材料非線性有限元講義

第三章材料非線性

有限元分析1非線性彈性問題的有限單元法2彈塑性問題的有限單元法2000.41哈爾濱建筑大學王煥定教授制作1非線性彈性問題的有限單元法

前提：材料處于彈性狀態(tài)，但是應力-應變關(guān)系是非線性的。位移和應變是微小的。因此象線性問題一樣，設(shè)位移和應變分別為則全量形式的應力為增量形式的應力為2000.42哈爾濱建筑大學王煥定教授制作同線性問題分析一樣，可得單元剛度方程為進行先處理（定位向量）集成，可得與線性問題不同，上式是非線性的方程組，因此要用第一章介紹的方法來求解。1）切線剛度法——牛頓法集成非線性方程用牛頓法求解時，切線剛度矩陣為(這里認為)2000.43哈爾濱建筑大學王煥定教授制作經(jīng)整體集成后，可得整體切線剛度矩陣，由此可建立（自修正的）牛頓法迭代公式為式中Rn是應力σn引起的結(jié)點力，因此其中σn為第n步位移對應的非線性單元應力。講義上列出切線剛度法分析的計算步驟，這里不再贅述。(P.22)因為R-Rn物理含義是不平衡力，所以牛頓法也可理解為按不平衡力修正位移，使不平衡力足夠小。表示集成2000.44哈爾濱建筑大學王煥定教授制作

5)由式（3．6）進行迭代，直到滿足精度要求。從此可得切線剛度法的計算步驟為：1）設(shè)=，求線彈性解；2）由求各單元的應變、應力；3）從計算單元切線剛度矩陣并集裝；4）計算并集裝；2000.45哈爾濱建筑大學王煥定教授制作2）應力轉(zhuǎn)移、初應力法——修正牛頓法為避免每次迭代形成切線矩陣并求解，以初始切線矩陣（即線彈性的剛度矩陣）迭代，則這相當于按彈性剛度分配不平衡力。迭代的過程就是不斷調(diào)整個單元的應力，使剛度弱的單元不能承受的應力逐漸轉(zhuǎn)移到剛度大的單元或邊界上，因此也稱為“應力轉(zhuǎn)移法”。它先求位移修正值，然后求下一迭代步的位移。因為初始切線剛度矩陣，故表示集成2000.46哈爾濱建筑大學王煥定教授制作式中是第n步非線性位移對應的彈性應力。由此從修正牛頓法迭代公式可得因為非線性應力所以若將視作“初應力”，并記則表示集成它是不斷修改初應力，使趨于一常量（彈性應力和真實應力之差）。因此也稱初應力法。2000.47哈爾濱建筑大學王煥定教授制作4）由(3．8)求，反復迭代，直到足夠小。從講始義式賤（膨3．慮8）達可得冶初應講力法貌的計油算步布驟為襪：1）

由集裝初始切線剛度矩陣；2）由求線彈性的解；3）

由計算各單元的，并集裝；20徐00會.48哈爾撒濱建斧筑大遣學恨王的煥定宰教授斯制作又設(shè)背第n步單第元非捐線性行應力嶄對應生的彈性垂應變?yōu)閯t非也線性哭的應快變可向表為殘余宵(初捏)應挺變式中也可視作“初應變”，由上式可得因此火單元儀剛度摟方程裹為有些詢問題原的本哈構(gòu)關(guān)顛系是患用應前力表榨示應譜變,權(quán)即3）斜初應放變法敘——宅修正碑牛頓員法20姻00悲.49哈爾褲濱建鴨筑大礙學路王擾煥定擁教授意制作也即極初應窗變可右作為鉛等效嘆結(jié)點張荷載驢考慮由此木，象漂初應宜力法中一樣端，可宮得迭奪代公置式為因為支它是啄不斷聰修改粱初應門變，咽使趨依于一屈常量緩（總倉應變諒和彈談性應妥變之的差）駛。因陣此也期稱初應叫變法。其新求解迷步驟輝如下頁所示醉。表示局集成為了粱更好蘋地掌凡握上打述知免識，曾講義網(wǎng)上舉被了一決個簡汗單例侵子，聽用以何說明夜切線古剛度浪法和質(zhì)初應妻力法書。20物00概.410哈爾佩濱建冷筑大桑學去王艱煥定慚教授殖制作初應牽變法景的計母算步介驟為鏈：1）由集裝初始切線矩陣；2）由求線彈性的解；3）計算單元線彈性應變和單元初應變；4）

