2013-y2007)/y2007]/(2013-2007)=0.923，約為92.3%。（Ⅱ）設(shè)2014年純收入為y，根據(jù)平均增長率，有(y-2.6)/2.6=0.923，解得y≈4.99，即2014年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭純收入的值約為4.99千元，選項(xiàng)無法填寫。解答題：(17)首先根據(jù)已知條件，得到$a_1+1=a_2$，即$a_1=a_2-1$，代入等比數(shù)列通項(xiàng)公式，得到$a_m=3^{m-2}(a_2-1)$。又因?yàn)?a_2=11-a_1=11-(a_2-1)$，解得$a_2=6$，代入上式，得到$a_m=3^{m-2}(5)$，即${a_n}$的通項(xiàng)公式為$a_n=5\cdot3^{\frac{n}{3}-1}$。接下來證明不等式$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_m}<2$。由等比數(shù)列的求和公式，得到$a_1+a_2+\cdots+a_m=33\cdot3^{m-2}$。因此，$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_m}=\frac{a_2+a_3+\cdots+a_m}{a_1a_2\cdotsa_m}<\frac{a_1+a_2+\cdots+a_m}{a_1a_2\cdotsa_m}=\frac{33\cdot3^{m-2}}{5\cdot3^{m-1}}=\frac{33}{15}\cdot\frac{1}{3}<2$。綜上所述，原不等式成立。(18)(1)連接$BD$，交$AC$于點(diǎn)$O$；連接$EO$。因?yàn)?ABCD$為矩形，所以$O$為$BD$的中點(diǎn)。又$E$為$PD$的中點(diǎn)，所以$\triangleEOP\cong\triangleBOD$。因此，$EO\parallel\text{平面}AEC$，$PB\perp\text{平面}AEC$，即$PB\parallelBD$。(2)因?yàn)?PA\perp\text{平面}ABCD$，$ABCD$為矩形，所以$AB,AD,AP$兩兩垂直。以$A$為坐標(biāo)原點(diǎn)，$AB$的方向?yàn)?x$軸的正方向，$AP$為單位長，建立空間直角坐標(biāo)系$A$-$xyz$。設(shè)$B(m,0,0)$（$m>0$），則$C(m,3,0)$。設(shè)$n(x,y,z)$為平面$ACE$的法向量，則$n\perpAC$，即$n$與向量$\overrightarrow{AC}$垂直。因此，$n=(x,y,z)$滿足$x\cdotm+y\cdot3=0$，即$x=-\frac{3}{m}\cdoty$。又$n$與向量$\overrightarrow{AE}$垂直，即$n\cdot(0,-3,3)=0$，即$-3y+3z=0$，解得$y=z$。因此，$n$的一個(gè)可能取值為$(\frac{9}{m^2+9},-\frac{3}{m},-\frac{3}{m})$。由向量的叉乘公式，得到$\overrightarrow{BD}\times\overrightarrow{BA}=(3,0,-m)$，即$\overrightarrow{BD}=(3,0,-m)$。因此，$BD$所在直線的參數(shù)方程為$\begin{cases}x=3t\\y=0\\z=-mt\end{cases}$。將其帶入平面$ACE$的方程$x-3y+3z-9=0$，得到$t=\frac{3}{m^2+9}$。因此，$D$的坐標(biāo)為$(9,\frac{9m}{m^2+9},-\frac{3m^2}{m^2+9})$。又因?yàn)?E$為$PD$的中點(diǎn)，所以$\overrightarrow{PE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PD}$，即$\overrightarrow{PE}=\frac{1}{2}(9-m,3-\frac{3m}{m^2+9},-\frac{3m^2}{m^2+9})$。因此，$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PE}=(1,0,0)+\frac{1}{2}(9-m,3-\frac{3m}{m^2+9},-\frac{3m^2}{m^2+9})=(\frac{11+m}{2},\frac{3-\frac{3m}{m^2+9}}{2},-\frac{3m^2}{2(m^2+9)})$。因此，$OE^2=\frac{1}{4}[(11+m)^2+\frac{9m^2}{(m^2+9)^2}+\frac{9m^4}{(m^2+9)^2}]=\frac{m^4+22m^2+81}{4(m^2+9)^2}$。由向量的數(shù)量積公式，得到$\overrightarrow{AC}\cdotn=3y+z=\frac{3}{m^2+9}\cdot(-\frac{3}{m}+m)=\frac{9-m^2}{m^2+9}$。因此，平面$ACE$的方程為$\frac{9-m^2}{m^2+9}(x-9)-\frac{9}{m^2+9}y+\frac{9}{m^2+9}z=0$，即$(9-m^2)x-9y+9z-81=0$。因此，$OE^2=\frac{m^4+22m^2+81}{4(m^2+9)^2}=\frac{(m^2+9)^2-18m^2}{4(m^2+9)^2}=\frac{1}{4}-\frac{9m^2}{4(m^2+9)^2}\leq\frac{1}{4}$。因此，$OE\leq\frac{1}{2}$，即$OE<\frac{1}{2}$。因此，$OE$的長度小于$\frac{1}{2}$。當(dāng)$b\leq2$時(shí)，$g'(x)\geq0$，等號(hào)僅當(dāng)$x=0$時(shí)成立，因此$g(x)$在$(-\infty,+\infty)$單調(diào)遞增，且$g(0)=0$，因此對(duì)任意$x>0$，$g(x)>0$；當(dāng)$b>2$時(shí)，若$x$滿足$2<e^x+e^{-x}<2b-2$，即$0<x<\ln(b-1+b^2-2b)$時(shí)，$g'(x)<0$，而$g(0)=0$，因此當(dāng)$0<x\leq\ln(b-1+b^2-2b)$時(shí)，$g(x)<0$。綜上，$b$的最大值為$2$。（2）由$(2<e^x+e^{-x}<2b-2)$得$e^{2x}-2be^x+1<0$，解得$e^x<\frac{b+\sqrt{b^2-2b+1}}{2}$或$e^x>\frac{b-\sqrt{b^2-2b+1}}{2}$。注意到$\frac{b-\sqrt{b^2-2b+1}}{2}<1$，因此當(dāng)$x=\ln2$時(shí)，$e^