三維曲面的共形參數(shù)化

三維曲面的共形參數(shù)化

隨著3d采集技術(shù)的成熟，大量三維模型數(shù)據(jù)被應(yīng)用于不同的領(lǐng)域，其復(fù)雜的幾何形狀使3d書法表面處理成為一項(xiàng)困難的任務(wù)。以紋理映射為發(fā)端，曲面參數(shù)化參數(shù)化探討的是：給定一個(gè)由空間點(diǎn)集x根據(jù)參數(shù)化特點(diǎn)的不同，主要分為等距、保面積用S和S假設(shè)uf06a:Suf0aeS如果上式對(duì)應(yīng)一切可能的曲線uf067對(duì)于共形參數(shù)化而言，結(jié)合不同參數(shù)域的選擇，往往能夠確定參數(shù)域的邊界以及函數(shù)求解方法。本文主要以參數(shù)域作為分類依據(jù)，綜述了近年來基于三角網(wǎng)格曲面的共形參數(shù)化方法，對(duì)現(xiàn)有的參數(shù)化算法進(jìn)行優(yōu)缺點(diǎn)比較，并討論了共形參數(shù)化目前存在的主要難點(diǎn)問題和今后可能的發(fā)展趨勢(shì)。1離散界定理論曲面共形參數(shù)化方法不僅利用拓?fù)湫再|(zhì)，還依賴于各類離散理論對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行度量。如，微分1形式、同倫群基底、圓填充理論等。下面簡(jiǎn)要介紹幾類廣泛應(yīng)用于共形參數(shù)化的相關(guān)概念與理論基礎(chǔ)。1.1和解分配如果曲面有類似圓盤一樣的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，即曲面是帶有邊界的單連通曲面，那么調(diào)和映射其中，uf0771.2擬共形參數(shù)化擬共形參數(shù)化和共形參數(shù)化不同之處在于共形參數(shù)化將曲面上無窮小圓映射成無窮小圓，而擬共形參數(shù)化則將曲面上無窮小圓映射成無窮小橢圓，曲面的局部形狀不能被完好保持。但是對(duì)于找不到共形參數(shù)化方法的曲面而言，擬共形映射也是很好的補(bǔ)充。1.3維曲面性能曲率流，顧名思義，就是讓曲率像熱流一樣進(jìn)行擴(kuò)散。通過將曲面黎曼度量形變，使得曲面的曲率依隨時(shí)間而演化，最后曲率趨于一個(gè)常數(shù)，從而將三維曲面展平到二維參數(shù)域，即尋找一個(gè)合適的能量函數(shù)，使曲率流能得到唯一的最優(yōu)解。1.4切割面為曲面的情況通常對(duì)于較為復(fù)雜帶虧格三角網(wǎng)格曲面的參數(shù)化需要先求曲面的一個(gè)切割圖，使得曲面在切割之后拓?fù)渖系葍r(jià)于圓盤。其切割圖中每個(gè)度不等于2的節(jié)點(diǎn)將切割圖分成一系列分支{a1.5圓形填充理論圓填充(circlepacking,CP)就是在離散情形下，通過CP方法1.6離散速率流的推廣Hamilton定義了關(guān)于高斯曲率的Ricci流其中，g(t)為與時(shí)間相關(guān)的度量；K(t)為隨時(shí)間而變化的高斯曲率。將其推廣到離散情形，即其中，離散曲率流通常采用CP度量作為網(wǎng)格初始度量，在得到邊長(zhǎng)后利用余弦定理計(jì)算出網(wǎng)格中每個(gè)三角形{v其中，uf071離散高斯曲率被定義為角欠(angledeficit)，對(duì)于內(nèi)頂點(diǎn)，角欠就是圍繞頂點(diǎn)的周角與2uf070作差，對(duì)于邊界頂點(diǎn)，則與uf070作差，角欠在一定程度上反映了曲面局部的凹凸變化。2幾何背景的應(yīng)用參數(shù)化的應(yīng)用決定了參數(shù)化的首要步驟就是確定一個(gè)合適的參數(shù)空間。根據(jù)曲面拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的不同，幾何背景通常是歐氏平面、單位球面和二維雙曲空間中的一種。根據(jù)不同的幾何背景，參數(shù)化的參數(shù)域選擇往往不同。