新高考數(shù)學(xué)人教版一輪課時(shí)作業(yè)第二章第3節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性

授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第241頁[A組基礎(chǔ)保分練]1．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0,1)上單調(diào)遞增的函數(shù)是()A．y＝|log3x| B．y＝x3C．y＝e|x| D．y＝cos|x|答案：C2．設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log3x＋1，x≥0，,gx，x＜0，))則g(－8)＝()A．－2 B．－3C．2 D．3答案：A3．已知f(x)在R上是奇函數(shù)，且滿足f(x＋4)＝f(x)，當(dāng)x∈(－2,0)時(shí)，f(x)＝2x2，則f(2019)等于()A．－2 B．2C．－98 D．98答案：B4．已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(2)，c＝g(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜aC．b＜a＜c D．b＜c＜a答案：C5．(多選題)(2021·吉林長春質(zhì)檢)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x)＋f(2－x)＝0，則下列結(jié)論正確的是()A．f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱B．f(x＋2)＝f(x)C．f(3－x)＝f(x－1)D．f(x－2)＝f(x)解析：對(duì)于A，由f(x)＋f(2－x)＝0得f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，用－x替換f(x)＋f(2－x)＝0中的x，得f(－x)＋f(2＋x)＝0，所以f(x＋2)＝－f(－x)＝f(x)，選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，用x－1替換f(x)＋f(2－x)＝0中的x，得f(3－x)＝－f(x－1)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，用x－2替換f(x＋2)＝f(x)中的x，得f(x－2)＝f(x)，選項(xiàng)D正確．答案：ABD6．已知定義在R上的函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，且f(x＋1)是偶函數(shù)，不等式f(m＋2)≥f(x－1)對(duì)任意的x∈[－1,0]恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．[－3,1] B．[－4,2]C．(－∞，－3]∪[1，＋∞) D．(－∞，－4]∪[2，＋∞)解析：因?yàn)閒(x＋1)是偶函數(shù)，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，所以f(x)的圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱，由f(m＋2)≥f(x－1)得|(m＋2)－1|≤|(x－1)－1|，即|m＋1|≤|x－2|在x∈[－1,0]恒成立，所以|m＋1|≤|x－2|min，所以|m＋1|≤2，解得－3≤m≤1.答案：A7．(2021·貴陽模擬)若f(x)＝a－eq\f(2,2x＋1)是奇函數(shù)，則a＝________.答案：18．(2021·樂山模擬)已知函數(shù)f(x)滿足：f(－x)＋f(x)＝0，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝eq\f(2＋m,2x)－1，則f(－1)＝________.答案：eq\f(1,2)9．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x＞0，,0，x＝0，,x2＋mx，x＜0))是奇函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解析：(1)設(shè)x＜0，則－x＞0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，于是x＜0時(shí)，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上單調(diào)遞增，結(jié)合f(x)的圖象知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2＞－1，,a－2≤1，))所以1＜a≤3，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,3]．[B組能力提升練]1．(多選題)(2021·福建畢業(yè)班質(zhì)檢)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱．以下關(guān)于f(x)的結(jié)論正確的是()A．f(x)是周期函數(shù)B．f(x)滿足f(x)＝f(4－x)C．f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減D．f(x)＝coseq\f(πx,2)是滿足條件的一個(gè)函數(shù)解析：因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，又f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，所以f(－x)＝－f(2＋x)，故f(x＋2)＝－f(x)，故f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，故A正確；f(－x)＝f(x)＝f(x＋4)，以x代換－x可得f(x)＝f(4－x)，故B正確；f(x)＝coseq\f(πx,2)是定義在R上的偶函數(shù)，點(diǎn)(1,0)是f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故D正確；不妨令f(x)＝－coseq\f(πx,2)，此時(shí)f(x)滿足題意，但f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤．答案：ABD2．已知函數(shù)f(x)＝ln(ax＋b)(a＞0且a≠1)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，則不等式f(x)＞alna的解集是()A．(a，＋∞)B．(－∞，a)C．當(dāng)a＞1時(shí)，解集是(a，＋∞)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解集是(－∞，a)D．當(dāng)a＞1時(shí)，解集是(－∞，a)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解集是(a，＋∞)答案：C3．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＋f(x)＝0，且f(1－x)＝f(1＋x)，則下列結(jié)論一定正確的是()A．f(x＋2)＝f(x)B．函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱C．函數(shù)y＝f(x＋1)是奇函數(shù)D．f(2－x)＝f(x－1)解析：在f(1－x)＝f(1＋x)中，把x換成1＋x，得f(1－(1＋x))＝f(1＋(1＋x))，即f(x＋2)＝f(－x)；把x換成1－x，得f(1－(1－x))＝f(1＋(1－x))，即f(x)＝f(2－x)．根據(jù)f(－x)＋f(x)＝0，得f(x＋2)＋f(2－x)＝0，在y＝f(x)的圖象上任取一點(diǎn)P(2＋x，y)，則y＝f(x＋2)＝－f(2－x)，即點(diǎn)P′(2－x，－y)在y＝f(x)的圖象上，而點(diǎn)P(2＋x，y)和點(diǎn)P′(2－x，－y)關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱，所以由點(diǎn)P的任意性，知函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱．答案：B4．(多選題)(2021·海南聯(lián)考)已知定義在R上的函數(shù)f(x)，對(duì)于任意的x，y∈R恒有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠t，使得f(t①f(0)＝1；②eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,2)))))2＝eq\f(1,4)；③f(x)為偶函數(shù)；④f(x)為周期函數(shù)．其中正確結(jié)論的編號(hào)是()A．① B．②C．③ D．④解析：取x＝y(tǒng)＝0，則f(0)＋f(0)＝2[f(0)]2，∵f(0)≠0，∴f(0)＝1，①正確；取x＝y(tǒng)＝eq\f(t,2)，且f(t)＝0，則f(t)＋f(0)＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,2)))))2，∴eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,2)))))2＝eq\f(1,2)，②錯(cuò)誤；取x＝0，則f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)，∴f(－y)＝f(y)，又f(x)的定義域?yàn)镽，∴f(x)為偶函數(shù)，③正確；取x＝x0＋t，y＝t，且f(t)＝0，則f(x0＋2t)＋f(x0)＝2f(x0＋t)f(t)＝0，∴f(x0＋2t)＝－f(x0)，∴f(x0＋4t)＝－f(x0＋2t)＝f(x0)，∴f(x)為周期函數(shù)，④正確．答案：ACD5．已知偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，“a＞|b|”是“f(a)＞f(b)”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，由于f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，因此若a＞|b|≥0，則f(a)＞f(|b|)，即f(a)＞f(b)，所以a＞|b|是f(a)＞f(b)的充分條件；若f(a)＞f(b)，則f(|a|)＞f(|b|)，可得|a|＞|b|≥0，由于a，b的正負(fù)不能判斷，因此無法得到a＞|b|，則a＞|b|不是f(a)＞f(b)的必要條件，所以“a＞|b|”是“f(a)＞f(b)”的充分不必要條件．答案：A6．(2021·西安模擬)若函數(shù)f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)、奇函數(shù)，且滿足f(x)＋2g(x)＝exA．f(－2)＜f(－3)＜g(－1)B．g(－1)＜f(－3)＜f(－2)C．f(－2)＜g(－1)＜f(－3)D．g(－1)＜f(－2)＜f(－3)解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)、奇函數(shù)，且滿足f(x)＋2g(x)＝ex①，所以f(－x)＋2g(－x)＝e－x，即f(x)－2g(x)＝e－x聯(lián)立①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＋2gx＝ex，,fx－2gx＝e－x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＝\f(ex＋e－x,2)，,gx＝\f(ex－e－x,4)，))所以f(－2)＝eq\f(e－2＋e2,2)＞0，f(－3)＝eq\f(e－3＋e3,2)＞0，g(－1)＝eq\f(e－1－e,4)f(－3)－f(－2)＝eq\f(e－3＋e3,2)－eq\f(e－2＋e2,2)＝eq\f(e－1e2－e－3,2)＞0，所以g(－1)＜f(－2)＜f(－3)．答案：D7．已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝ex－1，則f(－2019)＋f(2020)＝________.答案：e－18．(2021·柳州模擬)已知函數(shù)f(x)對(duì)任意x∈R都有f(x＋6)＋f(x)＝2f(3)，y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱且f(2)＝4，則f答案：－49．已知函數(shù)f(x)對(duì)任意x∈R滿足f(x)＋f(－x)＝0，f(x－1)＝f(x＋1)，若當(dāng)x∈[0,1)時(shí)，f(x)＝ax＋b(a＞0且a≠1)，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝eq\f(1,2).(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)求函數(shù)g(x)＝f2(x)＋f(x)的值域．解析：(1)因?yàn)閒(x)＋f(－x)＝0，所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)是奇函數(shù)．因?yàn)閒(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x＋2)＝f(x)，即函數(shù)f(x)是周期為2的周期函數(shù)，所以f(0)＝0，即b＝－1.又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝1－eq\r(a)＝eq\f(1,2)，解得a＝eq\f(1,4).(2)當(dāng)x∈[0,1)時(shí)f(x)＝ax＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x－1∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，0))，由f(x)為奇函數(shù)知，當(dāng)x∈(－1,0)時(shí)，f(x)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))，又因?yàn)閒(x)是周期為2的周期函數(shù)，所以當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，\f(3,4)))，設(shè)t＝f(x)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，\f(3,4)))，所以g(x)＝f2(x)＋f(x)＝t2＋t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))2－eq\f(1,4)，即g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))2－eq\f(1,4)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(21,16))).故函數(shù)g(x)＝f2(x)＋f(x)的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(21,16))).[C組創(chuàng)新應(yīng)用練]1．(多選題)(2021·山東煙臺(tái)模擬)已知f(x)是定義域?yàn)?－∞，＋∞)的奇函數(shù)，f(x＋1)是偶函數(shù)，且當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，f(x)＝－x(x－2)，則()A．f(x)是周期為2的函數(shù)B．f(2019)＋f(2020)＝－1C．f(x)的值域?yàn)閇－1,1]D．f(x)的圖象與曲線y＝cosx在(0,2π)上有4個(gè)交點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x＋1)為偶函數(shù)，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，可知f(x)圖象的對(duì)稱軸為直線xf(x)為奇函數(shù)，則f(－x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x)，則f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是周期為4的函數(shù)，故A錯(cuò)誤；因?yàn)閒(x)的周期為4，所以f(2019)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，f(2020)＝f(0)＝0，所以f(2019)＋f(2020)＝－1，故B正確；當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，f(x)＝－x(x－2)，f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增，所以f(x)max＝f(1)＝1，又f(x)為奇函數(shù)且圖象的對(duì)稱軸為直線x＝1，所以當(dāng)x∈[－1,3]時(shí)，f(x)的值域?yàn)閇－1,1]，又f(x)是周期為4的函數(shù)，所以在(－∞，＋∞)上f(x)的值域?yàn)閇－1,1]，故C正確；分別畫出函數(shù)y＝f(x)和y＝cosx在[0,2π]上的大致圖象，如圖所示，觀察圖象可知，y＝f(x)的圖象與曲線y＝cosx在(0,2π)上有4個(gè)交點(diǎn)，故D正確．答案：BCD2．(2019·高考全國卷Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，滿足f(x＋1)＝2f(x)，且當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，f(x)＝x(x－1)．若對(duì)任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－eq\f(8,9)，則m的取值范圍是()A．－∞，eq\f(9,4) B．－∞，eq\f(7,3)C．－∞，eq\f(5,2) D．－∞，eq\f(8,3)解析：當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，f(x)＝x(x－1)，∴當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，f(x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0)).∵f(x＋1)＝2f(x)，∴當(dāng)x∈(－1,0]時(shí)，x＋1∈f(x)＝eq\f(1,2)f(x＋1)＝eq\f(1,2)(x＋1)x，f(x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)，0))；當(dāng)x∈(－2，－1]時(shí)，x＋1∈(－1,0]，f(x)＝eq\f(1,2)f(x＋1)＝eq\f(1,4)f(x＋2)＝eq\f(1,4)(x＋2)(x＋1)，f(x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,16)，0))；