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二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)1☆1.拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的性質(zhì):☆2.二次函數(shù)圖像的平移、增減性及對(duì)稱性:☆3.二次函數(shù)解析式的求法:☆1.拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的性質(zhì):2一.拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的性質(zhì):a、b、c的代數(shù)式作用說(shuō)明a1.a的正負(fù)決定拋物線開口方向;2.決定拋物線開口大小。a>0開口向_____a<0開口向_____b決定對(duì)稱軸的位置,對(duì)稱軸為直線a、b同號(hào)對(duì)稱軸在y軸的___側(cè)b=0對(duì)稱軸為___軸a、b異號(hào)對(duì)稱軸在y軸的___側(cè)c確定拋物線與y軸交點(diǎn)的位置,交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c)c>0交點(diǎn)在y軸的___半軸c=0交點(diǎn)是___點(diǎn)c<0交點(diǎn)在y軸的___半軸上下原正負(fù)左y右一.拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的性質(zhì):a、b、c3a、b、c的代數(shù)式作用說(shuō)明b2-4ac決定拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)b2-4ac>0拋物線與x軸有___個(gè)交點(diǎn)b2-4ac=0拋物線與x軸有___個(gè)交點(diǎn)b2-4ac<0拋物線與x軸有___個(gè)交點(diǎn)決定頂點(diǎn)位置a>0時(shí),頂點(diǎn)縱坐標(biāo)是二次函數(shù)的最___值a<0時(shí),頂點(diǎn)縱坐標(biāo)是二次函數(shù)的最___值210小大a、b、c的代數(shù)式作用說(shuō)明b2-4ac決定拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)4a、b、C的代數(shù)式作用說(shuō)明決定拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)當(dāng)y=0時(shí),即ax2+bx+c=0則拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為____________________a、b、C的代數(shù)式作用說(shuō)明5練習(xí)一1.二次函數(shù)的圖像如圖所示,則下列結(jié)論:①a>0;②c>0;③b2-4ac>0,其中正確的個(gè)數(shù)是()A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)2.二次函數(shù)y=kx2-6x+3的圖像與x軸有交點(diǎn),則k的取值范圍是()A.k<3B.k<3且k≠0C.k≤3D.k≤3且k≠0CD考查從圖像中找出a、c及b2-4ac性質(zhì)的應(yīng)用。考查拋物線與x軸有交點(diǎn)時(shí)b2-4ac≥0,及a≠0的問題。練習(xí)一CD考查從圖像中找出a、c及b2-4ac性質(zhì)的應(yīng)用???4.已知函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖所示,那么函數(shù)的表達(dá)式為()A.y=-x2+2x+3B.y=x2-2x-3C.y=-x2-2x+3D.y=-x2-2x-33.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像如圖所示,根據(jù)圖像回答:(1)寫出方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根:__________;(2)寫出y>0時(shí)x的取值范圍:________。1<x<3ax2+bx+c=0的根實(shí)質(zhì)就是拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo);y>0時(shí)x的取值范圍可以從圖像直接得到。A考查在圖像中通過a、b、c的特點(diǎn)來(lái)選擇合適的表達(dá)式。4.已知函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖所示,那么函數(shù)的表76.如圖所示,某中學(xué)教學(xué)樓前噴水池噴出的拋物線形水柱,其解析式為y=-x2+4x+2,此水柱的最大高度是()A.2B.4C.6D.C本題可利用是該二次函數(shù)的最大值來(lái)解題。