材料力學 能量法

第1頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page2

引言求節(jié)點A的鉛垂位移的兩條研究途徑方法一方法二壓第2頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page3問題：求節(jié)點A的垂直位移，哪種方法優(yōu)越？第3頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page4幾個概念相應位移：

載荷作用點沿載荷作用方向的位移分量。外力功：

載荷在其相應位移上所作之功。廣義力：

力，力偶，一對大小相等、方向相反的力或轉向相反的力偶等。廣義位移：

線位移，角位移，相對線位移，相對角位移等?！?3-1外力功與應變能的一般表達式第4頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page5例：試確定圖a均布載荷q對應的廣義位移.(a)AB相應廣義位移：面積第5頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page6一、計算外力功的基本公式

線彈性體：

載荷—位移曲線所包圍的面積

ffdf

dF

第6頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page7二、克拉比隆定理：已知線彈性體上同時作用有多個廣義力F1,F2,..及其相應廣義位移,求外力功F1F2F1＋F2(1)(2)F1與F2對彈簧做的總功與他們的加載順序與方式有關嗎？第7頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page8ADF1B

1F2C

2ADF1B

11ADF2C

22

1=11,

2=22

第8頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page9ADf1B

1f2C

2

加載過程中各載荷保持比例關系：ADF1B

1F2C

2第一個載荷所做之功：第二個載荷所做之功：∝同理：∝第9頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page10

加載過程中各載荷不保持比例關系：ADF1B

1F2C

2ADf1B

1f2C

2

最終狀態(tài)相同

考慮比例卸載過程∝同理：∝對線彈性體,不論按何種方式加載,廣義力F1,F2,..Fn在其相應位移

1,

2,..

n上的總功恒為第10頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page11

注意：線彈性體上作用有多個廣義力時：

廣義位移可以用疊加法求解

外力功一般不可以用疊加法求解

特殊情況：FFTT

一種載荷在另一種載荷引起的位移上不做功

一種載荷不在另一種載荷方向上引起相應位移第11頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page12三、應變能的一般表達式

拉壓桿與桁架:

軸:

處于平面彎曲的梁與剛架（忽略剪力影響）:基本變形情況T(x)dxd

M(x)dxd

FN(x)dx第12頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page13組合變形情況FN(x)M(x)Fs(x)T(x)dx組合變形桿件的總能量是否可由疊加法計算？為什么？T(x)dxd

M(x)dxd

FN(x)dx第13頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page14

非圓截面桿或桿系

圓截面桿或桿系y,z軸－主形心軸第14頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page15解:（1）計算梁的應變能(x軸從A向左)相應位移互耦的多個外力引起的應變能不能疊加計算！例：懸臂梁承受集中力與集中力偶作用，計算外力所做之總功。彎曲剛度為EI。FMA第15頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page16解:(2)計算外力所作之總功梁的應變能等于外力所做總功FMA第16頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page17BlCx2x1M0FAl例:試計算圖示水平面內直角剛架的應變能。剛架截面為圓形，直徑為d，材料彈性模量和剪切模量分別為E和G。解法一：對于圖示剛架，彎矩和扭矩方程分別為：AB段：BC段：第17頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page183第18頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page19BlCx2x1M0FAl解法二：A截面的撓度和轉角分別為：3第19頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page20作業(yè)13－113－3第20頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page21§13-2互等定理ADF12

11

211ADF22

12

221——i代表位置，j代表載荷同一彈性體的兩種受力狀態(tài)第21頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page22功的互等定理若F1=F2位移互等定理先加F1，后加F2：ADF22

22

11F1

121先加F2，后加F1：ADF22

22

21F1

111考察F1,F2

對彈性體的做功第22頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page23

關于功的互等定理的說明：

成立的前提是對于線彈性體；

兩組外力之間，功的互等定理也成立；ADFMADFADFFM

關鍵在于搞清楚兩個（組）廣義外力在對方作用點處引起的廣義位移；第23頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page24例：測量變截面線彈性梁（圖a,截面沿寬度變化）A、B點撓度，但僅端點C適合裝千分表。解：設圖a在A點的撓度為如圖b加載和裝千分表，測得C點的撓度為則第24頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page25A點受F*作用時A、B點上升和例：兩個相聯(lián)的水平梁，解結構受力狀態(tài)如圖現在水平位置將A固支，在B作用F，求支座A的約束反力。CDCD第25頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page26由功的互等定理CDCDCDCDCD第26頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page27例：等直桿寬b，拉壓剛度EA，泊松比 求解設第二種受力狀態(tài)為軸向拉力對于任意截面形狀的等直桿，解答是否成立?第27頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page28解：考慮薄板受均布載荷q例：已知E，，h，求均質薄板面積改變量由功的互等定理第28頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page29思考題1板內開任意一孔，是否變化？思考題2內孔受一對圖示方向的力，是正還是負？第29頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page30線彈性梁受多個廣義力Fk的作用，求各廣義力的相應位移

