2023年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編（全國(guó)通用）：新定義與閱讀理解創(chuàng)新型問題（共31題）（解析版）

專題30新定義與閱讀理解創(chuàng)新型問題（31題）一、單選題1．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）皮克定理是格點(diǎn)幾何學(xué)中的一個(gè)重要定理，它揭示了以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形的面積，其中分別表示這個(gè)多邊形內(nèi)部與邊界上的格點(diǎn)個(gè)數(shù)．在平面直角坐標(biāo)系中，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)為格點(diǎn)．已知，，則內(nèi)部的格點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．266 B．270 C．271 D．285【答案】C【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，然后求出的面積和邊界上的格點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后代入求解即可．【詳解】如圖所示，

∵，，∴，∵上有31個(gè)格點(diǎn)，上的格點(diǎn)有，，，，，，，，，，共10個(gè)格點(diǎn)，上的格點(diǎn)有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共19個(gè)格點(diǎn)，∴邊界上的格點(diǎn)個(gè)數(shù)，∵，∴，∴解得．∴內(nèi)部的格點(diǎn)個(gè)數(shù)是271．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是掌握數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．2．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）“萊洛三角形”也稱為圓弧三角形，它是工業(yè)生產(chǎn)中廣泛使用的一種圖形．如圖，分別以等邊的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑畫弧，三段圓弧圍成的封閉圖形是“萊洛三角形”．若等邊的邊長(zhǎng)為3，則該“萊洛三角形”的周長(zhǎng)等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及弧長(zhǎng)公式求解即可．【詳解】解：∵等邊三角形的邊長(zhǎng)為3，，∴，∴該“萊洛三角形”的周長(zhǎng)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．3．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）在多項(xiàng)式（其中中，對(duì)相鄰的兩個(gè)字母間任意添加絕對(duì)值符號(hào)，添加絕對(duì)值符號(hào)后仍只有減法運(yùn)算，然后進(jìn)行去絕對(duì)值運(yùn)算，稱此為“絕對(duì)操作”．例如：，，．下列說法：①存在“絕對(duì)操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式相等；②不存在“絕對(duì)操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式之和為0；③所有的“絕對(duì)操作”共有7種不同運(yùn)算結(jié)果．其中正確的個(gè)數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)給定的定義，舉出符合條件的說法①和②．說法③需要對(duì)絕對(duì)操作分析添加一個(gè)和兩個(gè)絕對(duì)值的情況，并將結(jié)果進(jìn)行比較排除相等的結(jié)果，匯總得出答案．【詳解】解：，故說法①正確．若使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式之和為0，必須出現(xiàn)，顯然無論怎么添加絕對(duì)值，都無法使的符號(hào)為負(fù)，故說法②正確．當(dāng)添加一個(gè)絕對(duì)值時(shí)，共有4種情況，分別是；；；．當(dāng)添加兩個(gè)絕對(duì)值時(shí)，共有3種情況，分別是；；．共有7種情況；有兩對(duì)運(yùn)算結(jié)果相同，故共有5種不同運(yùn)算結(jié)果，故說法③不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查新定義題型，根據(jù)多給的定義，舉出符合條件的代數(shù)式進(jìn)行情況討論；需要注意去絕對(duì)值時(shí)的符號(hào)，和所有結(jié)果可能的比較．主要考查絕對(duì)值計(jì)算和分類討論思想的應(yīng)用．4．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）若一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，我們將這樣的點(diǎn)定義為“倍值點(diǎn)”．若關(guān)于的二次函數(shù)（為常數(shù)，）總有兩個(gè)不同的倍值點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用“倍值點(diǎn)”的定義得到方程，則方程的，可得，利用對(duì)于任意的實(shí)數(shù)總成立，可得不等式的判別式小于0，解不等式可得出的取值范圍．【詳解】解：由“倍值點(diǎn)”的定義可得：，整理得，∵關(guān)于的二次函數(shù)（為常數(shù)，）總有兩個(gè)不同的倍值點(diǎn)，∴∵對(duì)于任意實(shí)數(shù)總成立，∴整理得，∴∴，∴，或當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，此不等式組無解，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一元二次方程根的判別式以及二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，理解新定義并能熟練運(yùn)用是解答本題的關(guān)鍵．5．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）若一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的3倍，則稱這個(gè)點(diǎn)為“三倍點(diǎn)”，如：等都是三倍點(diǎn)”，在的范圍內(nèi)，若二次函數(shù)的圖象上至少存在一個(gè)“三倍點(diǎn)”，則c的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得：三倍點(diǎn)所在的直線為，根據(jù)二次函數(shù)的圖象上至少存在一個(gè)“三倍點(diǎn)”轉(zhuǎn)化為和至少有一個(gè)交點(diǎn)，求，再根據(jù)和時(shí)兩個(gè)函數(shù)值大小即可求出．【詳解】解：由題意可得：三倍點(diǎn)所在的直線為，在的范圍內(nèi)，二次函數(shù)的圖象上至少存在一個(gè)“三倍點(diǎn)”，即在的范圍內(nèi)，和至少有一個(gè)交點(diǎn)，令，整理得：，則，解得，，∴，∴或當(dāng)時(shí)，，即，解得，當(dāng)時(shí)，，即，解得，綜上，c的取值范圍是，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問題，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是關(guān)鍵．6．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的“割圓術(shù)”，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細(xì)，所失彌少．割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”．“割圓術(shù)”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率的近似值為3.1416．如圖，的半徑為1，運(yùn)用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計(jì)的面積，可得的估計(jì)值為，若用圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計(jì)，可得的估計(jì)值為（）A． B． C．3 D．【答案】C【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)30度的作對(duì)的直角邊是斜邊的一半可得，根據(jù)三角形的面積公式即可求得正十二邊形的面積，即可求解．【詳解】解：圓的內(nèi)接正十二邊形的面積可以看成12個(gè)全等的等腰三角形組成，故等腰三角形的頂角為，設(shè)圓的半徑為1，如圖為其中一個(gè)等腰三角形，過點(diǎn)作交于點(diǎn)于點(diǎn)，∵，∴，則，故正十二邊形的面積為，圓的面積為，用圓內(nèi)接正十二邊形面積近似估計(jì)的面積可得，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)，30度的作對(duì)的直角邊是斜邊的一半，三角形的面積公式，圓的面積公式等，正確求出正十二邊形的面積是解題的關(guān)鍵．二、填空題7．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖1，我國(guó)是世界上最早制造使用水車的國(guó)家．1556年蘭州人段續(xù)的第一架水車創(chuàng)制成功后，黃河兩岸人民紛紛仿制，車水灌田，水渠縱橫，沃土繁豐．而今，蘭州水車博覽園是百里黃河風(fēng)情線上的標(biāo)志性景觀，是蘭州“水車之都”的象征．如圖2是水車舀水灌溉示意圖，水車輪的輻條（圓的半徑）長(zhǎng)約為6米，輻條盡頭裝有刮板，刮板間安裝有等距斜掛的長(zhǎng)方體形狀的水斗，當(dāng)水流沖動(dòng)水車輪刮板時(shí)，驅(qū)使水車徐徐轉(zhuǎn)動(dòng)，水斗依次舀滿河水在點(diǎn)處離開水面，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)上升至輪子上方處，斗口開始翻轉(zhuǎn)向下，將水傾入木槽，由木槽導(dǎo)入水渠，進(jìn)而灌溉，那么水斗從處（舀水）轉(zhuǎn)動(dòng)到處（倒水）所經(jīng)過的路程是________米．（結(jié)果保留）