5.在同一坐標(biāo)系中,函數(shù)y=-x-1和y=x2+2x+1的圖像可能是()A.B.C.D.xOxOxOxyOD考查當(dāng)一次函數(shù)k<0、b<0時(shí),直線經(jīng)過第二、三、四象限;當(dāng)二次函數(shù)a>0、b>0、c>0時(shí),拋物線開口向上、對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)及與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸。yyy6.如圖所示,某中學(xué)教學(xué)樓前噴水池C本題可利用8二(1).二次函數(shù)圖像的平移:例:把拋物線y=-3x2向左平移1個(gè)單位,平移后得到拋物線_____________。把拋物線y=-3x2向右平移1個(gè)單位,平移后得到拋物線_____________。即:左加右減把拋物線y=-3x2向上平移1個(gè)單位,平移后得到拋物線_____________。把拋物線y=-3x2向下平移1個(gè)單位,平移后得到拋物線_____________。即:上正下負(fù)y=-3(x+1)2y=-3(x-1)2y=-3x2+1y=-3x2-1二(1).二次函數(shù)圖像的平移:y=-3(x+1)2y=-39二(2).二次函數(shù)的增減性:1.如圖1,當(dāng)a>0時(shí),當(dāng)時(shí),y隨x的增大而_____,當(dāng)時(shí),y隨x的增大而_____。2.如圖2,當(dāng)a<0時(shí),當(dāng)時(shí),y隨x的增大而_____,當(dāng)時(shí),y隨x的增大而_____。增大減小減小增大左減右增左增右減二(2).二次函數(shù)的增減性:增大減小減小增大左減右增左增右10二(3).二次函數(shù)的對(duì)稱性:二次函數(shù)的圖像是一個(gè)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的軸對(duì)稱圖形,當(dāng)拋物線上兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同,即時(shí),________。對(duì)稱軸二(3).二次函數(shù)的對(duì)稱性:對(duì)稱軸11練習(xí)二7.如圖所示,拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸為x=2且拋物線上點(diǎn)A(3,-8),則拋物線上縱坐標(biāo)為-8的另一點(diǎn)的坐標(biāo)為_________。8.把拋物線y=2x2向左平移1個(gè)單位,再向下平移2個(gè)單位,平移后得到拋物線______________。(1,-8)考查拋物線的對(duì)稱性,即拋物線上縱坐標(biāo)相等的兩個(gè)點(diǎn),其橫坐標(biāo)符合y=2(x+1)2-2拋物線y=2x2向左平移再向下平移,即左加下負(fù)。練習(xí)二(1,-8)考查拋物線的對(duì)稱性,即拋物線上縱坐標(biāo)相等的129.已知點(diǎn)、均在拋物線y=x2-1上,下列說(shuō)法正確的是()A.若,則B.若,則C.若,則D.若,則D由圖像可知,拋物線開口向上,則左減右增9.已知點(diǎn)、均在拋物線y=x213三.二次函數(shù)解析式的求法:1.若已知拋物線上三點(diǎn)坐標(biāo),則可設(shè)表達(dá)式為,然后組成三元一次方程組來(lái)解。2.若已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程或最大(?。┲担稍O(shè)表達(dá)式為,其中頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k),對(duì)稱軸為x=h。三.二次函數(shù)解析式的求法:143.一些常見二次函數(shù)圖像的解析式

1.如圖1:若拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn),設(shè)2.如圖2:若拋物線過原點(diǎn),設(shè)3.如圖3:若拋物線的頂點(diǎn)在y軸上,設(shè)3.一些常見二次函數(shù)圖像的解析式154.如圖4:若拋物線經(jīng)過y軸上一點(diǎn),設(shè)5.如圖5:若拋物線知道頂點(diǎn)坐標(biāo)(h,k),設(shè)