根據(jù)參數(shù)域的不同，把共形參數(shù)化分為平面域、球面域和雙曲空間域3類(圖4)。3對(duì)于紋理和圖像的處理復(fù)雜度對(duì)于共形參數(shù)化而言，參數(shù)域通常是平面域，平面也是歐式空間中最常見的二維表示。平面參數(shù)化最早主要用來進(jìn)行3D紋理貼圖，對(duì)于紋理和圖像而言，平面是最自然的載體，對(duì)平面圖像的處理復(fù)雜度遠(yuǎn)小于直接操作三維曲面。從應(yīng)用的角度最為常見的平面域就是固定邊界，但在參數(shù)化的過程中可能導(dǎo)致邊界網(wǎng)格變形嚴(yán)重，為了解決邊界參數(shù)化失真的情況，自由邊界參數(shù)化和無縫參數(shù)化得到發(fā)展，但是推廣到復(fù)雜拓?fù)淝娴那樾?，這2類參數(shù)化往往效果不佳。針對(duì)平面域，主要有以下幾類常見共形參數(shù)化方法。3.1共形幾何理論早期的平面參數(shù)化方法大多將原始網(wǎng)格映射到平面凸多邊形上，即首先找到原始網(wǎng)格的邊界，并將邊界點(diǎn)映射到平面凸多邊形上，然后將每個(gè)內(nèi)部點(diǎn)表示為其一環(huán)點(diǎn)的加權(quán)平均，最后通過求解線性方程組得到相應(yīng)的參數(shù)化結(jié)果。其中有代表性的是TUTTE對(duì)于帶有多邊界的聯(lián)通曲面，共形幾何理論改進(jìn)成環(huán)形映射每次選擇2個(gè)邊界映射成環(huán)，保留Koebe迭代線性高效的同時(shí)，加快了函數(shù)收斂速率，提高了計(jì)算效率。對(duì)于零虧格曲面，GU和YAU對(duì)于單虧格曲面的共形參數(shù)化，常常使用微分1形式和曲率流進(jìn)行計(jì)算。不同于曲率流，微分1形式計(jì)算一個(gè)全純映射，進(jìn)而給出曲面的一種度量，共形于原度量。文獻(xiàn)和對(duì)偶上同調(diào)群基并對(duì)每個(gè)uf077對(duì)以上全純微分基形式進(jìn)行求積分，便能得到對(duì)應(yīng)的共形映射。該方法可找到一個(gè)全純1形式的完備基。LUO對(duì)于高虧格曲面，文獻(xiàn)這類固定邊界參數(shù)化方法的優(yōu)勢(shì)在于用到的變形度量都是線性函數(shù)，缺點(diǎn)在于這些算法通常預(yù)先指定邊界在某個(gè)凸多邊形上，由于預(yù)先指定的邊界與實(shí)際情況往往不相符，從而導(dǎo)致參數(shù)化前后變形較大3.2動(dòng)態(tài)幾何優(yōu)化固定邊界的參數(shù)化算法易于構(gòu)造函數(shù)并求解，但是容易導(dǎo)致邊界網(wǎng)格扭曲嚴(yán)重，且不易推廣到復(fù)雜外形的曲面。相比之下，另一類平面參數(shù)化算法文獻(xiàn)其中，N進(jìn)行線性近似在提高計(jì)算效率的同時(shí)減少了角度誤差，缺陷是增大了面積變形。圖7為ABF++方法和線性ABF方法變形程度比較，可以看到，這類方法直接對(duì)角度進(jìn)行優(yōu)化以達(dá)到保角的效果，線性ABF方法更注重角度和面積變形的均衡。文獻(xiàn)文獻(xiàn)3.3曲面切割的誤差不論是固定邊界還是自由邊界，平面參數(shù)化都針對(duì)拓?fù)涞葍r(jià)于圓盤的曲面。由于構(gòu)造拓?fù)鋱A盤的過程中，往往需要對(duì)曲面進(jìn)行切割，對(duì)于切割處的參數(shù)化容易產(chǎn)生誤差。因此，近年來對(duì)于無縫曲面參數(shù)化的研究日益增多，無縫參數(shù)化常被用來進(jìn)行無縫紋理映射文獻(xiàn)3.4．當(dāng)事人面為正面的參數(shù)化和上述平面參數(shù)化方法相比較，SPRINGBORN等相比于無縫參數(shù)化，BFF方法能針對(duì)任意錐點(diǎn)放置的參數(shù)化，使參數(shù)化適應(yīng)尖銳的拐角，從而將曲面共形參數(shù)化到任意形狀。BFF方法的不足之處在于只能處理拓?fù)溆趫A盤的曲面。