【答案】【分析】把半徑和圓心角代入弧長(zhǎng)公式即可；【詳解】故填：．【點(diǎn)睛】本題考查弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，準(zhǔn)確記憶公式，并正確代入公式是解題的關(guān)鍵．8．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）某天老師給同學(xué)們出了一道趣味數(shù)學(xué)題：設(shè)有編號(hào)為1-100的100盞燈，分別對(duì)應(yīng)著編號(hào)為1-100的100個(gè)開關(guān)，燈分為“亮”和“不亮”兩種狀態(tài)，每按一次開關(guān)改變一次相對(duì)應(yīng)編號(hào)的燈的狀態(tài)，所有燈的初始狀態(tài)為“不亮”．現(xiàn)有100個(gè)人，第1個(gè)人把所有編號(hào)是1的整數(shù)倍的開關(guān)按一次，第2個(gè)人把所有編號(hào)是2的整數(shù)倍的開關(guān)按一次，第3個(gè)人把所有編號(hào)是3的整數(shù)倍的開關(guān)按一次，……，第100個(gè)人把所有編號(hào)是100的整數(shù)倍的開關(guān)按一次．問最終狀態(tài)為“亮”的燈共有多少盞？幾位同學(xué)對(duì)該問題展開了討論：甲：應(yīng)分析每個(gè)開關(guān)被按的次數(shù)找出規(guī)律：乙：1號(hào)開關(guān)只被第1個(gè)人按了1次，2號(hào)開關(guān)被第1個(gè)人和第2個(gè)人共按了2次，3號(hào)開關(guān)被第1個(gè)人和第3個(gè)人共按了2次，……丙：只有按了奇數(shù)次的開關(guān)所對(duì)應(yīng)的燈最終是“亮”的狀態(tài)．根據(jù)以上同學(xué)的思維過程，可以得出最終狀態(tài)為“亮”的燈共有___________盞．【答案】10【分析】燈的初始狀態(tài)為“不亮”，按奇數(shù)次，則狀態(tài)為“亮”，按偶數(shù)次，則狀態(tài)為“不亮”，確定1-100中，各個(gè)數(shù)因數(shù)的個(gè)數(shù)，完全平方數(shù)的因數(shù)為奇數(shù)個(gè)，從而求解．【詳解】所有燈的初始狀態(tài)為“不亮”，按奇數(shù)次，則狀態(tài)為“亮”，按偶數(shù)次，則狀態(tài)為“不亮”；因數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)的自然數(shù)只有完全平方數(shù)，1-100中，完全平方數(shù)為1，4，9，16，25，36，49，64，81，100；有10個(gè)數(shù)，故有10盞燈被按奇數(shù)次，為“亮”的狀態(tài)；故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查因數(shù)分解，完全平方數(shù)，理解因數(shù)的意義，完全平方數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．9．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖．是以O(shè)為圓心，為半徑的圓弧，C是弦的中點(diǎn)，D在上，．“會(huì)圓術(shù)”給出長(zhǎng)l的近似值s計(jì)算公式：，當(dāng)，時(shí)，__________．（結(jié)果保留一位小數(shù)）【答案】0.1【分析】由已知求得與的值，代入得弧長(zhǎng)的近似值，利用弧長(zhǎng)公式可求弧長(zhǎng)的值，進(jìn)而即可得解．【詳解】∵，∴，∵C是弦的中點(diǎn)，D在上，，∴延長(zhǎng)可得O在上，∴，∴，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查扇形的弧長(zhǎng)，掌握垂徑定理?；￠L(zhǎng)公式是關(guān)鍵．10．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）學(xué)校組織學(xué)生參加木藝藝術(shù)品加工勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)．已知某木藝藝術(shù)品加工完成共需A，B，C，D，E，F(xiàn)，G七道工序，加工要求如下：①工序C，D須在工序A完成后進(jìn)行，工序E須在工序B，D都完成后進(jìn)行，工序F須在工序C，D都完成后進(jìn)行；②一道工序只能由一名學(xué)生完成，此工序完成后該學(xué)生才能進(jìn)行其他工序；③各道工序所需時(shí)間如下表所示：工序ABCDEFG所需時(shí)間/分鐘99797102在不考慮其他因素的前提下，若由一名學(xué)生單獨(dú)完成此木藝藝術(shù)品的加工，則需要______分鐘；若由兩名學(xué)生合作完成此木藝藝術(shù)品的加工，則最少需要______分鐘．【答案】53；28【分析】將所有工序需要的時(shí)間相加即可得出由一名學(xué)生單獨(dú)完成需要的時(shí)間；假設(shè)這兩名學(xué)生為甲、乙，根據(jù)加工要求可知甲學(xué)生做工序A，乙學(xué)生同時(shí)做工序B；然后甲學(xué)生做工序D，乙學(xué)生同時(shí)做工序C，乙學(xué)生工序C完成后接著做工序G；最后甲學(xué)生做工序E，乙學(xué)生同時(shí)做工序F，然后可得答案．【詳解】解：由題意得：（分鐘），即由一名學(xué)生單獨(dú)完成此木藝藝術(shù)品的加工，需要53分鐘；假設(shè)這兩名學(xué)生為甲、乙，∵工序C，D須在工序A完成后進(jìn)行，工序E須在工序B，D都完成后進(jìn)行，且工序A，B都需要9分鐘完成，∴甲學(xué)生做工序A，乙學(xué)生同時(shí)做工序B，需要9分鐘，然后甲學(xué)生做工序D，乙學(xué)生同時(shí)做工序C，乙學(xué)生工序C完成后接著做工序G，需要9分鐘，最后甲學(xué)生做工序E，乙學(xué)生同時(shí)做工序F，需要10分鐘，∴若由兩名學(xué)生合作完成此木藝藝術(shù)品的加工，最少需要（分鐘），故答案為：53，28；【點(diǎn)睛】本題考查了邏輯推理與時(shí)間統(tǒng)籌，根據(jù)加工要求得出加工順序是解題的關(guān)鍵．11．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）對(duì)于一個(gè)四位自然數(shù)M，若它的千位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字多6，百位數(shù)字比十位數(shù)字多2，則稱M為“天真數(shù)”．如：四位數(shù)7311，∵，，∴7311是“天真數(shù)”；四位數(shù)8421，∵，∴8421不是“天真數(shù)”，則最小的“天真數(shù)”為________；一個(gè)“天真數(shù)”M的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d，記，，若能被10整除，則滿足條件的M的最大值為________．【答案】6200；9313【分析】根據(jù)題中“天真數(shù)”可求得最小的“天真數(shù)”；先根據(jù)題中新定義得到，進(jìn)而，若M最大，只需千位數(shù)字a取最大，即，再根據(jù)能被10整除求得，進(jìn)而可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，只需千位數(shù)字和百位數(shù)字盡可能的小，所以最小的“天真數(shù)”為6200；根據(jù)題意，，，，，則，∴，∴，若M最大，只需千位數(shù)字a取最大，即，∴，∵能被10整除，∴，∴滿足條件的M的最大值為9313，故答案為：6200，9313．【點(diǎn)睛】本題是一道新定義題，涉及有理數(shù)的運(yùn)算、整式的加減、數(shù)的整除等知識(shí)，理解新定義是解答的關(guān)鍵．12．（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）定義：若x，y滿足且（t為常數(shù)），則稱點(diǎn)為“和諧點(diǎn)”．（1）若是“和諧點(diǎn)”，則__________．（2）若雙曲線存在“和諧點(diǎn)”，則k的取值范圍為__________．【答案】；【分析】（1）根據(jù)“和諧點(diǎn)”的定義得到，整理得到，解得（不合題意，舍去），即可得到答案；（2）設(shè)點(diǎn)為雙曲線上的“和諧點(diǎn)”，根據(jù)“和諧點(diǎn)”的定義整理得到，由得到，則，由進(jìn)一步得到，且，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得到k的取值范圍．【詳解】解：（1）若是“和諧點(diǎn)”，則，則，∴，即，解得（不合題意，舍去），∴，故答案為：（2）設(shè)點(diǎn)為雙曲線上的“和諧點(diǎn)”，∴，，即，∴，則，∵，∴，即，∵，∴，且，對(duì)拋物線來說，∵，∴開口向下，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∵對(duì)稱軸為，，∴當(dāng)時(shí)，k取最大值為4，∴k的取值范圍為，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識(shí)，讀懂題意，熟練掌握反比例函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)圖形上的點(diǎn)都在一邊平行于軸的矩形內(nèi)部（包括邊界），這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關(guān)聯(lián)矩形．例如：如圖，函數(shù)的圖象（拋物線中的實(shí)線部分），它的關(guān)聯(lián)矩形為矩形．若二次函數(shù)圖象的關(guān)聯(lián)矩形恰好也是矩形，則________．