k。方法一：疊加法方法二：能量法AB

1Fn

2F1F2Fk

k

n§13-3卡氏定理第30頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page31

卡氏定理的證明：多個Fi的作用下：先加上

Fk，再加上Fi若給Fk一個增量

Fk（略去高階小量）

FkAB

1Fn

2F1F2Fk

k

n第31頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page32解：例1：用卡氏定理求A點撓度第32頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page33FlA例2：求A端的轉角FxM附加力法：先假設一附加力，對被積函數求導后，令附加力等于零思考：如何求直梁在F作用下掃過的面積？第33頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page34例3：EI為常數，求wA，

AABCFaF解：為避免混淆，設Fa=MFBFCx2x1aa第34頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page35AB段：

BC段：

得：

例4：用卡氏定理求A點撓度， 為彎曲剛度。ABC(a)設解：(b)第35頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page36等于A點撓度的兩倍與B點撓度之和。討論：

的幾何意義?ABC(a)(b)第36頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page37

討論的意義FFAB代表AB兩點的相對位移若兩個F共線反向，為兩載荷對應的相對線位移的意義ABMM若兩個M反向，為兩載荷對應的相對角位移第37頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page38由A、B兩節(jié)點平衡例：各桿EA，求A點水平位移及AB轉角解：（1）計算A點水平位移 由整體平衡第38頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page39問題若由卡氏定理計算，附加載荷怎么辦？在A、B兩點加附加力第39頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page40作業(yè)13－813－913-1113-12第40頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page41§13-4變形體虛功原理回顧剛體虛功原理處于平衡狀態(tài)的任意剛體，作用于其上的力系在任意虛位移或可能位移上所作之總虛功等于零。虛位移：

滿足約束條件的微小位移

虛位移是虛構的，與剛體上的作用力無關

虛功原理同樣適用于變形體第41頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page42關于變形體的虛功原理q(x)A變形體的虛位移或可能位移：滿足位移邊界條件及變形連續(xù)條件的任意微小位移梁微段剛體虛位移虛變形不同于剛體dxd

*dxd

*dxd

*dxd

*AAAA以上哪個是可能位移？第42頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page43可能內力：滿足平衡方程與靜力邊界條件的內力

對于靜定系統(tǒng)，可能內力即為真實內力

靜不定系統(tǒng)的可能內力不唯一，只有滿足位移邊界及連續(xù)條件的可能內力才是真實內力變形體的可能內力：q(x)A第43頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page44變形體的外力虛功與內力虛功：q(x)lAxdx外力虛功：內力虛功：外力在虛位移上所作的功可能內力在微段虛變形上所作的功之和dxd

*dxd

*dxd

*dxd

*注意：1、外力在虛變形上不做功2、內力和外力虛功都沒有系數1/2虛位移第44頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page45變形體的外力虛功與內力虛功之間有何關系？方法：分別從兩個角度分析微段上力系的總虛功，然后各自積分，最后比較

從微段的受力角度：微段上作用有外力和內力

從微段的變形角度：微段上有剛體虛位移和虛變形第45頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page46力系在剛體虛位移上所作虛功力系在虛變形上所作虛功剛體虛功原理外力在虛變形上不作功內力在虛變形上所作虛功

從微段的變形角度研究微段上力系在虛位移上所作總虛功：q(x)FSFNMT微段上的力系第46頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page47外力在虛位移上所作虛功內力在虛位移上所作虛功1、內力均作用于切開面上2、切開處的兩面上，內力大小相等、方向相反，虛位移相同q(x)FSFNMT

從微段的受力角度研究微段上力系在虛位移上所作總虛功：微段上的力系第47頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page48

處于平衡狀態(tài)的變形體，外力在虛位移上所作虛功，恒等于可能內力在虛變形上所作虛功。變形體虛功原理第48頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page49例：驗證虛功原理q(x)lAxdx虛位移位移邊界條件與變形連續(xù)條件第49頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page50位移邊界條件靜力邊界條件第50頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page51

關于虛功原理：

內力與外力平衡外力在虛位移作功=內力在虛變形作功

虛位移是任一滿足位移邊界與變形連續(xù)條件的微小位移，與外力可以彼此獨立

虛變形是與虛位移相對應的變形

適用于線彈與非彈性材料，各向同性與各向異性材料第51頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page52§13-5單位載荷法

回顧求桿或桿系軸線上一點位移的計算方法

直接計算法(畫變形圖、積分法等)

