湖南省長(zhǎng)沙市縣第三中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

湖南省長(zhǎng)沙市縣第三中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)雙曲線的虛軸長(zhǎng)為2，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B2.已知函數(shù)f（x）=的定義域是R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．a(chǎn)＞

B．－12＜a≤0

C．－12＜a＜0

D．a(chǎn)≤參考答案：B3.已知兩條直線m、n與兩個(gè)平面α、β，下列命題正確的是（）A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m∥α，m∥β，則α∥βC．若m⊥α，m⊥β，則α∥β D．若m⊥n，m⊥β，則n∥β參考答案：C【考點(diǎn)】LS：直線與平面平行的判定；LU：平面與平面平行的判定．【分析】對(duì)于A，平行于同一平面的兩條直線可以平行、相交，也可以異面；對(duì)于B，平行于同一直線的兩個(gè)平面也可能相交；對(duì)于C，若m⊥α，m⊥β，則m為平面α與β的公垂線，則α∥β；對(duì)于D，只有n也不在β內(nèi)時(shí)成立．【解答】解：對(duì)于A，若m∥α，n∥α，則m，n可以平行、相交，也可以異面，故不正確；對(duì)于B，若m∥α，m∥β，則當(dāng)m平行于α，β的交線時(shí)，也成立，故不正確；對(duì)于C，若m⊥α，m⊥β，則m為平面α與β的公垂線，則α∥β，故正確；對(duì)于D，若m⊥n，m⊥β，則n∥β，n也可以在β內(nèi)故選C．4.已知是等差數(shù)列，，則等于（

）A．26

B．30

C．32

D．36參考答案：C略5.若雙曲線的頂點(diǎn)為橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，且雙曲線的離心率與該橢圓的離心率的積為1，則雙曲線的方程是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略6.滿足條件的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是（

）A．一條直線

B．兩條直線

C.圓

D．橢圓參考答案：C因?yàn)?，所以，因此?fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是圓，選C.

7.已知數(shù)列為等差數(shù)列，若且它們的前項(xiàng)和有最大值，則使得的的最大值為（

）A.11

B.19

C.20

D.21參考答案：B略8.已知數(shù)列,如果()是首項(xiàng)為1公比為的等比數(shù)列，那么等于（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A略9.已知是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量,且,,當(dāng)取得最小值時(shí),與夾角的正切值等于(

)A. B. C.1 D.參考答案：C10.若，則的取值范圍是

A.B.C.D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，已知點(diǎn)A，B為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠AFB=90°，過(guò)弦AB的中點(diǎn)M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN，垂足為N，則的最大值為．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】設(shè)|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF．由拋物線定義得2||=a+b，由余弦定理可得||2=（a+b）2﹣3ab，進(jìn)而根據(jù)基本不等式，求得||的取值范圍，從而得到本題答案【解答】解：設(shè)|AF|=a，|BF|=b，由拋物線定義，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，∴2||=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，||2=a2+b2﹣2abcos90°=a2+b2，配方得，||2=（a+b）2﹣2ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣2ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到||≥（a+b）．∴≤，即的最大值為．故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題在拋物線中，利用定義和余弦定理求的最大值，著重考查拋物線的定義和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、基本不等式求最值和余弦定理的應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．12.將兩枚質(zhì)地均勻的骰子各擲一次，設(shè)事件：兩個(gè)點(diǎn)數(shù)互不相同，事件：出現(xiàn)一個(gè)4點(diǎn)，則等于__________.參考答案：13.已知，則曲線在M的作用下得到的新曲線方程_________.參考答案：【分析】設(shè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，根據(jù)題意，得到，求解即可【詳解】設(shè)原曲線上任一點(diǎn)在作用下對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則即，解得，代入得，則曲線在的作用下得到的新曲線方程為答案：【點(diǎn)睛】本題考查變換前后坐標(biāo)之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題14.設(shè)p：方程x2＋2mx＋1＝0有兩個(gè)不相等的正根；q：方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0無(wú)實(shí)根，則使p或q為真，p且q為假的實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．參考答案：(－∞，－2]∪[－1,3)令f(x)＝x2＋2mx＋1.則由f(0)>0，且－>0，且Δ>0，求得m<－1，∴p：m∈(－∞，－1)．q：Δ＝4(m－2)2－4(－3m＋10)<0?－2<m<3.由p或q為真，p且q為假知，p、q一真一假．①當(dāng)p真q假時(shí)，即m≤－2；②當(dāng)p假q真時(shí)，即－1≤m<3.∴m的取值范圍是m≤－2或－1≤m<3.15.拋物線的準(zhǔn)線方程為