【答案】或【分析】根據(jù)題意求得點(diǎn)，，，根據(jù)題意分兩種情況，待定系數(shù)法求解析式即可求解．【詳解】由，當(dāng)時(shí)，，∴，∵，四邊形是矩形，∴，①當(dāng)拋物線經(jīng)過時(shí)，將點(diǎn)，代入，∴解得：②當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，將點(diǎn),代入，∴解得：綜上所述，或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，理解新定義，最小矩形的限制條件是解題的關(guān)鍵．14．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如果一個(gè)四位自然數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0，滿足，那么稱這個(gè)四位數(shù)為“遞減數(shù)”．例如：四位數(shù)4129，∵，∴4129是“遞減數(shù)”；又如：四位數(shù)5324，∵，∴5324不是“遞減數(shù)”．若一個(gè)“遞減數(shù)”為，則這個(gè)數(shù)為___________；若一個(gè)“遞減數(shù)”的前三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)與后三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)的和能被9整除，則滿足條件的數(shù)的最大值是___________．【答案】；8165【分析】根據(jù)遞減數(shù)的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵是遞減數(shù)，∴，∴，∴這個(gè)數(shù)為；故答案為：∵一個(gè)“遞減數(shù)”的前三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)與后三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)的和能被9整除，∴，∵，∴，∵，能被整除，∴能被9整除，∵各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0，∴，∵最大的遞減數(shù)，∴，∴，即：，∴最大取，此時(shí)，∴這個(gè)最大的遞減數(shù)為8165．故答案為：8165．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程和二元一次方程的應(yīng)用．理解并掌握遞減數(shù)的定義，是解題的關(guān)鍵．三、解答題15．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）閱讀材料：材料1：關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根和系數(shù)a，b，c有如下關(guān)系：，．材料2：已知一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，求的值．解：∵m，n是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴．則．根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，完成下列問題：(1)應(yīng)用：一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，則___________，___________；(2)類比：已知一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為m，n，求的值；(3)提升：已知實(shí)數(shù)s，t滿足且，求的值．【答案】(1)，(2)(3)的值為或【分析】（1）直接利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可；（2）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可求出，，再根據(jù)，最后代入求值即可；（3）由題意可將s、t可以看作方程的兩個(gè)根，即得出，，從而由，求得或，最后分類討論分別代入求值即可．【詳解】（1）解：∵一元二次方程的兩個(gè)根為，，∴，．故答案為：，；（2）解：∵一元二次方程的兩根分別為m、n，∴，，∴；（3）解：∵實(shí)數(shù)s、t滿足，∴s、t可以看作方程的兩個(gè)根，∴，，∵，∴或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上分析可知，的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式的變形計(jì)算，分式的混合運(yùn)算．理解題意，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：和是解題關(guān)鍵．16．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）兩漢文化看徐州，桐桐在徐州博物館“天工漢玉”展廳參觀時(shí)了解到；玉壁，玉環(huán)為我國(guó)的傳統(tǒng)玉器，通常為正中帶圓孔的扇圓型器物，據(jù)《爾雅·釋器》記載：“肉倍好，謂之璧；肉好若一，調(diào)之環(huán)．”如圖1，“肉”指邊（陰影部分），“好”指孔，其比例關(guān)系見圖示，以考古發(fā)現(xiàn)看，這兩種玉器的“肉”與“好”未必符合該比例關(guān)系．(1)若圖1中兩個(gè)大圓的直徑相等，則璧與環(huán)的“肉”的面積之比為；(2)利用圓規(guī)與無刻度的直尺，解決下列問題（保留作圖痕跡，不寫作法）．①圖2為徐州獅子山楚王墓出土的“雷紋玉環(huán)”及其主視圖，試判斷該件玉器的比例關(guān)系是否符合“肉好若一”？②圖3表示一件圓形玉坯，若將其加工成玉璧，且比例關(guān)系符合“肉倍好”，請(qǐng)畫出內(nèi)孔．【答案】(1)(2)①符合，圖見詳解；②圖見詳解【分析】（1）根據(jù)圓環(huán)面積可進(jìn)行求解；（2）①先確定該圓環(huán)的圓心，然后利用圓規(guī)確定其比例關(guān)系即可；②先確定好圓的圓心，然后根據(jù)平行線所截線段成比例可進(jìn)行作圖．【詳解】（1）解：由圖1可知：璧的“肉”的面積為；環(huán)的“肉”的面積為，∴它們的面積之比為；故答案為；（2）解：①在該圓環(huán)任意畫兩條相交的線，且交點(diǎn)在外圓的圓上，且與外圓的交點(diǎn)分別為A、B、C，則分別以A、B為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧，交于兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)，同理可畫出線段的垂直平分線，線段的垂直平分線的交點(diǎn)即為圓心O，過圓心O畫一條直徑，以O(shè)為圓心，內(nèi)圓半徑為半徑畫弧，看是否滿足“肉好若一”的比例關(guān)系即可

