【微專題】2023學年八年級數(shù)學上冊?？键c微專題提分精練（人教版）十字相乘法因式分解（解析版）

十字相乘法因式分解1．下列式子中，因式分解正確的是(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)十字相乘法即可分解因式．【詳解】解：．故選：A．【點睛】本題主要考查用十字相乘法分解因式，掌握分解因式的方法是解題的關(guān)鍵．2．將多項式x2－2x－8分解因式，正確的是（

）A．（x＋2）（x－4） B．（x－2）（x－4）C．（x＋2）（x＋4） D．（x－2）（x＋4）【答案】A【分析】利用十字相乘法分解即可．【詳解】解：，故選：A．【點睛】本題考查用十字相乘法進行因式分解，正確掌握十字相乘法是求解本題的關(guān)鍵．3．分解因式x2-5x-14，正確的結(jié)果是（

）A．（x－5）（x－14） B．（x－2）（x－7） C．（x－2）（x＋7） D．（x＋2）（x－7）【答案】D【分析】根據(jù)-14=-7×2，-5=-7+2，進行分解即可．【詳解】解：x2-5x-14=（x-7）（x+2），故選：D．【點睛】本題考查了因式分解-十字相乘法，熟練掌握因式分解-十字相乘法是解題的關(guān)鍵．4．把多項式分解因式，下列結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用公式即可得答案．【詳解】解：故選:D．【點睛】此題考查了十字相乘法進行因式分解，解題的關(guān)鍵是掌握公式．5．如果x2+kx﹣10＝（x﹣5）（x+2），則k應為（）A．﹣3 B．3 C．7 D．﹣7【答案】A【分析】根據(jù)多項式乘以多項式把等號右邊展開，即可得答案．【詳解】解：（x-5）（x+2）=x2-3x-10，則k=-3，故選：A．【點睛】本題主要考查了因式分解，關(guān)鍵是掌握x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．6．如果多項式x2﹣5x+c可以用十字相乘法因式分解，那么下列c的取值正確的是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)十字相乘法進行因式分解的方法，對選項逐個判斷即可．【詳解】解：A、，不能用十字相乘法進行因式分解，不符合題意；B、，不能用十字相乘法進行因式分解，不符合題意；C、，能用十字相乘法進行因式分解，符合題意；D、，不能用十字相乘法進行因式分解，不符合題意；故選C【點睛】此題考查了十字相乘法進行因式分解，解題的關(guān)鍵是掌握十字相乘法進行因式分解．7．因式分解=_________【答案】【分析】先提公因式再利用十字相乘法進行因式分解即可；【詳解】解：；故答案為：．【點睛】本題考查分解因式．熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．8．分解因式：______．【答案】##【分析】先提取公因數(shù)，再用十字相乘法分解因式即可；【詳解】解：原式=；故答案為：；【點睛】本題考查了十字相乘法分解因式：對于形如x2+px+q的二次三項式，若能找到兩數(shù)a、b，使a?b=q且a+b=p，那么x2+px+q=x2+（a+b）x+a?b=（x+a）（x+b）．9．因式分解：______________．【答案】【分析】根據(jù)二次三項式的特征，采取十字相乘因式分解法直接分解即可．【詳解】解：采取十字相乘因式分解法直接分解，，故答案為：．【點睛】本題考查十字相乘法因式分解，根據(jù)代數(shù)式特征選擇恰當?shù)囊蚴椒纸夥椒ㄊ墙鉀Q問題的關(guān)鍵．10．因式分解：_______．【答案】【分析】利用十字相乘法分解因式即可得．【詳解】解：因為，且是的一次項的系數(shù)，所以，故答案為：．【點睛】本題考查了因式分解，熟練掌握十字相乘法是解題關(guān)鍵．11．觀察下列因式分解中的規(guī)律：①；②；③；④；利用上述系數(shù)特點分解因式__________．【答案】【分析】利用十字相乘法分解因式即可．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查了十字相乘法因式分解，解題關(guān)鍵是明確二次項系數(shù)為1的十字相乘法公式：．12．分解因式：x2﹣7xy﹣18y2＝___．【答案】【分析】根據(jù)十字相乘法因式分解即可．【詳解】x2﹣7xy﹣18y2，故答案為：．【點睛】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．三、解答題13．閱讀材料：由多項式乘法：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，將該式從右到左使用，即可得到“十字相乘法”進行因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．