《平面向量應(yīng)用舉例》課件

2.5平面向量應(yīng)用舉例2.5平面向量應(yīng)用舉例由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景,平面幾何圖形的許多性質(zhì),如平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來，因此，可用向量方法解決平面幾何中的一些問題.

本節(jié)課我們通過幾個(gè)具體實(shí)例，說明向量方法在平面幾何中的運(yùn)用，向量概念源于物理中的矢量，物理中的力、位移、速度等都是向量，功是向量的數(shù)量積，從而使得向量與物理學(xué)建立了有機(jī)的內(nèi)在聯(lián)系，物理中具有矢量意義的問題也可以轉(zhuǎn)化為向量問題來解決.因此，在實(shí)際問題中，如何運(yùn)用向量方法分析和解決物理問題，又是一個(gè)值得探討的課題.由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景,平1.通過平行四邊形這個(gè)幾何模型,歸納總結(jié)出用向量方法解決平面幾何的問題的”三步曲”；2.明確平面幾何圖形中的有關(guān)性質(zhì),如平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示.；3.讓學(xué)生深刻理解向量在處理平面幾何問題中的優(yōu)越性.1.通過平行四邊形這個(gè)幾何模型,歸納總結(jié)出用向量方法解決平面一.復(fù)習(xí):1.平面向量數(shù)量積的含義:2.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律.一.復(fù)習(xí):3.重要性質(zhì):(1)(2)(3)設(shè)a、b都是非零向量,則≤3.重要性質(zhì):(1)(2)(3)設(shè)a、b都是非零向量,則≤若設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則|AB|=向量的長(zhǎng)度(模)向量的夾角公式向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)為兩個(gè)向量,若設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則|AB|=向量向量平行和垂直的坐標(biāo)表示設(shè)為兩個(gè)向量,向量平行和垂直的坐標(biāo)表示設(shè)為兩個(gè)向量,問題：平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型。如圖，你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎？ABCD猜想：1.長(zhǎng)方形對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間有何關(guān)系？2.類比猜想，平行四邊形有相似關(guān)系嗎？一、平面幾何中的向量方法問題：平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型。如圖，你能發(fā)例1、證明平行四邊形四邊平方和等于兩對(duì)角線平方和.ABDC已知：平行四邊形ABCD,求證：解：設(shè)，則

分析：因?yàn)槠叫兴倪呅螌?duì)邊平行且相等，故設(shè)其它線段對(duì)應(yīng)向量用它們表示?！嗬?、證明平行四邊形四邊平方和等于兩對(duì)角線平方和.ABDC已例2

如圖，ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、

DC邊的中點(diǎn)，BE、

BF分別與AC交于R、

T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR、

RT、TC之間的關(guān)系嗎？ABCDEFRT猜想：AR=RT=TC例2如圖，ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、DC解：設(shè)則由于與共線，故設(shè)又因?yàn)楣簿€，所以設(shè)因?yàn)樗訟BCDEFRT解：設(shè)11故AT=RT=TC.ABCDEFRT故AT=RT=TC.ABCDEFRT練習(xí).證明直徑所對(duì)的圓周角是直角.ABCO如圖所示，已知⊙O，AB為直徑，C為⊙O上任意一點(diǎn)。求證∠ACB=90°分析：要證∠ACB=90°，只須證向量，即解：設(shè)則，由此可得：即，∠ACB=90°思考：能否用向量坐標(biāo)形式證明？練習(xí).證明直徑所對(duì)的圓周角是直角.ABCO如圖所示，已知⊙O（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（2）通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；（3）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何元素。用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：簡(jiǎn)述：形到向量向量的運(yùn)算向量和數(shù)到形（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元1.向量在力學(xué)中的應(yīng)用思考1：如圖，用兩條成120°角的等長(zhǎng)的繩子懸掛一個(gè)重量是10N的燈具，根據(jù)力的平衡理論，每根繩子的拉力與燈具的重力具有什么關(guān)系？每根繩子的拉力是多少？120°OCBA10N|F1|=|F2|=10NF1+F2+G=0二、平面向量在物理中的應(yīng)用1.向量在力學(xué)中的應(yīng)用思考1：如圖，用兩條成120°角的等長(zhǎng)思考2：兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，或在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，兩只手臂的夾角大小與所耗力氣的大小有什么關(guān)系？夾角越大越費(fèi)力.思考3：若兩只手臂的拉力為F1、F2，物體的重力為G，那么F1、F2、G三個(gè)力之間具有什么關(guān)系？

F1＋F2＋G=0.思考2：兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，或在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)思考4：假設(shè)兩只手臂的拉力大小相等，夾角為θ，那么|F1|、|G|、θ之間的關(guān)系如何？FF1F2Gθ思考5：上述結(jié)論表明，若重力G一定，則拉力的大小是關(guān)于夾角θ的函數(shù).在物理學(xué)背景下，這個(gè)函數(shù)的定義域是什么？單調(diào)性如何？θ∈[0°，180°)思考4：假設(shè)兩只手臂的拉力大小相等，夾角為θ，那么|F1|、思考6：|F1|有最大值或最小值嗎？|F1|與|G|可能相等嗎？為什么？θ∈[0°，180°)思考6：|F1|有最大值或最小值嗎？|F1|與|G|可能相等2.向量在運(yùn)動(dòng)學(xué)中的應(yīng)用思考1：如圖，一條河的兩岸平行，一艘船從A處出發(fā)到河對(duì)岸，已知船在靜水中的速度|v1|＝10㎞/h，水流速度|v2|＝2㎞/h，如果船垂直向?qū)Π恶側(cè)?，那么船的?shí)際速度v的大小是多少？A|v|=㎞/h.2.向量在運(yùn)動(dòng)學(xué)中的應(yīng)用思考1：如圖，一條河的兩岸平行，一艘思考2：如果船沿與上游河岸成60°方向行駛，那么船的實(shí)際速度v的大小是多少？v1v2v60°

|v|2＝|v1＋v2|2＝（v1＋v2）2＝84.思考2：如果船沿與上游河岸成60°方向行駛，那么船的實(shí)際速度思考3：船應(yīng)沿什么方向行駛，才能使航程最短？v1v2vABC與上游河岸的夾角為78.73°.思考4：如果河的寬度d＝500m，那么船行駛到對(duì)岸至少要幾分鐘？思考3：船應(yīng)沿什么方向行駛，v1v2vABC與上游河岸的夾角例3

一架飛機(jī)從A地向北偏西60°方向飛行1000km到達(dá)B地，然后向C地飛行，若C地在A地的南偏西60°方向，并且A、C兩地相距2000km，求飛機(jī)從B地到C地的位移.東CBA北西南位移的方向是南偏西30°，大小是km.例3一架飛機(jī)從A地向北偏西60°方向飛行1000km到達(dá)一個(gè)物體受到同一平面內(nèi)三個(gè)力F1、F2、F3的作用，沿北偏東45°方向移動(dòng)了8m，已知|F1|=2N，方向?yàn)楸逼珫|30°，|F2|=4N，方向?yàn)闁|偏北30°，|F3|=6N，方向?yàn)槲髌?0°，求這三個(gè)力的合力所做的功.東F1北西南F2F3W=F·s=J.一個(gè)物體受到同一平面內(nèi)三個(gè)力F1、F2、F3的作用，沿北偏東1.利用向量解決物理問題的基本步驟：①問題轉(zhuǎn)化，即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；②建立模型，即建立以向量為載體的數(shù)學(xué)模型；③求解參數(shù)，即求向量的模、夾角、數(shù)量積等；④回答問題，即把所得的數(shù)學(xué)結(jié)論回