由作圖可知滿足比例關(guān)系為的關(guān)系；②按照①中作出圓的圓心O，過圓心畫一條直徑，過點(diǎn)A作一條射線，然后以A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，把射線三等分，交點(diǎn)分別為C、D、E，連接，然后分別過點(diǎn)C、D作的平行線，交于點(diǎn)F、G，進(jìn)而以為直徑畫圓，則問題得解；如圖所示：

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)及平行線所截線段成比例，熟練掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)及平行線所截線段成比例是解題的關(guān)鍵．17．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）定義：有兩個(gè)相鄰的內(nèi)角是直角，并且有兩條鄰邊相等的四邊形稱為鄰等四邊形，相等兩鄰邊的夾角稱為鄰等角．

(1)如圖1，在四邊形中，，對(duì)角線平分．求證：四邊形為鄰等四邊形．(2)如圖2，在6×5的方格紙中，A，B，C三點(diǎn)均在格點(diǎn)上，若四邊形是鄰等四邊形，請(qǐng)畫出所有符合條件的格點(diǎn)D．(3)如圖3，四邊形是鄰等四邊形，，為鄰等角，連接，過B作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．若，求四邊形的周長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析(2)畫圖見解析(3)【分析】（1）先證明，，再證明，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)新定義分兩種情況進(jìn)行討論即可；①，結(jié)合圖形再確定滿足或的格點(diǎn)D；②，結(jié)合圖形再確定滿足的格點(diǎn)D；（3）如圖，過作于，可得四邊形是矩形，，，證明四邊形為平行四邊形，可得，，設(shè)，而，，，由新定義可得，由勾股定理可得：，再解方程可得答案．【詳解】（1）解：∵，∴，，∵對(duì)角線平分，∴，∴，∴，∴四邊形為鄰等四邊形．（2）解：，，即為所求；（3）如圖，過作于，

∵，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，，設(shè)，而，∴，，由新定義可得，由勾股定理可得：，整理得：，解得：，（不符合題意舍去），∴，∴四邊形的周長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查的是新定義的含義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，理解題意，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．18．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）閱讀與思考：下面是一位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．瓦里尼翁平行四邊形我們知道，如圖1，在四邊形中，點(diǎn)分別是邊，的中點(diǎn)，順次連接，得到的四邊形是平行四邊形．

我查閱了許多資料，得知這個(gè)平行四邊形被稱為瓦里尼翁平行四邊形．瓦里尼翁是法國(guó)數(shù)學(xué)家、力學(xué)家．瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關(guān)系密切．

①當(dāng)原四邊形的對(duì)角線滿足一定關(guān)系時(shí)，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四邊形的周長(zhǎng)與原四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度也有一定關(guān)系．③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半．此結(jié)論可借助圖1證明如下：證明：如圖2，連接，分別交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．∵分別為的中點(diǎn)，∴．（依據(jù)1）

∴．∵，∴．∵四邊形是瓦里尼翁平行四邊形，∴，即．∵，即，∴四邊形是平行四邊形．（依據(jù)2）∴．∵，∴．同理，…任務(wù)：(1)填空：材料中的依據(jù)1是指：_____________．依據(jù)2是指：_____________．(2)請(qǐng)用刻度尺、三角板等工具，畫一個(gè)四邊形及它的瓦里尼翁平行四邊形，使得四邊形為矩形；（要求同時(shí)畫出四邊形的對(duì)角線）(3)在圖1中，分別連接得到圖3，請(qǐng)猜想瓦里尼翁平行四邊形的周長(zhǎng)與對(duì)角線長(zhǎng)度的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