進(jìn)一步，文獻(xiàn)通過對(duì)目前比較流行的平面參數(shù)化方法進(jìn)行匯總，總結(jié)出相關(guān)的參數(shù)化方法、參數(shù)域邊界條件、是否滿足雙射以及方法是否迭代，見表2。4面域的定義和測(cè)量條件除了平面參數(shù)化，另一種常見的參數(shù)域就是單位球面，將三維曲面參數(shù)化到球面上。假設(shè)有角度uf071uf0ce[0,2uf070)，uf066uf0ce[-uf070/2,uf070(14)(17))，則球面坐標(biāo)為如圖11所示，對(duì)于每對(duì)uf071和uf066的取值，都能對(duì)應(yīng)球面上一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)。由于零虧格曲面在拓?fù)渖系葍r(jià)于單位球面，因此對(duì)于零虧格曲面而言，球面域是天然且無縫的參數(shù)域。根據(jù)求解方法的不同，球面共形參數(shù)化主要分為基于能量?jī)?yōu)化的方法和基于凸組合嵌入的方法。4.1基于能量?jī)?yōu)化方法該方法主要思想是構(gòu)造不同的能量函數(shù)，通過對(duì)能量函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化從而將源曲面參數(shù)化到單位球面。GU等4.2嵌入凸組合方法該方法可將平面凸組合的方法推廣到球面域，即把網(wǎng)格嵌入球面凸多邊形，在保留凸組合方法求解簡(jiǎn)單高效的同時(shí)，和球面域的天然特性進(jìn)行結(jié)合，以產(chǎn)生高質(zhì)量的參數(shù)化。AIGERMAN等5復(fù)雜曲面的熱設(shè)計(jì)除了平面域和球面域，雙曲空間域也是共形參數(shù)化的研究重點(diǎn)。雖然不及平面域的簡(jiǎn)易性(易于構(gòu)造，求解快速)和球面域的天然性(零虧格曲面拓?fù)涞葍r(jià)，曲率恒正)，但是雙曲空間域能夠處理更多錐點(diǎn)的放置情況，并且對(duì)于復(fù)雜拓?fù)淝?，即高虧格曲面而言，雙曲結(jié)構(gòu)有潛力取代定義在流形樣條中的仿射結(jié)構(gòu)，這也使得目前對(duì)于高虧格曲面的處理，大多選擇雙曲平面作為參數(shù)域。AIGERMAN和LIPMAN6其他參數(shù)化邊界經(jīng)過多年的發(fā)展，參數(shù)化已經(jīng)成為幾何模型處理中的關(guān)鍵一環(huán)，而共形參數(shù)化又以參數(shù)化前后保角和保形的特性備受青睞。本文對(duì)三角網(wǎng)格曲面共形參數(shù)化進(jìn)行了綜述，從方法角度根據(jù)不同的目標(biāo)參數(shù)域進(jìn)行分類，對(duì)每一類共形參數(shù)化方法進(jìn)行歸納總結(jié)：(1)平面參數(shù)化。平面參數(shù)化是最為常用的參數(shù)化方法。其中固定邊界方法的優(yōu)勢(shì)在于用到的變形度量計(jì)算效率較高，缺點(diǎn)在于預(yù)先指定邊界會(huì)導(dǎo)致參數(shù)化前后變形較大；自由邊界方法改善了固定邊界的失真，適用性大幅提高；無縫參數(shù)化克服參數(shù)化的預(yù)處理從而沒有產(chǎn)生切割偏差；其他參數(shù)化更多的體現(xiàn)在對(duì)邊界的可控。(2)球面參數(shù)化。對(duì)于零虧格曲面而言，球面參數(shù)化可以達(dá)到天然且無縫的效果。能量?jī)?yōu)化的特點(diǎn)在于控制迭代次數(shù)從而實(shí)現(xiàn)不同參數(shù)化效果；凸組合嵌入實(shí)現(xiàn)雙射，得到高質(zhì)量映射結(jié)果。(3)雙曲空間參數(shù)化。高虧格曲面大多應(yīng)用雙曲空間參數(shù)化方法。但是現(xiàn)階段仍然有一些問題束縛著共形參數(shù)化的發(fā)展，例如，對(duì)于復(fù)雜拓?fù)淝嫘枰獙⒋罅烤Ψ旁趯で蟾罹€的處理上面，不同的處理