示例：分解因式：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）．請用上述方法分解因式：(1)x2-3x-4；(2)x2-7x+12．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)-4=1×(?4)，1-4=-3即可分解因式；（2）根據(jù)-3×(-4)=12，-3-4=-7即可分解因式．（1）解：x2?3x?4=x2+(1-4)x+1×(?4)=(x+1)(x?4)；（2）解：x2?7x+12=x2+(?3?4)x+(?3)×(?4)=(x?3)(x?4)．【點睛】本題考查了十字相乘法，解題的關(guān)鍵是把常數(shù)項拆成兩個數(shù)的積，而兩個數(shù)的和正好等于一次項的系數(shù)．14．閱讀理解題：由多項式乘法：，將該式從右到左使用，即可進行因式分解的公式：．示例：分解因式：．分解因式：．多項式的特征是二次項系數(shù)為1，常數(shù)項為兩數(shù)之積，一次項系數(shù)為這兩數(shù)之和．(1)嘗試：分解因式：；(2)應用：請用上述方法將多項式：、進行因式分解．【答案】(1)2，4(2)，【分析】（1）利用閱讀材料的方法解答，即可求解；（2）利用閱讀材料的方法解答，即可求解；(1)；故答案為：2，4(2)解：；【點睛】本題主要考查了多項式的因式分解，理解閱讀材料的因式分解方法是解題的關(guān)鍵．15．閱讀材料：根據(jù)多項式乘多項式法則，我們很容易計算：；．而因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得：；．通過這樣的關(guān)系我們可以將某些二次項系數(shù)是1的二次三項式分解因式．如將式子分解因式．這個式子的二次項系數(shù)是，常數(shù)項，一次項系數(shù)，可以用下圖十字相乘的形式表示為：先分解二次項系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數(shù)項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次項系數(shù)，然后橫向書寫．這樣，我們就可以得到：．利用這種方法，將下列多項式分解因式：(1)__________；(2)__________；(3)__________；(4)__________．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）仿照題意求解即可；（2）仿照題意求解即可；（3）仿照題意求解即可；（4）仿照題意求解即可．(1)解：根據(jù)題意可知(2)解：根據(jù)題意可知(3)解：根據(jù)題意可知(4)解：根據(jù)題意可知【點睛】本題主要考查分解因式，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．16．閱讀下列材料：根據(jù)多項式的乘法，我們知道，．反過來，就得到的因式分解形式，即．把這個多項式的二次項系數(shù)1分解為，常數(shù)項10分解為，先將分解的二次項系數(shù)1，1分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再把，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角，我們發(fā)現(xiàn)，把它們交叉相乘，再求代數(shù)和，此時正好等于一次項系數(shù)（如圖1）．像上面這樣，先分解二次項系數(shù)，把它們分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數(shù)項，把它們分別寫在十字交叉線的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代數(shù)和，使其正好等于一次項系數(shù)，我們把這種借助“十字”方式，將一個二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法．例如，將二次三項式分解因式，它的“十字”如圖2：所以，．請你用十字相乘法將下列多項式分解因式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)（x+2）（x+3）(2)（2x-1）（x-3）(3)（x+2）（x-m）【分析】根據(jù)閱讀材料中的十字相乘法即可得出答案．（1）解：由上圖可知：x2+5x+6=（x+2）（x+3），故答案為：（x+2）（x+3）；（2）解：由上圖可知：2x2-7x+3=（2x-1）（x-3），故答案為：（2x-1）（x-3）；（3）解：由上圖可知：x2+（2-m）x-2m=（x+2）（x-m），故答案為：（x+2）（x-m）．【點睛】本題考查了十字相乘法因式分解，關(guān)鍵是讀懂材料掌握十字相乘的基本步驟．17．探究：如何把多項式x2+8x+15因式分解？