【答案】(1)三角形中位線定理（或三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半）；平行四邊形的定義（或兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形）(2)答案不唯一，見解析(3)平行四邊形的周長(zhǎng)等于對(duì)角線與長(zhǎng)度的和，見解析【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理和平行四邊形的定義解答即可；（2）作對(duì)角線互相垂直的四邊形，再順次連接這個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)即可；（3）根據(jù)三角形中位線定理得瓦里尼翁平行四邊形一組對(duì)邊和等于四邊形的一條對(duì)角線，即可得妯結(jié)論．【詳解】（1）解：三角形中位線定理（或三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半）平行四邊形的定義（或兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形）（2）解：答案不唯一，只要是對(duì)角線互相垂直的四邊形，它的瓦里尼翁平行四邊形即為矩形均可．例如：如圖即為所求

（3）瓦里尼翁平行四邊形的周長(zhǎng)等于四邊形的兩條對(duì)角線與長(zhǎng)度的和，證明如下：∵點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，∴．∴．同理．∴四邊形的周長(zhǎng)．即瓦里尼翁平行四邊形的周長(zhǎng)等于對(duì)角線與長(zhǎng)度的和．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定，矩形的判定，三角形中位線．熟練掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．19．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)計(jì)了點(diǎn)的兩種移動(dòng)方式：從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)稱為一次甲方式：從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)稱為一次乙方式．例、點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)連續(xù)移動(dòng)2次；若都按甲方式，最終移動(dòng)到點(diǎn)；若都按乙方式，最終移動(dòng)到點(diǎn)；若按1次甲方式和1次乙方式，最終移動(dòng)到點(diǎn)．

(1)設(shè)直線經(jīng)過上例中的點(diǎn)，求的解析式；并直接寫出將向上平移9個(gè)單位長(zhǎng)度得到的直線的解析式；(2)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)連續(xù)移動(dòng)10次，每次移動(dòng)按甲方式或乙方式，最終移動(dòng)到點(diǎn)．其中，按甲方式移動(dòng)了m次．①用含m的式子分別表示；②請(qǐng)說明：無論m怎樣變化，點(diǎn)Q都在一條確定的直線上．設(shè)這條直線為，在圖中直接畫出的圖象；(3)在（1）和（2）中的直線上分別有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，橫坐標(biāo)依次為，若A，B，C三點(diǎn)始終在一條直線上，直接寫出此時(shí)a，b，c之間的關(guān)系式．【答案】(1)的解析式為；的解析式為；(2)①；②的解析式為，圖象見解析；(3)【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求出的解析式，然后根據(jù)直線平移的規(guī)律：上加下減即可求出直線的解析式；（2）①根據(jù)題意可得：點(diǎn)P按照甲方式移動(dòng)m次后得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為，再得出點(diǎn)按照乙方式移動(dòng)次后得到的點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，即得結(jié)果；②由①的結(jié)果可得直線的解析式，進(jìn)而可畫出函數(shù)圖象；（3）先根據(jù)題意得出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入整理即可得出結(jié)果．【詳解】（1）設(shè)的解析式為，把、代入，得，解得：，∴的解析式為；將向上平移9個(gè)單位長(zhǎng)度得到的直線的解析式為；（2）①∵點(diǎn)P按照甲方式移動(dòng)了m次，點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)連續(xù)移動(dòng)10次，∴點(diǎn)P按照乙方式移動(dòng)了次，∴點(diǎn)P按照甲方式移動(dòng)m次后得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為；∴點(diǎn)按照乙方式移動(dòng)次后得到的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，∴；②由于，∴直線的解析式為；函數(shù)圖象如圖所示：

（3）∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，且分別在直線上，∴，設(shè)直線的解析式為，把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，得，解得：，∴直線的解析式為，∵A，B，C三點(diǎn)始終在一條直線上，∴，整理得：；即a，b，c之間的關(guān)系式為：．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)和平移綜合題，主要考查了平移的性質(zhì)和一次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，正確理解題意、熟練掌握平移的性質(zhì)和待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式是解題關(guān)鍵．20．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）閱讀下面材料：將邊長(zhǎng)分別為a，，，的正方形面積分別記為，，，．則例如：當(dāng)，時(shí)，根據(jù)以上材料解答下列問題：(1)當(dāng)，時(shí)，______，______；(2)當(dāng)，時(shí)，把邊長(zhǎng)為的正方形面積記作，其中n是正整數(shù)，從（1）中的計(jì)算結(jié)果，你能猜出等于多少嗎？并證明你的猜想；(3)當(dāng)，時(shí)，令，，，…，，且，求T的值．【答案】(1)，(2)猜想結(jié)論：，證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)題意，直接代入然后利用完全平方公式展開合并求解即可；（2）根據(jù)題意得出猜想，然后由完全平方公式展開證明即可；（3）結(jié)合題意利用（2）中結(jié)論求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)，時(shí)，原式；當(dāng)，時(shí)，原式；（2）猜想結(jié)論：證明：；（3）．【點(diǎn)睛】題目主要考查利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，理解題意，得出相應(yīng)規(guī)律是解題關(guān)鍵．21．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，點(diǎn)是線段上與點(diǎn)，點(diǎn)不重合的任意一點(diǎn)，在的同側(cè)分別以，，為頂點(diǎn)作，其中與的一邊分別是射線和射線，的兩邊不在直線上，我們規(guī)定這三個(gè)角互為等聯(lián)角，點(diǎn)為等聯(lián)點(diǎn)，線段為等聯(lián)線．(1)如圖2，在個(gè)方格的紙上，小正方形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)、邊長(zhǎng)均為1，為端點(diǎn)在格點(diǎn)的已知線段．請(qǐng)用三種不同連接格點(diǎn)的方法，作出以線段為等聯(lián)線、某格點(diǎn)為等聯(lián)點(diǎn)的等聯(lián)角，并標(biāo)出等聯(lián)角，保留作圖痕跡；(2)如圖3，在中，，，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，作的等聯(lián)角和．將沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，得到，再延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，連接．①確定的形狀，并說明理由；②若，，求等聯(lián)線和線段的長(zhǎng)（用含的式子表示）．【答案】(1)見解析(2)①等腰直角三角形，見解析；②；【分析】（1）根據(jù)新定義，畫出等聯(lián)角；（2）①是等腰直角三角形，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于．由折疊得，，，證明四邊形為正方形，進(jìn)而證明，得出即可求解；②過點(diǎn)作于，交的延長(zhǎng)線于，則．證明，得出，在中，，，進(jìn)而證明四邊形為正方形，則，由，得出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示（方法不唯一）（2）①是等腰直角三角形．理由為：如圖，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于．由折疊得，，，，四邊形為正方形又，，而，是等腰直角三角形．②過點(diǎn)作于，交的延長(zhǎng)線于，則．，，由是等腰直角三角形知：，，，，而，，在中，，，，，，由，，∴四邊形為正方形，，由，得：，∴，，而，即，解得：，由①知：，，．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何新定義，正方形的性質(zhì)與判定，折疊問題，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，理解新定義，掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)點(diǎn)N在圖形M的內(nèi)部，或在圖形M上，且點(diǎn)N的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等時(shí)，則稱點(diǎn)N為圖形M的“夢(mèng)之點(diǎn)”．