4.如圖4:若拋物線經(jīng)過y軸上一點(diǎn),設(shè)16例1:如圖,直線y=x+m和拋物線y=x2+bx+c都經(jīng)過點(diǎn)A(1,0),B(3,2)(1)求m的值和拋物線的解析式;(2)求不等式x2+bx+c>x+m的解集(直接寫出答案)。解(1)∵直線y=x+m經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)∴0=1+m∴m=-1.即m的值為-1∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(1,0),B(3,2)∴解得:∴二次函數(shù)的解析式為y=x2-3x+2(2)x>3或x<1.例1:如圖,直線y=x+m和拋物線y=x2+bx+c都經(jīng)過點(diǎn)17練習(xí)三10.如圖所示,拋物線的對(duì)稱軸為x=2,且經(jīng)過A、B兩點(diǎn),求拋物線的解析式。解:∵拋物線的對(duì)稱軸為x=2設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-2)2+k又∵A(1,4)、B(5,0)在拋物線上∴解得:∴拋物線的解析式為練習(xí)三18例2:2009年汕頭市高中階段招生考試首次將體育科計(jì)入總分,考查擲實(shí)心球、立定跳遠(yuǎn)或一分鐘跳繩。男同學(xué)小明在一次實(shí)心球模擬測(cè)試中,已知小明同學(xué)球出手時(shí)侯的高度為2米,整個(gè)球運(yùn)動(dòng)的路線是一條拋物線,并在在距小明同學(xué)4米時(shí)達(dá)到最高點(diǎn)3.6米(如圖所示);(1)請(qǐng)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,并求出拋物線的解析式;(2)根據(jù)教育局規(guī)定:9.32米得分為90分,以后每增加0.15米可增加1分,增加幅度不足0.15米不加分。則小明在這次測(cè)試中,小明能得多少分?OAC4米3.6米例2:2009年汕頭市高中階段招生考試首次將體育科計(jì)入總分,19解(1)以O(shè)為原點(diǎn),OC所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系依題意得:A(0,2)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4,3.6)則設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-4)2+3.6將A代入得:解得:C即:(2)令y=0,得解得:則小明投擲了10米。∵(10-9.32)÷0.15+90≈94(分)答:這次測(cè)試,小明得了94分。4米3.6米OA解(1)以O(shè)為原點(diǎn),OC所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系C20練習(xí)四11.某工廠大門是一拋物線水泥建筑物,如圖所示,大門底部寬AB=4m,頂點(diǎn)C離地面高度為4m,現(xiàn)有一輛滿載貨物的汽車欲通過大門,貨物頂部距地面2.56m,裝貨寬度為2.3米,請(qǐng)判斷這輛車能夠順利通過大門?xy(-2,-4)(2,-4)y=ax2以C為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,使x軸∥AB練習(xí)四xy(-2,-4)(2,-4)y=ax2以C為原點(diǎn)建立21練習(xí)四11.某工廠大門是一拋物線水泥建筑物,如圖所示,大門底部寬AB=4m,頂點(diǎn)C離地面高度為4m,現(xiàn)有一輛滿載貨物的汽車欲通過大門,貨物頂部距地面2.56m,裝貨寬度為2.3米,請(qǐng)判斷這輛車能夠順利通過大門?xy(2,0)(0,4)y=ax2+cO以大門底部寬AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn),大門底部AB所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系練習(xí)四xy(2,0)(0,4)y=ax2+cO以大門底部寬A22練習(xí)四11.某工廠大門是一拋物線水泥建筑物,如圖所示,大門底部寬AB=4m,頂點(diǎn)C離地面高度為4m,現(xiàn)有一輛滿載貨物的汽車欲通過大門,貨物頂部距地面2.56m,裝貨寬度為2.3米,請(qǐng)判斷這輛車能夠順利通過大門?xy(2,4)(4,0)y=ax2+bx以A為原點(diǎn),大門底部AB所在的直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系練習(xí)四xy(2,4)(4,0)y=ax2+bx以A為原點(diǎn),大2311.某工廠大門是一拋物線水泥建筑物,如圖所示,大門底部寬AB=4m,頂點(diǎn)C離地面高度為4m,現(xiàn)有一輛滿載貨物的汽車欲通過大門,貨物頂部距地面2.56m,裝貨寬度為2.3米,請(qǐng)判斷這輛車能夠順利通過大門?xy(2,0)(0,4)O解:以大門底部寬AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn),大門底部AB所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系。設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+c(a≠0)依題意得:B(2,0),C(0,4)代入得:解得:∴

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