（1）觀察：上式能否可直接利用完全平方公式進行因式分解？答：________；

（2）（閱讀與理解）：由多項式乘法，我們知道（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，將該式從右到左地使用，即可對形如x2+（a+b）x+ab的多項式進行因式分解，即：x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）此類多項式x2+（a+b）x+ab的特征是二次項系數(shù)為1，常數(shù)項為兩數(shù)之積，一次項系數(shù)為這兩數(shù)之和．猜想并填空：x2+8x+15=x2+[（_____）+（_____）]x+（___）×（___）=（x+____）（x+_____）（3）上面多項式x2+8x+15的因式分解是否符合題意，我們需要驗證．請寫出驗證過程．（4）請運用上述方法將下列多項式進行因式分解：x2-x-12【答案】（1）不能；（2）3；5；3；5；3；5；（3）x2+8x+15；（4）（x-4）（x+3）【分析】（1）根據(jù)完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征進行判斷即可；（2）將x2+8x+15=x2+（3+5）x+（3×5）即可得出答案；（3）根據(jù)整式乘法計算（x+3）（x+5）的結(jié)果即可；（4）將x2+[3+（-4）]x+[3×（-4）]即可得出答案．【詳解】解：（1）因為x2+8x+16=（x+4）2，所以x2+8x+15不是完全平方公式，故答案為：不能；（2）∵x2+8x+15=x2+（3+5）x+（3×5）∴x2+8x+15=x2+（3+5）x+（3×5）=（x+3）（x+5），故答案為：3，5，3，5，3，5；（3）∵（x+3）（x+5）=x2+5x+3x+15=x2+8x+15，∴x2+8x+15=（x+3）（x+5）因此多項式x2+8x+15的因式分解是符合題意的；（4）x2-x-12=x2+[3+（-4）]x+[3×（-4）]=（x+3）（x-4）．【點睛】本題考查了十字相乘法分解因式，掌握x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）的結(jié)構(gòu)特征是正確應用的前提．18．由多項式乘法：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，將該式從右到左使用，即可得到“十字相乘法”進行因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．示例：分解因式：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）．（1）嘗試：分解因式：x2+6x+8＝（x+____）（x+____）；（2）應用：請用上述方法解方程：①x2﹣3x﹣4＝0；②x2﹣7x+12＝0．【答案】（1）2，4；（2）①或；②或【分析】（1）類比題干因式分解方法求解可得；（2）①利用十字相乘法將左邊因式分解為后求解可得；②利用十字相乘法將左邊因式分解后求解可得．【詳解】解：（1），故答案為：2，4；（2）①，，，則或，解得：或，②，，，則或，解得：或．【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法中的因式分解法．19．閱讀材料：解方程我們可以按下面的方法解答：（1）分解因式，①豎分二次項與常數(shù)項：，．②交叉相乘，驗一次項：．③橫向?qū)懗鰞梢蚴剑海?）根據(jù)乘法原理：若，則或，則方程可以這樣求解方程左邊因式分解得所以原方程的解為，．試用上述方法和原理解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1），；（2），【分析】（1）利用已知結(jié)合十字相乘法分解因式得出即可；（2）利用已知結(jié)合十字相乘法分解因式得出即可．【詳解】解：（1），，，，．（2），，，，．【點睛】本題主要考查了十字相乘法分解因式的應用，解題的關(guān)鍵是正確利用十字相乘法分解因式．20．閱讀下列材料：材料1：將一個形如x2＋px＋q的二次三項式因式分解時，如果能滿足q＝mn且p＝m＋n，則可以把x2＋px＋q因式分解成（x＋m）（＋n）的形式，如x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1解：將“x＋y”看成一個整體，令x＋y＝A，則原式＝A2＋2A＋1＝（A＋1）2，再將“A”還原，得原式＝（x＋y＋1）2