(1)如圖①，矩形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，，在點(diǎn)，，中，是矩形“夢(mèng)之點(diǎn)”的是___________；(2)點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”，則該函數(shù)圖象上的另一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”H的坐標(biāo)是___________，直線的解析式是___________．當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是___________．(3)如圖②，已知點(diǎn)A，B是拋物線上的“夢(mèng)之點(diǎn)”，點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn)，連接，，，判斷的形狀，并說明理由．【答案】(1)，(2)，，或(3)是直角三角形，理由見解析【分析】（1）根據(jù)“夢(mèng)之點(diǎn)”的定義判斷這幾個(gè)點(diǎn)是否在矩形內(nèi)部或邊上即可；（2）把代入求出解析式，再求與的交點(diǎn)即為，最后根據(jù)函數(shù)圖象判斷當(dāng)時(shí)，x的取值范圍；（3）根據(jù)“夢(mèng)之點(diǎn)”的定義求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再求出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，最后求出，，，即可判斷的形狀．【詳解】（1）∵矩形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，，∴矩形“夢(mèng)之點(diǎn)”滿足，，∴點(diǎn)，是矩形“夢(mèng)之點(diǎn)”，點(diǎn)不是矩形“夢(mèng)之點(diǎn)”，故答案為：，；（2）∵點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”，∴把代入得，∴，∵“夢(mèng)之點(diǎn)”的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，∴“夢(mèng)之點(diǎn)”都在直線上，聯(lián)立，解得或，∴，∴直線的解析式是，函數(shù)圖象如圖：

由圖可得，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是或；故答案為：，，或；（3）是直角三角形，理由如下：∵點(diǎn)A，B是拋物線上的“夢(mèng)之點(diǎn)”，∴聯(lián)立，解得或，∴，，∵∴頂點(diǎn)，∴，，，∴，∴是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題是函數(shù)的綜合題，考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住兩點(diǎn)間的距離公式，正確理解新定義是解決此題的關(guān)鍵．23．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1．對(duì)于的弦和外一點(diǎn)C給出如下定義：若直線，中一條經(jīng)過點(diǎn)O，另一條是的切線，則稱點(diǎn)C是弦的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．(1)如圖，點(diǎn)，，①在點(diǎn)，，中，弦的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是______．②若點(diǎn)C是弦的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，直接寫出的長(zhǎng)；(2)已知點(diǎn)，．對(duì)于線段上一點(diǎn)S，存在的弦，使得點(diǎn)S是弦的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，記的長(zhǎng)為t，當(dāng)點(diǎn)S在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫出t的取值范圍．【答案】(1)，；(2)或【分析】（1）根據(jù)題目中關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義并分情況討論計(jì)算即可；（2）根據(jù)，兩點(diǎn)來求最值情況，S共有2種情況，分別位于點(diǎn)M和經(jīng)過點(diǎn)O的的垂直平分線上，運(yùn)用相似三角形計(jì)算即可．【詳解】（1）解：①由關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義可知，若直線中一經(jīng)過點(diǎn)O，另一條是的切線，則稱點(diǎn)C是弦的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，∵點(diǎn)，，，，，∴直線經(jīng)過點(diǎn)O，且與相切，∴是弦的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，又∵和橫坐標(biāo)相等，與都位于直線上，∴與相切，經(jīng)過點(diǎn)O，∴是弦的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．②∵，，設(shè)，如下圖所示，共有兩種情況，

a、若與相切，經(jīng)過點(diǎn)O，則、所在直線為：，解得：，∴，b、若與相切，經(jīng)過點(diǎn)O，則、所在直線為：，解得：，∴，綜上，．（2）解：∵線段上一點(diǎn)S，存在的弦，使得點(diǎn)S是弦的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，又∵弦隨著S的變動(dòng)在一定范圍內(nèi)變動(dòng)，且，，，∴S共有2種情況，分別位于點(diǎn)M和經(jīng)過點(diǎn)O的的垂直平分線上，如圖所示，

①當(dāng)S位于點(diǎn)時(shí)，為的切線，作，∵，的半徑為1，且為的切線，∴，∵，∴，∴，即，解得，∴根據(jù)勾股定理得，，根據(jù)勾股定理，，同理，，∴當(dāng)S位于點(diǎn)時(shí)，的臨界值為和．②當(dāng)S位于經(jīng)過點(diǎn)O的的垂直平分線上即點(diǎn)K時(shí)，∵點(diǎn)，，∴，∴，又∵的半徑為1，∴，∴三角形為等邊三角形，∴在此情況下，，，∴當(dāng)S位于經(jīng)過點(diǎn)O的的垂直平分線上即點(diǎn)K時(shí)，的臨界值為和，∴在兩種情況下，的最小值在內(nèi)，最大值在，綜上所述，t的取值范圍為或，【點(diǎn)睛】本題主要考查最值問題，題目較為新穎，要靈活運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)，明確新概念時(shí)解答此題的關(guān)鍵．24．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）閱讀理解題：閱讀材料：如圖1，四邊形是矩形，是等腰直角三角形，記為、為，若，則．

