材料非線性有限元講義

第三章材料非線性

有限元分析1非線性彈性問題的有限單元法2彈塑性問題的有限單元法2000.41哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作1非線性彈性問題的有限單元法

前提：材料處于彈性狀態(tài)，但是應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系是非線性的。位移和應(yīng)變是微小的。因此象線性問題一樣，設(shè)位移和應(yīng)變分別為則全量形式的應(yīng)力為增量形式的應(yīng)力為2000.42哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作同線性問題分析一樣，可得單元?jiǎng)偠确匠虨檫M(jìn)行先處理（定位向量）集成，可得與線性問題不同，上式是非線性的方程組，因此要用第一章介紹的方法來求解。1）切線剛度法——牛頓法集成非線性方程用牛頓法求解時(shí)，切線剛度矩陣為(這里認(rèn)為)2000.43哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作經(jīng)整體集成后，可得整體切線剛度矩陣，由此可建立（自修正的）牛頓法迭代公式為式中Rn是應(yīng)力σn引起的結(jié)點(diǎn)力，因此其中σn為第n步位移對(duì)應(yīng)的非線性單元應(yīng)力。講義上列出切線剛度法分析的計(jì)算步驟，這里不再贅述。(P.22)因?yàn)镽-Rn物理含義是不平衡力，所以牛頓法也可理解為按不平衡力修正位移，使不平衡力足夠小。表示集成2000.44哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作

5)由式（3．6）進(jìn)行迭代，直到滿足精度要求。從此可得切線剛度法的計(jì)算步驟為：1）設(shè)=，求線彈性解；2）由求各單元的應(yīng)變、應(yīng)力；3）從計(jì)算單元切線剛度矩陣并集裝；4）計(jì)算并集裝；2000.45哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作2）應(yīng)力轉(zhuǎn)移、初應(yīng)力法——修正牛頓法為避免每次迭代形成切線矩陣并求解，以初始切線矩陣（即線彈性的剛度矩陣）迭代，則這相當(dāng)于按彈性剛度分配不平衡力。迭代的過程就是不斷調(diào)整個(gè)單元的應(yīng)力，使剛度弱的單元不能承受的應(yīng)力逐漸轉(zhuǎn)移到剛度大的單元或邊界上，因此也稱為“應(yīng)力轉(zhuǎn)移法”。它先求位移修正值，然后求下一迭代步的位移。因?yàn)槌跏记芯€剛度矩陣，故表示集成2000.46哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作式中是第n步非線性位移對(duì)應(yīng)的彈性應(yīng)力。由此從修正牛頓法迭代公式可得因?yàn)榉蔷€性應(yīng)力所以若將視作“初應(yīng)力”，并記則表示集成它是不斷修改初應(yīng)力，使趨于一常量（彈性應(yīng)力和真實(shí)應(yīng)力之差）。因此也稱初應(yīng)力法。2000.47哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作4）由(3．8)求，反復(fù)迭代，直到足夠小。從講始義式賤（膨3．慮8）達(dá)可得冶初應(yīng)講力法貌的計(jì)油算步布驟為襪：1）

由集裝初始切線剛度矩陣；2）由求線彈性的解；3）

由計(jì)算各單元的，并集裝；20徐00會(huì).48哈爾撒濱建斧筑大遣學(xué)恨王的煥定宰教授斯制作又設(shè)背第n步單第元非捐線性行應(yīng)力嶄對(duì)應(yīng)生的彈性垂應(yīng)變?yōu)閯t非也線性哭的應(yīng)快變可向表為殘余宵(初捏)應(yīng)挺變式中也可視作“初應(yīng)變”，由上式可得因此火單元儀剛度摟方程裹為有些詢問題原的本哈構(gòu)關(guān)顛系是患用應(yīng)前力表榨示應(yīng)譜變,權(quán)即3）斜初應(yīng)放變法敘——宅修正碑牛頓員法20姻00悲.49哈爾褲濱建鴨筑大礙學(xué)路王擾煥定擁教授意制作也即極初應(yīng)窗變可右作為鉛等效嘆結(jié)點(diǎn)張荷載驢考慮由此木，象漂初應(yīng)宜力法中一樣端，可宮得迭奪代公置式為因?yàn)橹亲牟粩嗦斝薷牧怀鯌?yīng)門變，咽使趨依于一屈常量緩（總倉(cāng)應(yīng)變諒和彈談性應(yīng)妥變之的差）駛。因陣此也期稱初應(yīng)叫變法。其新求解迷步驟輝如下頁所示醉。表示局集成為了粱更好蘋地掌凡握上打述知免識(shí)，曾講義網(wǎng)上舉被了一決個(gè)簡(jiǎn)汗單例侵子，聽用以何說明夜切線古剛度浪法和質(zhì)初應(yīng)妻力法書。20物00概.410哈爾佩濱建冷筑大桑學(xué)去王艱煥定慚教授殖制作初應(yīng)牽變法景的計(jì)母算步介驟為鏈：1）由集裝初始切線矩陣；2）由求線彈性的解；3）計(jì)算單元線彈性應(yīng)變和單元初應(yīng)變；4）

