《專項練習(xí)》2023學(xué)年八年級上冊（人教版）模型方法課之倍長中線法重點練（解析版）

更多資料添加微信號：DEM2008淘寶搜索店鋪：優(yōu)尖升教育網(wǎng)址：更多資料添加微信號：DEM2008淘寶搜索店鋪：優(yōu)尖升教育網(wǎng)址：專題01模型方法課之倍長中線法重點練（解析版）學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．如圖，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC邊上的中線，AD的取值范圍是（）A．1＜AD＜6 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜8 D．2＜AD＜4【答案】B【分析】先延長到，且，并連接，由于，，利用易證，從而可得，在中，再利用三角形三邊的關(guān)系，可得，從而易求．【詳解】解：延長到，使，連接，則AE=2AD，∵，，，∴，，在中，，即，∴．故選：．【點睛】此題主要考查三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．2．如圖，在中，為的中點，若．則的長不可能是（）A．5 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】延長AD到E，使AD=DE，證明△ADC≌△EDB，然后利用三邊關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】解：延長AD到E，使AD=DE=4，連接BE，∵D是BC的中點，∴BD=CD又∠BDE=∠CDA∴△ADC≌△EDB，∴BE=AC=3由三角形三邊關(guān)系得，即：故選：A【點睛】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．3．如圖，在四邊形中，，，，，，點是的中點，則的長為（）．A．2 B． C． D．3【答案】C【分析】延長BE交CD延長線于P，可證△AEB≌△CEP，求出DP，根據(jù)勾股定理求出BP的長，從而求出BM的長．【詳解】解：延長BE交CD延長線于P，∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠ECP，在△AEB和△CEP中，∴△AEB≌△CEP（ASA）∴BE＝PE，CP＝AB＝5又∵CD＝3，∴PD=2，∵∴∴BE＝BP＝．故選：C．【點睛】考查了全等三角形的判定和性質(zhì)和勾股定理，解題的關(guān)鍵是得恰當(dāng)作輔助線構(gòu)造全等，依據(jù)勾股定理求出BP．二、填空題4．如圖，在中，是邊上的中線，，，，則_______．【答案】【分析】延長到點，使，連接，證明，，再根據(jù)勾股定理的逆定理證得，即=90°，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】延長到點，使，連接，是邊上的中線，，在和中，，，，，，，，，，，，．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，做輔助線構(gòu)造全等三角形及證得∠BAD=∠CED=90°是關(guān)鍵．5．如圖，平行四邊形ABCD，點F是BC上的一點，連接AF，∠FAD＝60°，AE平分∠FAD，交CD于點E，且點E是CD的中點，連接EF，已知AD＝5，CF＝3，則EF＝__．【答案】4【分析】延長AE，BC交于點G，判定△ADE≌△GCE，即可得出CG＝AD＝5，AE＝GE，再根據(jù)三線合一即可得到FE⊥AG，進(jìn)而得出Rt△AEF中，EF＝AF＝4．【詳解】解：如圖，延長AE，BC交于點G，∵點E是CD的中點，∴DE＝CE，∵平行四邊形ABCD中，AD∥BC，∴∠D＝∠ECG，又∵∠AED＝∠GEC，∴△ADE≌△GCE，∴CG＝AD＝5，AE＝GE，又∵AE平分∠FAD，AD∥BC，∴∠FAE＝∠DAE＝∠G＝∠DAF＝30°，∴AF＝GF＝3+5＝8，又∵E是AG的中點，∴FE⊥AG，在Rt△AEF中，∠FAE＝30°，∴EF＝AF＝4，故答案為：4．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)的綜合運用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等進(jìn)行推算．三、解答題6．在ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中點，E為直線AC上一動點，連接DE，過點D作DF⊥DE，交直線BC于點F，連接EF．（1）如圖1，當(dāng)點E是線段AC的中點時，AE＝2，BF＝1，求EF的長；（2）當(dāng)點E在線段CA的延長線上時，依題意補全圖形2，用等式表示AE，EF，BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）；（2）AE2+BF2＝EF2，證明見解析【分析】（1）由三角形的中位線定理得DE∥BC，DE＝BC，進(jìn)而證明四邊形CEDF是矩形得DE＝CF，得出CF，再根據(jù)勾股定理得結(jié)果；（2）過點B作BM∥AC，與ED的延長線交于點M，連接MF，證明△ADE≌△BDM得AE＝BM，DE＝DM，由垂直平分線的判定定理得EF＝MF，進(jìn)而根據(jù)勾股定理得結(jié)論．