證明：設(shè)，∵，∴，易證∴，∴∴，若時(shí)，當(dāng)，則．同理：若時(shí)，當(dāng)，則．根據(jù)上述材料，完成下列問題：如圖2，直線與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．將直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的直線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，已知．

(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)直接寫出的值；(3)求直線的解析式．【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）首先求出點(diǎn)，然后設(shè)，在中，利用勾股定理求出，得到，然后代入求解即可；（2）首先根據(jù)，得到，，求出，，然后利用正切值的概念求出，然后證明出四邊形是矩形，得到，然后由即可求出；（3）首先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，然后利用求出，進(jìn)而得到，然后設(shè)直線的解析式為，利用待定系數(shù)法將和代入求解即可．【詳解】（1）將代入得，，∴，∵直線與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，∴設(shè)，∵，，∴在中，，∴，∴解得，，∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)要大于點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，∴應(yīng)舍去，∴，∴，∴將代入，解得；∴反比例函數(shù)的解析式為；（2）∵，，∴，，∴，，∵，∴，∵，，∴四邊形是矩形，∴，∵將直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的直線與軸交于點(diǎn)，∴，∴，∵，∴；（3）∵四邊形是矩形，∴，，∵，，∴，即，∴解得，∴，∴，∴設(shè)直線的解析式為，∴將和代入得，，∴解得，∴直線的解析式為．【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)，一次函數(shù)和幾何綜合題，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確理解材料的內(nèi)容．25．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題）【問題背景】“刻漏”是我國(guó)古代的一種利用水流計(jì)時(shí)的工具．綜合實(shí)踐小組準(zhǔn)備用甲、乙兩個(gè)透明的豎直放置的容器和一根帶節(jié)流閥（控制水的流速大?。┑能浌苤谱骱?jiǎn)易計(jì)時(shí)裝置．【實(shí)驗(yàn)操作】綜合實(shí)踐小組設(shè)計(jì)了如下的實(shí)驗(yàn)：先在甲容器里加滿水，此時(shí)水面高度為30cm，開始放水后每隔10min觀察一次甲容器中的水面高度，獲得的數(shù)據(jù)如下表：流水時(shí)間t/min010203040水面高度h/cm（觀察值）302928.12725.8任務(wù)1

分別計(jì)算表中每隔10min水面高度觀察值的變化量．【建立模型】小組討論發(fā)現(xiàn)：“，”是初始狀態(tài)下的準(zhǔn)確數(shù)據(jù)，水面高度值的變化不均勻，但可以用一次函數(shù)近似地刻畫水面高度h與流水時(shí)間t的關(guān)系．

任務(wù)2

利用時(shí)，；時(shí)，這兩組數(shù)據(jù)求水面高度h與流水時(shí)間t的函數(shù)解析式．【反思優(yōu)化】經(jīng)檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)有兩組表中觀察值不滿足任務(wù)2中求出的函數(shù)解析式，存在偏差．小組決定優(yōu)化函數(shù)解析式，減少偏差．通過查閱資料后知道：t為表中數(shù)據(jù)時(shí)，根據(jù)解析式求出所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，計(jì)算這些函數(shù)值與對(duì)應(yīng)h的觀察值之差的平方和，記為w；w越小，偏差越?。蝿?wù)3

（1）計(jì)算任務(wù)2得到的函數(shù)解析式的w值．（2）請(qǐng)確定經(jīng)過的一次函數(shù)解析式，使得w的值最?。驹O(shè)計(jì)刻度】得到優(yōu)化的函數(shù)解析式后，綜合實(shí)踐小組決定在甲容器外壁設(shè)計(jì)刻度，通過刻度直接讀取時(shí)間．任務(wù)4

請(qǐng)你簡(jiǎn)要寫出時(shí)間刻度的設(shè)計(jì)方案．【答案】任務(wù)1：見解析；任務(wù)2：；任務(wù)3：（1），（2）；任務(wù)4：見解析【分析】任務(wù)1：根據(jù)表格每隔10min水面高度數(shù)據(jù)計(jì)算即可；任務(wù)2：根據(jù)每隔10min水面高度觀察值的變化量大約相等，得出水面高度h與流水時(shí)間t的是一次函數(shù)關(guān)系，由待定系數(shù)法求解；任務(wù)3：（1）先求出對(duì)應(yīng)時(shí)間的水面高度，再按要求求w值；（2）設(shè)，然后根據(jù)表格中數(shù)據(jù)求出此時(shí)w的值是關(guān)于k的二次函數(shù)解析式；由此求出w的值最小時(shí)k值即可；任務(wù)4：根據(jù)高度隨時(shí)間變化規(guī)律，以相同時(shí)間刻畫不同高度即可，類似如數(shù)軸三要素，有原點(diǎn)、正方向與單位長(zhǎng)度．最大量程約為294min可以代替單位長(zhǎng)度要素．【詳解】解：任務(wù)1：變化量分別為，；；；；任務(wù)2：設(shè)，∵時(shí)，，時(shí)，；∴∴水面高度h與流水時(shí)間t的函數(shù)解析式為．任務(wù)3：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴．（2）設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，w最?。鄡?yōu)化后的函數(shù)解析式為．任務(wù)4：時(shí)間刻度方案要點(diǎn)：①時(shí)間刻度的0刻度在水位最高處；②刻度從上向下均勻變大；③每0.102cm表示1min（1cm表示時(shí)間約為9.8min）．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用、方差的計(jì)算，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式及一次函數(shù)的函數(shù)值、二次函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵．26．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）問題情境：“綜合與實(shí)踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對(duì)角線剪開，得到兩個(gè)全等的三角形紙片，表示為和，其中．將和按圖2所示方式擺放，其中點(diǎn)與點(diǎn)重合（標(biāo)記為點(diǎn)）．當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．試判斷四邊形的形狀，并說明理由．

(1)數(shù)學(xué)思考：談你解答老師提出的問題；(2)深入探究：老師將圖2中的繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在內(nèi)部，并讓同學(xué)們提出新的問題．

①“善思小組”提出問題：如圖3，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)與交于點(diǎn)．試猜想線段和的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．請(qǐng)你解答此問題；

②“智慧小組”提出問題：如圖4，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)．請(qǐng)你思考此問題，直接寫出結(jié)果．