由集裝;5）由（3．8）求;迭代直到很小。20而00樓.411哈爾諸濱建者筑大健學仙王享煥定翠教授取制作為了蓮更好萄地理梨解，蝕這一聾例子揪各種栽方法姜的示襯意圖奔如下眨所示媽。20歐00斤.412哈爾妹濱建計筑大淺學月王植煥定走教授黑制作20攏00諷.413哈爾傾濱建嫩筑大傍學臂王踢煥定雀教授桿制作20鎖00率.414哈爾商濱建興筑大首學測王閉煥定濟教授校制作20忘00惑.415哈爾顏濱建炭筑大巷學內(nèi)王蠻煥定博教授短制作20嗚00鑄.416哈爾拐濱建敵筑大區(qū)學映王鐵煥定繡教授振制作2鍛彈塑幕性問件題的奪有限醬單元熟法材料衣應力凱應變綢非線思性、縫巖土互工程踢的開及挖和魔施工退過程企等對夠結(jié)果猾有重蘭大影秩響的革問題客，都娛必須授用增獻量法蘿來求伯解。在增盒量荷棋載ΔRm作用庸下，士位移霜、應牲力、削應變代和內(nèi)劍變量仰等的投增量環(huán)分別冷為下一潔步迭的代時僅的荷逮載水男平為設(shè)m迭代概步的揭結(jié)果管已知乞，位幟移、情應力竹、應棍變和吩內(nèi)變滔量等危分別職記作20希00都.417哈爾寇濱建漏筑大家學新王琴煥定島教授債制作由于顯所討堂論的哲是小鞏變形心問題餡，因?qū)ご嘶驅(qū)椳娝苄跃W(wǎng)問題繪，本志構(gòu)關(guān)若系為也即單元增量應變?yōu)?。象彈性問題一樣，第m+1步單元剛度方程為彈性斗矩陣塑性拐矩陣彈塑肯性矩俊陣精確匠解時20比00望.418哈爾畜濱建燃筑大撞學衛(wèi)王桐煥定咸教授槳制作因此砌應力弟增量夠為由于吵在ΔRm作用侍前后震，單粗元高券斯積疾分點戴的應難力狀趴態(tài)可余能是順彈性句，也烘可能尋是塑弓性。艱因此憶首先項得解鋼決狀添態(tài)判員別問勝題?；谇复耍裼蓡吸S元集撓成可狠得整難體非薦線性政方程近為在第愛二章稻已討分論了療應變欲空間評的加刪、卸廚載的隊規(guī)則璃，它忍們是20墨00榴.419哈爾話濱建金筑大醬學釣王咸煥定乳教授梅制作為進芒一步排討論萍狀態(tài)醬判別瘋，設(shè)掘在荷僵載Rm作用慈下應出力和淡內(nèi)變苦量對炒應一趕彈性圖狀態(tài)離，也桶即其幾源何解樹釋為緩：彈性庸應力朽增量指向敲屈服進面內(nèi)立側(cè)或葉相切恨時，益反應雞是彈配性的劫。否屑則是井塑性忍加載朽，反蚊應是牽彈塑閉性的強。增加屈荷載ΔRm后，硬轉(zhuǎn)入川塑性強狀態(tài)頑，即彈性償應力彈性全應力20界00安.420哈爾乳濱建屠筑大成學悅王腐煥定耍教授再制作也可繁由下略式線奶性內(nèi)供插確白定因此倉可用惰下式謝確定往中性反變載體點處棉彈、悲塑性芒部分躬的比啟例因律子r基于甘此，邊加荷妖載ΔRm后，壘應力魚增量粒為彈性荒應力轉(zhuǎn)圖20潑00歸.421哈爾螞濱建確筑大腿學黃王亡煥定底教授誦制作當ΔRm足夠捏小時烈(Δεm足夠票小)派，上初式可秒寫為跳轉(zhuǎn)式中Dp是按計算的塑性矩陣。當r=1時，隔反應室是純抵彈性穿的，睬可以憲是彈纏性到憂彈性求、塑戶性卸閃載到優(yōu)彈性猜或中累性變氧載。當r=0時，航應力聲應變騾是塑門性的維，是凳彈性帳到塑旗性的值加載貌。0勇<r<1時，節(jié)應力酷應變呼是彈應塑性命的。轉(zhuǎn)圖講義悉上給把出了嗎由應哄變求屬應力面的計廳算步燈驟，較可供叼編程稀時參擁考。傍(P.迫31鄰)彈性豬應力20鉗00吉.422哈爾四濱建知筑大提學遠王幅煥定抄教授地制作彈性彈性塑性fmfm+1彈性轉(zhuǎn)18有狀翁態(tài)改淋變無狀習態(tài)改覆變彈性塑性由中蜜性狀蓋態(tài)改絹變到找塑性20光00測.423哈爾辦濱建慚筑大白學朗王剖煥定服教授叨制作解決茶了由賄應變幅求應雅力的滅計算苗，下池面再餓解決狠彈塑兵性問劇題非冒線性慈方程神組求蠅解問育題。將其攜代入驗單元廚剛度乳方程崖，可溉得首先，以下的彈塑性矩陣代替增量應力應變關(guān)系中的，也即有“線性關(guān)系”進行整體集成，可得（認為）集成20用00向.424哈爾狹濱建淚筑大窩學