【詳解】解：（1）∵D是AB的中點，E是線段AC的中點，∴DE∥BC，DE＝BC，∵∠ACB＝90°，∴∠DEC＝90°，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴四邊形CEDF是矩形，∴DE＝CF＝BC，∴CF＝BF＝1，∵CE＝AE＝2，∴EF＝；（2）AE2+BF2＝EF2．證明：過點B作BM∥AC，與ED的延長線交于點M，連接MF，則∠AED＝∠BMD，∠CBM＝∠ACB＝90°，∵D點是AB的中點，∴AD＝BD，在△ADE和△BDM中，，∴△ADE≌△BDM（AAS），∴AE＝BM，DE＝DM，∵DF⊥DE，∴EF＝MF，∵BM2+BF2＝MF2，∴AE2+BF2＝EF2．【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，垂直平分線的判定，關(guān)鍵在于構(gòu)造全等三角形．7．如圖，已知AD是的中線，過點B作BE⊥AD，垂足為E．若BE=6，求點C到AD的距離．【答案】6【分析】延長AD，過點C作于點F，證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到．【詳解】解：如圖，延長AD，過點C作于點F，∵AD是的中線，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，即點C到AD的距離是6．【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是利用倍長中線的方法做輔助線構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)求解．8．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線．（1）如果，，求證：△ABC是直角三角形．（2）如果，，，，求BC的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）由于，所以，故有，，由三角形內(nèi)角和定理即可求解；（2）延長AD到E使，可得，由勾股定理可得，再由勾股定理可求得CD的長，同時即可求解．【詳解】解：（1）∵，，∴，∴，，∵，∴，即．（2）延長AD到E使，連接CE，在△ABD和△ECD中，，∴，∴，，，在△AEC中，，，，∴，∴，由勾股定理得：，∴．【點睛】本題主要考查三角形全等，利用倍長中線作出輔助線，由勾股定理證明是本題的解題關(guān)鍵．9．如圖，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，DE=2AM，點M為BC的中點，連接AM．求證：AD⊥AC【答案】見解析【分析】延長AM至N，使MN=AM，證△AMC≌△NMB，推出AC=BN=AD，ED=AN，證△EAD≌△ABN，得到∠EAD+∠BAC=180°，即可證明AD⊥AC．【詳解】延長AM至N，使MN=AM，連接BN，

∵點M為BC的中點，

∴CM=BM，

在△AMC和△NMB中，，∴△AMC≌△NMB（SAS），

∴AC=BN，∠C=∠NBM，∠CAM=∠N，∵DE=2AM，AD=AC，∴DE=AN，AD=BN，在△EAD和△ABN中，，∴△EAD≌△ABN（SSS），∴∠EAD=∠ABN，∴∠EAD+∠BAC=∠EAD+∠BAN+∠CAM=∠ABN+∠BAN+∠N=180，∵AB⊥AE，∴∠EAB=90°，∴∠DAC=360°-∠EAB-(∠EAD+∠BAC)=90°，∴AD⊥AC．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，延長AM至N，使MN=AM，利用“中線倍長”構(gòu)造全等三角形的是解題的關(guān)鍵．10．某數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動中進(jìn)行了探究試驗活動，請你來加入．（探究與發(fā)現(xiàn)）（1）如圖1，AD是的中線，延長AD至點E，使，連接BE，證明：．（理解與應(yīng)用）（2）如圖2，EP是的中線，若，，設(shè)，則x的取值范圍是________．（3）如圖3，AD是的中線，E、F分別在AB、AC上，且，求證：．【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定即可得到結(jié)論；（2）延長至點，使，連接，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得到結(jié)論；（3）延長FD至G，使得，連接BG，EG，結(jié)合前面的做題思路，利用三角形三邊關(guān)系判斷即可．【詳解】（1）證明：，，，，（2）；如圖，延長至點，使，連接，在與中，，，，在中，，即，的取值范圍是；故答案為：；（3）延長FD至G，使得，連接BG，EG，在和中，，，，，，在和中，，，，，，在中，兩邊之和大于第三邊，，又，，【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中線的定義，三角形的三邊關(guān)系，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．11．閱讀下面材料：數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問題：如圖，AD為△ABC中線，點E在AC上，BE交AD于點F，AE＝EF．求證：AC＝BF．