由集裝;5）由（3．8）求;迭代直到很小。20而00樓.411哈爾諸濱建者筑大健學(xué)仙王享煥定翠教授取制作為了蓮更好萄地理梨解，蝕這一聾例子揪各種栽方法姜的示襯意圖奔如下眨所示媽。20歐00斤.412哈爾妹濱建計(jì)筑大淺學(xué)月王植煥定走教授黑制作20攏00諷.413哈爾傾濱建嫩筑大傍學(xué)臂王踢煥定雀教授桿制作20鎖00率.414哈爾商濱建興筑大首學(xué)測(cè)王閉煥定濟(jì)教授校制作20忘00惑.415哈爾顏濱建炭筑大巷學(xué)內(nèi)王蠻煥定博教授短制作20嗚00鑄.416哈爾拐濱建敵筑大區(qū)學(xué)映王鐵煥定繡教授振制作2鍛彈塑幕性問件題的奪有限醬單元熟法材料衣應(yīng)力凱應(yīng)變綢非線思性、縫巖土互工程踢的開及挖和魔施工退過程企等對(duì)夠結(jié)果猾有重蘭大影秩響的革問題客，都娛必須授用增獻(xiàn)量法蘿來求伯解。在增盒量荷棋載ΔRm作用庸下，士位移霜、應(yīng)牲力、削應(yīng)變代和內(nèi)劍變量仰等的投增量環(huán)分別冷為下一潔步迭的代時(shí)僅的荷逮載水男平為設(shè)m迭代概步的揭結(jié)果管已知乞，位幟移、情應(yīng)力竹、應(yīng)棍變和吩內(nèi)變滔量等危分別職記作20希00都.417哈爾寇濱建漏筑大家學(xué)新王琴煥定島教授債制作由于顯所討堂論的哲是小鞏變形心問題餡，因?qū)ご嘶驅(qū)椳娝苄跃W(wǎng)問題繪，本志構(gòu)關(guān)若系為也即單元增量應(yīng)變?yōu)?。象彈性問題一樣，第m+1步單元?jiǎng)偠确匠虨閺椥远肪仃囁苄怨站仃噺椝芸闲跃乜￡嚲_匠解時(shí)20比00望.418哈爾畜濱建燃筑大撞學(xué)衛(wèi)王桐煥定咸教授槳制作因此砌應(yīng)力弟增量夠?yàn)橛捎诔吃讦m作用侍前后震，單粗元高券斯積疾分點(diǎn)戴的應(yīng)難力狀趴態(tài)可余能是順彈性句，也烘可能尋是塑弓性。艱因此憶首先項(xiàng)得解鋼決狀添態(tài)判員別問勝題?；谇复耍裼蓡吸S元集撓成可狠得整難體非薦線性政方程近為在第愛二章稻已討分論了療應(yīng)變欲空間評(píng)的加刪、卸廚載的隊(duì)規(guī)則璃，它忍們是20墨00榴.419哈爾話濱建金筑大醬學(xué)釣王咸煥定乳教授梅制作為進(jìn)芒一步排討論萍狀態(tài)醬判別瘋，設(shè)掘在荷僵載Rm作用慈下應(yīng)出力和淡內(nèi)變苦量對(duì)炒應(yīng)一趕彈性圖狀態(tài)離，也桶即其幾源何解樹釋為緩：彈性庸應(yīng)力朽增量指向敲屈服進(jìn)面內(nèi)立側(cè)或葉相切恨時(shí)，益反應(yīng)雞是彈配性的劫。否屑則是井塑性忍加載朽，反蚊應(yīng)是牽彈塑閉性的強(qiáng)。增加屈荷載ΔRm后，硬轉(zhuǎn)入川塑性強(qiáng)狀態(tài)頑，即彈性償應(yīng)力彈性全應(yīng)力20界00安.420哈爾乳濱建屠筑大成學(xué)悅王腐煥定耍教授再制作也可繁由下略式線奶性內(nèi)供插確白定因此倉(cāng)可用惰下式謝確定往中性反變載體點(diǎn)處棉彈、悲塑性芒部分躬的比啟例因律子r基于甘此，邊加荷妖載ΔRm后，壘應(yīng)力魚增量粒為彈性荒應(yīng)力轉(zhuǎn)圖20潑00歸.421哈爾螞濱建確筑大腿學(xué)黃王亡煥定底教授誦制作當(dāng)ΔRm足夠捏小時(shí)烈(Δεm足夠票小)派，上初式可秒寫為跳轉(zhuǎn)式中Dp是按計(jì)算的塑性矩陣。當(dāng)r=1時(shí)，隔反應(yīng)室是純抵彈性穿的，睬可以憲是彈纏性到憂彈性求、塑戶性卸閃載到優(yōu)彈性猜或中累性變氧載。當(dāng)r=0時(shí)，航應(yīng)力聲應(yīng)變騾是塑門性的維，是凳彈性帳到塑旗性的值加載貌。0勇<r<1時(shí)，節(jié)應(yīng)力酷應(yīng)變呼是彈應(yīng)塑性命的。轉(zhuǎn)圖講義悉上給把出了嗎由應(yīng)哄變求屬應(yīng)力面的計(jì)廳算步燈驟，較可供叼編程稀時(shí)參擁考。傍(P.迫31鄰)彈性豬應(yīng)力20鉗00吉.422哈爾四濱建知筑大提學(xué)遠(yuǎn)王幅煥定抄教授地制作彈性彈性塑性fmfm+1彈性轉(zhuǎn)18有狀翁態(tài)改淋變無狀習(xí)態(tài)改覆變彈性塑性由中蜜性狀蓋態(tài)改絹?zhàn)兊秸宜苄?0光00測(cè).423哈爾辦濱建慚筑大白學(xué)朗王剖煥定服教授叨制作解決茶了由賄應(yīng)變幅求應(yīng)雅力的滅計(jì)算苗，下池面再餓解決狠彈塑兵性問劇題非冒線性慈方程神組求蠅解問育題。將其攜代入驗(yàn)單元廚剛度乳方程崖，可溉得首先，以下的彈塑性矩陣代替增量應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系中的，也即有“線性關(guān)系”進(jìn)行整體集成，可得（認(rèn)為）集成20用00向.424哈爾狹濱建淚筑大窩學(xué)