海淀區(qū)高三期末數(shù)學(xué)試題及參考答案(理科)2023-1

高三數(shù)學(xué)試題〔理科〕第1頁〔共5頁〕海淀區(qū)高三年級第一學(xué)期期末練習(xí)數(shù)學(xué)〔理科〕2023．01選擇題〔共40分〕一、選擇題：本大題共8小題，每題5分，共40分．在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的．1．復(fù)數(shù)A．B．C．D．2．如圖，正方形中，點是的中點，點是的一個三等分點．那么A．B．C．D．3．假設(shè)數(shù)列滿足：=，，那么數(shù)列的前項和數(shù)值最大時，的值是A．B．C．D．4．平面，，直線，假設(shè)，=，那么A．垂直于平面的平面一定平行于平面B．垂直于直線的直線一定垂直于平面C．垂直于平面的平面一定平行于直線D．垂直于直線的平面一定與平面,都垂直5．函數(shù)=的局部圖象如下圖，那么==A．B．C．D．開始i=1,s=0開始i=1,s=0s=s+2i-1is≤100i=i+1輸出i結(jié)束是否A．B．C．D．7．函數(shù)，那么以下命題中假命題是A．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)B．在上恰有一個零點C．是周期函數(shù)D．在上是增函數(shù)8．點到圖形上每一個點的距離的最小值稱為點到圖形的距離，那么平面內(nèi)到定圓的距離與到定點的距離相等的點的軌跡不可能是A．圓B．橢圓C．雙曲線的一支D．直線二、填空題：本大題共6小題，每題5分，共30分，把答案填在題中橫線上．9．的展開式中的系數(shù)是．〔用數(shù)字作答〕10．假設(shè)實數(shù)滿足那么=的最大值為．11．拋物線過點，那么點到此拋物線的焦點的距離為．12．甲和乙兩個城市去年上半年每月的平均氣溫〔單位〕用莖葉圖記錄如下，根據(jù)莖葉圖可知，兩城市中平均溫度較高的城市是________，氣溫波動較大的城市是_______．甲城市乙城市90877312472204713．圓，過點的直線將圓分成弧長之比為的兩段圓弧，那么直線的方程為．14．正三棱柱的正〔主〕視圖和側(cè)〔左〕視圖如下圖．設(shè)△△的中心分別是，現(xiàn)將此三棱柱繞直線旋轉(zhuǎn)，射線旋轉(zhuǎn)所成的角為弧度〔可以取到任意一個實數(shù)〕，對應(yīng)的俯視圖的面積為，那么函數(shù)的最大值為；最小正周期為．說明：“三棱柱繞直線旋轉(zhuǎn)〞包括逆時針方向和順時針方向，逆時針方向旋轉(zhuǎn)時，旋轉(zhuǎn)所成的角為正角，順時針方向旋轉(zhuǎn)時，旋轉(zhuǎn)所成的角為負(fù)角．三、解答題：本大題共6小題，共80分．解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．〔本小題總分值13分〕在中，角所對的邊分別為．〔Ⅰ〕求及的值；〔Ⅱ〕假設(shè)，求的面積．16．〔本小題總分值13分〕為加強大學(xué)生實踐、創(chuàng)新能力和團隊精神的培養(yǎng)，促進高等教育教學(xué)改革，教育部門主辦了全國大學(xué)生智能汽車競賽．該競賽分為預(yù)賽和決賽兩個階段，參加決賽的隊伍按照抽簽方式?jīng)Q定出場順序．通過預(yù)賽，選拔出甲、乙等五支隊伍參加決賽．〔Ⅰ〕求決賽中甲、乙兩支隊伍恰好排在前兩位的概率；〔Ⅱ〕假設(shè)決賽中甲隊和乙隊之間間隔的隊伍數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．17．〔本小題總分值14分〕在四棱錐中，底面是直角梯形，∥，，，平面平面．〔Ⅰ〕求證：平面；〔Ⅱ〕求平面和平面所成二面角〔小于〕的大??；〔Ⅲ〕在棱上是否存在點使得∥平面？假設(shè)存在，求的值；假設(shè)不存在，請說明理由．18．〔本小題總分值13分〕函數(shù)，其中是常數(shù)．〔Ⅰ〕當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；〔Ⅱ〕假設(shè)存在實數(shù)，使得關(guān)于的方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍．19．〔本小題總分值13分〕焦點在軸上的橢圓過點，且離心率為，為橢圓的左頂點．〔Ⅰ〕求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；〔Ⅱ〕過點的直線與橢圓交于，兩點．假設(shè)直線垂直于軸，求的大??；假設(shè)直線與軸不垂直，是否存在直線使得為等腰三角形？假設(shè)存在，求出直線的方程；如果不存在，請說明理由．20．〔本小題總分值14分〕集合=，假設(shè)集合=，且對任意的存在，使得=〔其中〕，那么稱集合為集合的一個元基底．〔Ⅰ〕分別判斷以下集合是否為集合的一個二元基底，并說明理由；①=，=；②=，=．〔Ⅱ〕假設(shè)集合是集合的一個元基底，證明：；〔Ⅲ〕假設(shè)集合為集合=的一個元基底，求出的最小可能值，并寫出當(dāng)取最小值時的一個基底．