經(jīng)過討論，同學(xué)們得到以下思路：如圖①，添加輔助線后依據(jù)SAS可證得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以進(jìn)一步證得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，從而證明結(jié)論．完成下面問題：（1）這一思路的輔助線的作法是：．（2）請你給出一種不同于以上思路的證明方法（要求：寫出輔助線的作法，畫出相應(yīng)的圖形，并寫出證明過程）．【答案】（1）延長AD至點G，使DG＝AD，連接BG；（2）見解析【分析】（1）延長AD于點G使得DG=AD．利用AE=EF可證得∠G=∠BFG=∠AFE=∠FAE，再依據(jù)AAS可以進(jìn)一步證得△ADC≌△GDB，從而證明結(jié)論．（2）作BG∥AC交AD的延長線于G，證明△ADC≌△GDB（AAS），得出AC=BG，證出∠G=∠BFG，得出BG=BF，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，則作法為：延長AD至點G，使DG＝AD，連接BG；（2）作BG∥AC交AD的延長線于G，如圖②所示：則∠G＝∠CAD，∵AD為△ABC中線，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EFA，∵∠BFG＝∠EFA，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識；熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．12．在通過構(gòu)造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線．（1）如圖1，是的中線，求的取值范圍．我們可以延長到點，使，連接，易證，所以．接下來，在中利用三角形的三邊關(guān)系可求得的取值范圍，從而得到中線的取值范圍是；（2）如圖2，是的中線，點在邊上，交于點且，求證：；（3）如圖3，在四邊形中，，點是的中點，連接，且，試猜想線段之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．【答案】（1）；（2）見解析；（3），證明見解析【分析】（1）延長到點，使，連接，即可證明，則可得，在中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得到的取值范圍，進(jìn)而得到中線的取值范圍；（2）延長到點使，連接，由（1）知，則可得，由可知，，由角度關(guān)系即可推出，故，即可得到；（3）延長到，使，連接，即可證明，則可得由，以及角度關(guān)系即可證明點在一條直線上，通過證明≌，即可得到，進(jìn)而通過線段的和差關(guān)系得到．【詳解】（1）延長到點，使，連接，∵是的中線，∴，在和中，，，，∴，∴，在中，，∴，即，∴；（2）證明:延長到點使,連接，由（1）知，∴，，，，，，，，（3），延長到，使，連接，，，，，，點在一條直線上，，∴，∴在和中，，，，∴≌，，∵，．【點睛】本題考查了三角形中線、全等三角形的證明和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、平角的概念、線段的和差關(guān)系等，正確的作出輔助線以及綜合運用以上知識是解答本題的關(guān)鍵．13．閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進(jìn)行證明．已知：如圖，點E是BC的中點，點A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求證：AB＝CD．分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個三角形中，且它們分別所在的兩個三角形也不全等，因此，要證AB＝CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．（1）現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法，請任意選出其中一種，對原題進(jìn)行證明．①如圖1，延長DE到點F，使EF＝DE，連接BF；②如圖2，分別過點B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點F，G．（2）請你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對原題進(jìn)行證明．【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）見解析；【分析】（1）①如圖1，延長DE到點F，使EF＝DE，連接BF，△BEF≌△CED，∠BAE＝∠F，AB＝CD；②如圖2，分別過點B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點F，G，△BEF≌△CEG△BAF≌△CDG，AB＝CD；（2）如圖3，過C點作CM∥AB，交DE的延長線于點M，則∠BAE＝∠EMC，△BAE≌△CFE（AAS），∠F＝∠EDC，CF＝CD，AB＝CD；【詳解】（1）①如圖1，延長DE到點F，使EF＝DE，連接BF，∵點E是BC的中點，∴BE＝CE，在△BEF和△CED中，，∴△BEF≌△CED（SAS），∴BF＝CD，∠F＝∠CDE，∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F，∴AB＝BF，∴AB＝CD；②如圖2，分別過點B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點F，G，∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，∵點E是BC的中點，∴BE＝CE，在△BEF和△CEG中，，∴△BEF≌△CEG（AAS），∴BF＝CG，在△BAF和△CDG中，，∴△BAF≌△CDG（AAS），∴AB＝CD；（2）如圖3，過C點作CM∥AB，交DE的延長線于點M，則∠BAE＝∠EMC，∵E是BC中點，∴BE＝CE，在△BAE和△CME中，，∴△BAE≌△CFE（AAS），∴CF＝AB，∠BAE＝∠F，∵∠BAE＝∠EDC，∴∠F＝∠EDC，∴CF＝CD，∴AB＝CD．