利用功能原理

利用卡氏定理不適宜解決復雜問題只能求解作用有單個廣義力時，該廣義力的相應位移只適用于線彈性體單位載荷法：更一般的方法，應用更廣泛，更方便。第52頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page53

單位載荷法

理論基礎：變形體虛功原理

目標：變形體在已知載荷作用下，求任意一點沿任一方向的位移q(x)FAnn例：求任一A截面沿任一方向n-n方向的位移

A截面上沒有作用廣義力

桿系結構上作用有多個廣義力

所求位移不為某一廣義力的相應位移第53頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page54Ann1方法一：卡氏定理方法二：虛功原理處于平衡狀態(tài)的變形體，外力在虛位移上所做功等于內力在虛變形上所做功。

選擇單位載荷狀態(tài)

選擇虛位移將真實載荷狀態(tài)下的位移作為虛位移q(x)FAnn第54頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page55Ann1研究單位載荷狀態(tài)，并取真實載荷引起的位移作為虛位移。虛功原理的表達式：真實載荷在微段引起的虛變形：單位載荷在微段引起的內力：忽略剪力的影響q(x)FAnn第55頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page56對于線彈性體：(a)(b)第56頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page57

關于單位載荷法的說明：

應用(a)式，不受材料性質的限制(但須滿足小變形條件)應用(b)式，只能是線彈性體

式中的

A,n也可以是轉角(此時單位載荷狀態(tài)加的是單位力偶)q(x)FAxzA1第57頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page58

式中的

A,n還可以是兩截面的相對位移或相對轉角(此時單位載荷狀態(tài)加的是一對反向的單位力或單位力偶)FFAB原始受力狀態(tài)11AB單位載荷狀態(tài)11AB單位載荷狀態(tài)

按以上公式求出的位移為正，則說明所求位移方向與所加單位載荷同向，為負，則說明兩者反向。第58頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page592.分段建立彎矩方程實際載荷狀態(tài)與單位載荷狀態(tài)分段與坐標應相同圓弧段用極坐標方便例:彎曲剛度EI，求A點鉛垂位移分析步驟：1.配置單位載荷狀態(tài)第59頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page60解：AB段：BC段：第60頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page61例：桿1，物理非線性，桿2，物理線性，已知桿橫截面積均為A，求

BF12l45o1解：原載荷狀態(tài)下的內力方程配置單位載荷狀態(tài)

B第61頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page62作業(yè)13－1513－1613-17(b)13-18(a)第62頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page63上一講回顧虛位移與虛功原理F1F2虛位移3虛位移2虛位移1F2在虛位移3上的相應位移2F1在虛位移3上的相應位移1外力在虛位移3上做的總功可能內力在虛變形3上做的總功單位載荷法A問題：求解A點沿45角方向的位移

451.配置適當的單位載荷狀態(tài)12.將梁在F1，F2作用下的實際變形作為單位載荷下變形體的虛位移同理那么，該單位載荷在虛位移上的相應位移就是所求的

45，外虛功為1×

45微段的虛變形（在F1、F2作用下的實際變形，假設變形體彈性）為（與單位外載荷相對應的）可能內力在虛變形上做的總功（內虛功）為由虛功原理可得：第63頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page64根據對稱性例:彎曲剛度EI，求C點撓度和A點轉角解：（1）求，配置單位載荷狀態(tài)真實載荷與單位載荷下豎直桿的彎距正負，要按同一標準判斷?。〉?4頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page65根據對稱性負值說明實際轉動方向與施加的單位載荷方向相反()解：（2）求，配置單位載荷狀態(tài)第65頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page66解：（1）求例:各桿EA，求AB桿轉角，A、D點相對位移配置單位載荷系統(tǒng)l第66頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page67（2）求解：配置單位載荷系統(tǒng)l第67頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page68分析步驟：彎扭組合（1）建立F作用下的彎矩、扭矩方程（2）配置單位載荷并建立單位載荷狀態(tài)的彎距、扭矩方程（3）求相對位移例:圖中

F=80N,[]=240MPa,E=200GPa,G=80GPa

R=35mm,d=7mm,忽略開口寬度求開口沿F方向相對位移第68頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page69（1）求沿F載荷作用下的內力方程沿F方向加一對單位力M第69頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page70思考：如果開口端面上作用一對扭力偶，該開口小曲率環(huán)形桿是一種什么樣的變形狀態(tài)？第70頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page71求解思路討論：A點在與F垂直方向位移例:A點位移與F方向相同，求角配置單位載荷系統(tǒng)第71頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page72第72頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page73aaaAqBC例：已知EI，求

A左、

A右x2x1qRARBRAx3ABC1解：(1)求

A左，配置單位載荷第73頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page74(2)求

A右ABC11ABC1x2x1x3第74頁，課件共85頁，創(chuàng)作于2023年2月Page75