【答案】(1)正方形，見解析(2)①，見解析；②【分析】（1）先證明四邊形是矩形，再由可得，從而得四邊形是正方形；（2）①由已知可得，再由等積方法，再結(jié)合已知即可證明結(jié)論；②設(shè)的交點(diǎn)為M，過M作于G，則易得，點(diǎn)G是的中點(diǎn)；利用三角函數(shù)知識(shí)可求得的長(zhǎng)，進(jìn)而求得的長(zhǎng)，利用相似三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果．【詳解】（1）解：四邊形為正方形．理由如下：∵，∴．∵，∴．∴．∵，∴四邊形為矩形．∵，∴．∴矩形為正方形．（2）：①．證明：∵，∴．∵，∴．∵，即，∴．∵，∴．由（1）得，∴．②解：如圖：設(shè)的交點(diǎn)為M，過M作于G，∵，∴，，∴；∵，∴，∴，∵，∴點(diǎn)G是的中點(diǎn)；由勾股定理得，∴；∵，∴，即；∴；∵，，∴，∴，∴，即的長(zhǎng)為．

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，適當(dāng)添加的輔助線、構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．27．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）【感知】如圖①，點(diǎn)A、B、P均在上，，則銳角的大小為__________度．

【探究】小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖②，是等邊三角形的外接圓，點(diǎn)P在上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），連結(jié)、、．求證：．小明發(fā)現(xiàn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，通過證明，可推得是等邊三角形，進(jìn)而得證．下面是小明的部分證明過程：證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，四邊形是的內(nèi)接四邊形，．，．是等邊三角形．，請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過程．【應(yīng)用】如圖③，是的外接圓，，點(diǎn)P在上，且點(diǎn)P與點(diǎn)B在的兩側(cè)，連結(jié)、、．若，則的值為__________．【答案】感知：；探究：見解析；應(yīng)用：．【分析】感知：由圓周角定理即可求解；探究：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，通過證明，可推得是等邊三角形，進(jìn)而得證；應(yīng)用：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，通過證明得，可推得是等腰直角三角形，結(jié)合與可得，代入即可求解．【詳解】感知：由圓周角定理可得，故答案為：；探究：證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，四邊形是的內(nèi)接四邊形，．，．是等邊三角形．，，∴，，，是等邊三角形，，，即；應(yīng)用：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，四邊形是的內(nèi)接四邊形，．，．，，∴，，，是等腰直角三角形，，，即，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，鄰補(bǔ)角，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理解直角三角形；解題的關(guān)鍵是做輔助線構(gòu)造，進(jìn)行轉(zhuǎn)換求解．28．（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）【探究與證明】折紙，操作簡(jiǎn)單，富有數(shù)學(xué)趣味，我們可以通過折紙開展數(shù)學(xué)探究，探索數(shù)學(xué)奧秘．【動(dòng)手操作】如圖1，將矩形紙片對(duì)折，使與重合，展平紙片，得到折痕；折疊紙片，使點(diǎn)B落在上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)A，得到折痕，點(diǎn)B，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，展平紙片，連接，，．

請(qǐng)完成：(1)觀察圖1中，和，試猜想這三個(gè)角的大小關(guān)系；(2)證明（1）中的猜想；【類比操作】如圖2，N為矩形紙片的邊上的一點(diǎn)，連接，在上取一點(diǎn)P，折疊紙片，使B，P兩點(diǎn)重合，展平紙片，得到折痕；折疊紙片，使點(diǎn)B，P分別落在，上，得到折痕l，點(diǎn)B，P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，展平紙片，連接，．

請(qǐng)完成：(3)證明是的一條三等分線．【答案】(1)(2)見詳解(3)見詳解【分析】（1）根據(jù)題意可進(jìn)行求解；（2）由折疊的性質(zhì)可知，，然后可得，則有是等邊三角形，進(jìn)而問題可求證；（3）連接，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)證明，根據(jù)平行線的性質(zhì)證明，證明，得出，即可證明．【詳解】（1）解：由題意可知；（2）證明：由折疊的性質(zhì)可得：，，，，∴，，∴是等邊三角形，∵，，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴；（3）證明：連接，如圖所示：由折疊的性質(zhì)可知：，，，∵折痕，，∴，∵四邊形為矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∵在和中，，∴，∴，∴，∴，∴是的一條三等分線．【點(diǎn)睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)與判定及矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，作出輔助線，熟練掌握折疊的性質(zhì)，證明，是解題的關(guān)鍵．29．（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）李老師善于通過合適的主題整合教學(xué)內(nèi)容，幫助同學(xué)們用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣．下面是李老師在“圖形的變化”主題下設(shè)計(jì)的問題，請(qǐng)你解答．

(1)觀察發(fā)現(xiàn)：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的直線軸，作關(guān)于軸對(duì)稱的圖形，再分別作關(guān)于軸和直線對(duì)稱的圖形和，則可以看作是繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為______；可以看作是向右平移得到的，平移距離為______個(gè)單位長(zhǎng)度．(2)探究遷移：如圖，中，，為直線下方一點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，再分別作點(diǎn)關(guān)于直線和直線的對(duì)稱點(diǎn)和，連接，，請(qǐng)僅就圖的情形解決以下問題：①若，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②若，求，兩點(diǎn)間的距離．(3)拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，若，，，連接．當(dāng)與的邊平行時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．【答案】(1)，(2)①，理由見解析；②(3)或【分析】（1）觀察圖形可得與關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得即可求得平移距離；（2）①連接，由對(duì)稱性可得，，進(jìn)而可得，即可得出結(jié)論；②連接分別交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，由對(duì)稱性可知：且，得出，證明四邊形是矩形，則，在中，根據(jù)，即可求解；（3）分，，兩種情況討論，設(shè)，則，先求得，勾股定理求得，進(jìn)而表示出，根據(jù)由（2）②可得，可得，進(jìn)而建立方程，即可求解．【詳解】（1）（1）∵關(guān)于軸對(duì)稱的圖形，與關(guān)于軸對(duì)稱，∴與關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則可以看作是繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為∵，∴，∵,關(guān)于直線對(duì)稱，∴，即，可以看作是向右平移得到