PAGE數(shù)學(xué)參考答案第1頁，共8頁海淀區(qū)高三年級第一學(xué)期期末練習(xí)數(shù)學(xué)〔理科〕參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)2023．01選擇題：本大題共8小題，每題5分，共40分.題號〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕答案ADBDCABD二.填空題：本大題共6小題，每題5分，共30分.〔9〕〔10〕〔11〕〔12〕乙，乙〔13〕或〔14〕；注：〔13〕題正確答出一種情況給3分，全對給5分；〔12〕、〔14〕題第一空3分；第二空2分.三.解答題：本大題共6小題，共80分.解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟.〔15〕〔本小題總分值13分〕解：〔Ⅰ〕因為，所以.………2分因為，所以.………3分由題意可知，.所以.………5分因為.………6分所以.………8分〔Ⅱ〕因為，，………10分所以.所以.………11分所以.………13分(16)〔本小題總分值13分〕解：〔Ⅰ〕設(shè)“甲、乙兩支隊伍恰好排在前兩位〞為事件，那么.………4分所以甲、乙兩支隊伍恰好排在前兩位的概率為.………5分〔Ⅱ〕隨機變量的可能取值為.………6分，，，.………10分隨機變量的分布列為：因為，所以隨機變量的數(shù)學(xué)期望為.………13分(17)〔本小題總分值14分〕〔Ⅰ〕證明：因為，所以.………1分因為平面平面，平面平面，平面，所以平面.………3分〔Ⅱ〕解：取的中點，連接.因為，所以.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面.………4分如圖，以為原點，所在的直線為軸，在平面內(nèi)過垂直于的直線為軸，所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè).由直角梯形中可得，，.所以，.設(shè)平面的法向量.因為所以即令，那么.所以.………7分取平面的一個法向量n.所以.所以平面和平面所成的二面角〔小于〕的大小為.………9分〔Ⅲ〕解：在棱上存在點使得∥平面，此時.理由如下：………10分取的中點，連接，，.那么∥，.因為，所以.因為∥，所以四邊形是平行四邊形.所以∥.因為，所以平面∥平面.………13分因為平面，所以∥平面.………14分(18)〔本小題總分值13分〕解：(Ⅰ)由可得.………2分當(dāng)時,,.………4分所以曲線在點處的切線方程為，即.………5分〔Ⅱ〕令，解得或.………6分當(dāng)，即時，在區(qū)間上，，所以是上的增函數(shù).所以方程在上不可能有兩個不相等的實數(shù)根.………8分當(dāng)，即時，隨的變化情況如下表↘↗由上表可知函數(shù)在上的最小值為.………10分因為函數(shù)是上的減函數(shù)，是上的增函數(shù)，且當(dāng)時，有.………11分所以要使方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，的取值范圍必須是.……13分(19)〔本小題總分值13分〕解：〔Ⅰ〕設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，且.由題意可知：，.………2分所以.所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.……3分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得.設(shè).〔ⅰ〕當(dāng)直線垂直于軸時，直線的方程為.由解得：或即〔不妨設(shè)點在軸上方〕.………5分那么直線的斜率，直線的斜率.因為，所以.所以.………6分〔ⅱ〕當(dāng)直線與軸不垂直時，由題意可設(shè)直線的方程為.由消去得：.因為點在橢圓的內(nèi)部，顯然.………8分因為，，，所以.所以.所以為直角三角形.………11分假設(shè)存在直線使得為等腰三角形，那么.取的中點，連接，那么.記點為.另一方面，點的橫坐標(biāo)，所以點的縱坐標(biāo).所以.所以與不垂直，矛盾.所以當(dāng)直線與軸不垂直時，不存在直線使得為等腰三角形.………13分(20)〔本小題總分值14分〕解：〔Ⅰ〕①不是的一個二元基底.理由是；②是的一個二元基底.理由是，.………3分〔Ⅱ〕不妨設(shè)，那么形如的正整數(shù)共有個；形如的正整數(shù)共有個；形如的正整數(shù)至多有個；形如的正整數(shù)至多有個.又集合含個不同的正整數(shù)，為集合的一個元基底.故，即.………8分〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕可知，所以.當(dāng)時，，即用基底中元素表示出的數(shù)最多重復(fù)一個.*假設(shè)為的一個4元基底，不妨設(shè)，那么.當(dāng)時，有，這時或.如果，那么由，與結(jié)論*矛盾.如果，那么或.易知和都不