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．參考答案：16.設(shè)則S的最大值為

參考答案：2解析：

由題設(shè)得于是S3－3S－2≤0，即（S－2）（S+1）2≤0，得S≤2。當(dāng)，y=4時(shí)取等號(hào)。17.已知橢圓的短半軸長(zhǎng)為1，離心率e滿足，則長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍是______．參考答案：【分析】將用表示出來(lái)，然后根據(jù)的范圍求解即可得到結(jié)論．【詳解】∵b＝1，∴，又，∴，∴，整理得，解得．∴，∴長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓中基本量間的運(yùn)算，解題時(shí)注意靈活運(yùn)用和間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（15分）已知橢圓C：+=1（a＞b＞0），直線l：y=kx+m（k≠0，m≠0），直線l交橢圓C與P，Q兩點(diǎn)．（Ⅰ）若k=1，橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)（，1），直線l經(jīng)過(guò)橢圓C的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，求橢圓方程；（Ⅱ）若k=，b=1，且kOP，k，kOQ成等比數(shù)列，求三角形OPQ面積S的取值范圍．參考答案：19.學(xué)校對(duì)同時(shí)從高一，高二，高三三個(gè)不同年級(jí)的某些學(xué)生進(jìn)行抽樣調(diào)查，從各年級(jí)抽出人數(shù)如表所示．工作人員用分層抽樣的方法從這些學(xué)生中共抽取6人進(jìn)行調(diào)查年級(jí)高一高二高三數(shù)量50150100（1）求這6位學(xué)生來(lái)自高一，高二，高三各年級(jí)的數(shù)量；（2）若從這6位學(xué)生中隨機(jī)抽取2人再做進(jìn)一步的調(diào)查，求這2人來(lái)自同一年級(jí)的概率．參考答案：【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布表．【分析】（1）求出樣本容量與總體中的個(gè)體數(shù)的比是=，即可求這6位學(xué)生來(lái)自高一，高二，高三各年級(jí)的數(shù)量；（2）利用枚舉法列出從這6位學(xué)生中隨機(jī)抽取2人的不同結(jié)果，求出2人來(lái)自同一年級(jí)的情況數(shù)，由古典概型概率計(jì)算公式得答案．【解答】解：（1）因?yàn)闃颖救萘颗c總體中的個(gè)體數(shù)的比是=，所以樣本中包含三個(gè)年級(jí)的個(gè)體數(shù)量分別是50×=1，150×=3，100×=2．所以高一，高二，高三三個(gè)年級(jí)的學(xué)生被選取的人數(shù)分別為1，3，2．（2）設(shè)6件來(lái)自高一，高二，高三三個(gè)地區(qū)的學(xué)生分別為：A；B1，B2，B3；C1，C2．則抽取的這2人構(gòu)成的所有基本事件為：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15個(gè)．每個(gè)人被抽到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．記事件D：“抽取的這2人來(lái)自相同年級(jí)”，則事件D包含的基本事件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4個(gè)．所以P（D）=，即這2人來(lái)自相同年級(jí)的概率為．20.已知，復(fù)數(shù)．（1）若z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求m的取值范圍．（2）若z與復(fù)數(shù)相等，求m的值；參考答案：（1）（2）【分析】（1）直接由實(shí)部與虛部大于0聯(lián)立不等式組求解；（2）利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)相等的條件列方程組求值．【詳解】（1）由題意得，，解得或．的取值范圍是；（2），且與復(fù)數(shù)相等，，解得．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)相等的條件，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．21.已知一組動(dòng)直線方程為:.(1)求證:直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)若直線與x軸正半軸，y軸正半軸半分別交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，求△AOB面積的最小值.參考答案：（1）定點(diǎn)(2,1);（2）最小值為4，時(shí)取等號(hào)22.已知圓M的圓心M在x軸上，半徑為1，直線，被圓M所截的弦長(zhǎng)為，且圓心M在直線l的下方．（I）求圓M的方程；（II）設(shè)A（0，t），B（0，t+6）（﹣5≤t≤﹣2），若圓M是△ABC的內(nèi)切圓，求△ABC的面積S的最大值和最小值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓相交的性質(zhì)．【分析】（I）設(shè)圓心M（a，0），利用M到l：8x﹣6y﹣3=0的距離，求出M坐標(biāo)，然后求圓M的方程；（II）設(shè)A（0，t），B（0，t+6）（﹣5≤t≤﹣2），設(shè)AC斜率為k1，BC斜率為k2，推出直線AC、直線BC的方程，求出△ABC的面積S的表達(dá)式，求出面積的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)圓心M（a，0），由已知，得M到l：8x