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，對頂角相等，平行線的性質(zhì)，構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．14．如圖，中，，，為中線，求中線的取值范圍．【答案】【分析】延長至點，使，連接，證明，得到，然后根據(jù)三角形三條邊的關(guān)系求解即可．【詳解】解：延長至點，使，連接，是中線，，在和中，，，，在中，，，，．【點睛】本題考查了三角形三條邊的關(guān)系，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性質(zhì)（即全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等）是解題的關(guān)鍵．15．閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)．?dāng)?shù)學(xué)活動課上，老師提出了如下問題：如圖1，已知中，是邊上的中線．求證：．智慧小組的證法如下：證明：如圖2，延長至，使，∵是邊上的中線∴在和中∴（依據(jù)一）∴在中，（依據(jù)二）∴．任務(wù)一：上述證明過程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是指：依據(jù)1：______________________________________________；依據(jù)2：______________________________________________．歸納總結(jié)：上述方法是通過延長中線，使，構(gòu)造了一對全等三角形，將，，轉(zhuǎn)化到一個三角形中，進(jìn)而解決問題，這種方法叫做“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．任務(wù)二：如圖3，，，則的取值范圍是_____________；任務(wù)三：如圖4，在圖3的基礎(chǔ)上，分別以和為邊作等腰直角三角形，在中，，；中，，．連接．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】任務(wù)一：依據(jù)1：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等（或“邊角邊”或“SAS”）；依據(jù)2：三角形兩邊的和大于第三邊；任務(wù)二：；任務(wù)三：EF=2AD，見解析【分析】任務(wù)一：依據(jù)1：根據(jù)全等的判定方法判斷即可；依據(jù)2：根據(jù)三角形三邊關(guān)系判斷；任務(wù)二：可根據(jù)任務(wù)一的方法直接證明即可；任務(wù)三：根據(jù)任務(wù)一的方法，延長中線構(gòu)造全等三角形證明線段關(guān)系即可．【詳解】解：任務(wù)一：依據(jù)1：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等（或“邊角邊”或“SAS”）；依據(jù)2：三角形兩邊的和大于第三邊．任務(wù)二：任務(wù)三：EF=2AD．理由如下：如圖延長AD至G，使DG=AD，∵AD是BC邊上的中線∴BD=CD在△ABD和△CGD中∴△ABD≌△CGD∴AB=CG，∠ABD=∠GCD又∵AB=AE∴AE=CG在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，∴∠GCD+∠BAC+∠ACB=180°又∵∠BAE=90°，∠CAF=90°∴∠EAF+∠BAC=360°-（∠BAE+∠CAF）=180°∴∠EAF=∠GCD在△EAF和△GCA中∴△EAF≌△GCA∴EF=AG∴EF=2AD．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，倍長中線法，構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．16．已知，在中，，點為邊的中點，分別交，于點，．（1）如圖1，①若，請直接寫出______；②連接，若，求證：；（2）如圖2，連接，若，試探究線段和之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）①45°；②見解析；（2），理由見解析【分析】（1）①利用直角三角形兩個銳角相加得和三角形的外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角和的性質(zhì)結(jié)合題干已知即可解題．②延長至點，使得，連接，從而可證明≌（SAS），再利用全等的性質(zhì)，可知，即可知道，所以，根據(jù)題干又可得到，所以，從而得出結(jié)論．（2）延長至點，使得，連接，從而可證明≌（SAS），再利用全等的性質(zhì)，可知，，根據(jù)題干即可證明≌（HL），即得出結(jié)論．【詳解】（1）①∵，∴∵∴又∵∴∴故答案為．②如圖，延長至點，使得，連接，∵點為的中點，∴，又∵，∴≌，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．（2）．如圖，延長至點，使得，連接，∵，，∴≌，∴，，∵．∴≌，∴．【點睛】本題主要考查直角三角形的角的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)．綜合性較強，作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．17．在與中，，，，連接，點為的中點，連接，繞著點旋轉(zhuǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點落在的延長線上時，與的數(shù)量關(guān)系是：__________；（2）如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到點落在的延長線上時，與是否仍有具有（1）中的數(shù)量關(guān)系，如果具有，請給予證明；如果沒有，請說明理由；（3）旋轉(zhuǎn)過程中，若當(dāng)時，直接寫出的值．【答案】（1）；（2）具有，證明見解析；（3）14或．【分析】（1）；當(dāng)點落在的延長線上時，∠ADE=90o，點為的中點，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，再證△ACE≌△BCE（SAS）利用性質(zhì)得AE=BE即可；（2）成立（具有）延長到點，使，連接，由點為的中點，可知是的中位線，有結(jié)論，先證，再證，即可；（3）分兩種情況∠BCD再BC的左邊與右邊，構(gòu)造Rt△ECH，∠HCE=60o或Rt△CGE，∠GCE=30o，CH=，CG=，利用勾股定理求BE2，再用（1）結(jié)論即可．【詳解】（1）當(dāng)點落在的延長線上時，∠ADE=90o，∵點為的中點，∴AF=EF=FD，∴，∵BC=AC，∠ACB=90o，CD=DE，∠CDE=90o，∴∠DCE=∠DEC=45o，∴∠BCE=∠BCD+∠DCE=90o+45o=135o，∴∠ACE=360o-∠ACB-∠BCE=360o-90o-135o=135o=∠BCE，∵CE=CE，∴△ACE≌△BCE（SAS），∴AE=BE，∴，故答案為：；（2）成立（具有）證明：延長到點，使，連接，∵點為的中點，∴是的中位線，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）14或．過E作EH⊥BC于H，∴在Rt△ECD中，CE=2，∵∠BCD=105o，∴∠HCE=105o-∠DCE=60o，∴CH=，EH=，∵BC=，∴BH=BC-CH=-，∴FD2=；延長BC，過E作EG⊥BC于G，∵∠BCD=105o，∠DCE=45o，∴∠GCE=180o-∠ACD-∠DCE=30o，∴GE=，∴CG=，∴∴FD2=．綜上所述，的值為或．【點睛】本題考查直角三角形斜邊中線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形的旋轉(zhuǎn)變換，三角形中位線，解直角三角形，勾股定理的應(yīng)用，涉及的知識多，習(xí)題難度大，關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想畫出準(zhǔn)確的圖形，畫圖時應(yīng)注意分類來畫是解題關(guān)鍵．18．如圖，在△ABC中，AD是高，E、F分別是AB、AC的中點，AB＝8，AC＝6．（1）求四邊形AEDF的周長；（2）若∠BAC＝90°，求四邊形AEDF的面積．【答案】（1）14；（2）12．【分析】（1）延長DE到G，使GE＝DE，連接BG，根據(jù)線段中點的定義求出AE＝4，AF＝3，并利用SAS證明△AED≌△BEG，由全等三角形的性質(zhì)并再次利用全等三角形的判定得出△GBD≌△ABD，可證得DE＝AB＝4，同理DF＝AC＝3，即可計算出四邊形的周長；（2）利用SSS可證△AEF≌△DEF，根據(jù)直角三角形的面積計算方法求出△AEF的面積，則四邊形的面積即可求解．【詳解】解：（1）延長DE到G，使GE＝DE，連接BG，∵E、F分別是AB、AC的中點，AB＝8，AC＝6，∴AE＝BE＝AB＝4，AF＝CF＝AC＝3．在△AED和△BEG中，，∴△AED≌△BEG（SAS）．∴AD＝BG，∠DAE＝∠GBE．∵AD⊥BC，∴∠DAE＋∠ABD＝90°．∴∠GBE＋∠ABD＝90°．即∠GBD＝∠ADB＝90°．在△GBD和△ABD中，，∴△GBD≌△ABD（SAS）．∴GD＝AB．∵DE＝GD，∴DE＝AB＝4．同理可證：DF＝AC＝3．∴四邊形AEDF的周長＝AE＋ED＋DF＋FA＝14．（2）由（1）得AE＝DE＝AB＝4，AF＝DF＝AC＝3，在△AEF和△DEF中，，∴△AEF≌△DEF（SSS）．∵∠BAC＝90°，∴S△AEF＝AE?AF＝×4×3＝6．∴S四邊形AEDF＝2S△AEF＝12．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)并能利用倍長中線法構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．19．在等腰Rt△ABC中∠ABC＝90°，BA＝BC，在等腰Rt△CDE中∠CDE＝90°，DE＝DC，連接AD，點F是線段AD的中點．（1）如圖1，連接BF，當(dāng)點D和點E分別在BC邊和AC邊上時，若AB＝3，CE＝2，求BF的長．（2）如圖2，連接BE、BD、EF，當(dāng)∠DBE＝45°時，求證：EF＝ED．【答案】（1）；（2）見詳解；【分析】（1）利用等腰直角三角形DEC，求解CD，然后勾股定理求解AD，最后直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，即可；（2）如圖，延長EF到N，使得FN=EF，連接BN，延長DE交AB于M；利用△AFN≌△DEF，可求DM∥AN；進(jìn)而可得∠OMB=∠BAN，∠OMB=∠OCD；可得△BAN≌△BCD，可知NB=BD，再證明△BEN≌△BED，可得DE=EN=2EF；故；【詳解】（1）由題可知：在等腰Rt△DEC中，∠CDE=90°，DE=DC，CE=；∴ED=CD=2；又AB=BC=3；∴BD=1；在Rt△ABD中，；又點F是線段AD的中點，∴；（2）如圖，延長EF到N，使得FN=EF，連接BN，延長DE交AB于M；在△AFN和△DEF中，AF=DF；∠AFN=∠DFE；FN=EF；∴△AFN≌△DEF∴AN=DE=CD，∠FAN=∠FDE∴DM∥AN∴∠OMB=∠BAN；又∠MOB+∠OMB=90°；∠DOC+∠OCD=90°；∠MOB=∠DOC；∴∠BAN=∠BCD；在△BAN和△BCD中，AB=BC；∠BAN=∠BCD；AN=CD；∴△BAN≌△BCD∴∠ABN=∠CBD；BN=BD；∴∠DBN=∠CBA=90°；又∠DBE=45°∴∠EBN=∠EBD；又BE=BE；BN=BD；∴△BEN≌△BED∴DE=EN=2EF；∴．【點睛】本題考查三角形綜合問題，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；難點在于輔助線的添加和三角形全等的構(gòu)造．20．（1）方法呈現(xiàn)：如圖①：在中，若，，點D為BC邊的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使，再連接BE，可證，從而把AB、AC，集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是_______________，這種解決問題的方法我們稱為倍長中線法；（2）探究應(yīng)用：如圖②，在中，點D是BC的中點，于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，判斷與EF的大小關(guān)系并證明；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，，AF與DC的延長線交于點F、點E是BC的中點，若AE是的角平分線．試探究線段AB，AF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】（1）1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF，證明見解析；（3）AF+CF＝AB，證明見解析．【分析】（1）由已知得出AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣4＜AE＜5+3，據(jù)此可得答案；（2）延長FD至點M，使DM＝DF，連接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得出BE+BM＞EM即可得出結(jié)論；（3）如圖③，延長AE，DF交于點G，根據(jù)平行和角平分線可證AF＝FG，易證△ABE≌△GEC，據(jù)此知AB＝CG，繼而得出答案．【詳解】解：（1）延長AD至E，使DE＝AD，連接BE，如圖①所示，∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝4，在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴6﹣4＜AE＜6+4，即2＜AE＜10，∴1＜AD＜5；故答案為：1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF；證明：延長FD至點M，使DM＝DF，連接BM、EM，如圖②所示．同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM＝CF，∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF；（3）AF+CF＝AB．如圖③，延長AE，DF交于點G，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G，在△ABE和△GCE中CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，∴△ABE≌△GEC（AAS），∴CG＝AB，∵AE是∠BAF的平分線，∴∠BAG＝∠GAF，∴∠FAG＝∠G，∴AF＝GF，∵FG+CF＝CG，∴AF+CF＝AB．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了三角形的三邊關(guān)系、全等三角形的判定與性質(zhì)、角的關(guān)系等知識；本題綜合性強，有一定難度，通過作輔助線證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．21．如圖，在等邊△ABC中，點D，E分別是AC