新教材高中人教B版數(shù)學(xué)學(xué)案9-2正弦定理與余弦定理的應(yīng)用

正弦定理與余弦定理的應(yīng)用最新課程標(biāo)準(zhǔn)：1.能將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題．(難點)2.能夠用正、余弦定理等知識和方法求解與距離、高度、角度有關(guān)的實際應(yīng)用問題．(重點)3.能根據(jù)題意畫出幾何圖形．(易錯點)知識點一實際測量中的有關(guān)名詞、術(shù)語名稱定義圖示基線在測量上，根據(jù)測量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線鉛垂平面與地面垂直的平面坡角坡面與水平面的夾角α為坡角坡比坡面的垂直高度與水平寬度之比坡比：i＝eq\f(h,l)仰角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線上方時，視線與水平線的夾角俯角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線下方時，視線與水平線的夾角知識點二方位角從指北方向按________轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的水平角．如點B的方位角為α(如圖所示)．方位角的取值范圍：________.知識點三方向角從指定方向線到目標(biāo)方向線所成的小于________的水平角，如南偏西60°，指以________方向為始邊，順時針方向________旋轉(zhuǎn)60°.[基礎(chǔ)自測]1．從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為()A．α>β B．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°2．如圖，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與B的距離為()A．a(chǎn)km B.eq\r(3)akmC.eq\r(2)akm D．2akm3．甲、乙兩樓相距20m，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°，則甲、乙兩樓的高分別是________m、________m.4．某人從A處出發(fā)、沿北偏西60°行走2eq\r(3)km到達(dá)B處，再沿正東方向行走2km到達(dá)C處，則A，C兩地的距離為________km.題型一測量不便到達(dá)的兩點之間的距離問題例1要測量對岸A，B兩點之間的距離，選取相距eq\r(3)km的C，D兩點，并測得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A，B之間的距離．eq\x(狀元隨筆)將題中距離、角度轉(zhuǎn)化到一個三角形中，再利用正弦、余弦定理解三角形．方法歸納測量兩個不可到達(dá)的點之間的距離，一般是把求距離問題轉(zhuǎn)化為應(yīng)用余弦定理求三角形的邊長問題，然后把求未知的另外邊長問題轉(zhuǎn)化為只有一點不能到達(dá)的兩點距離測量問題，運用正弦定理解決．跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，設(shè)B、C兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在C的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點A，測出A，C的距離是100m，∠BAC＝45°，∠BCA＝60°，求B，C兩點間的距離．題型二測量高度問題例2某興趣小組要測量電視塔AE的高度H(單位：m)．如圖所示，豎直放置的標(biāo)桿BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.該小組已測得一組α，β的值，算出了tanα＝，tanβ＝，請據(jù)此算出H的值．【解】由AB＝eq\f(H,tanα)，BD＝eq\f(h,tanβ)，AD＝eq\f(H,tanβ)及AB＋BD＝AD，得eq\f(H,tanα)＋eq\f(h,tanβ)＝eq\f(H,tanβ)，解得H＝eq\f(htanα,tanα－tanβ)＝eq\f(4×,－)＝124.因此，算出的電視塔的高度H是124m.方法歸納解決測量高度問題的一般步驟(1)畫圖：根據(jù)已知條件畫出示意圖．(2)分析三角形：分析與問題有關(guān)的三角形．(3)求解：運用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解．在解題中，要綜合運用立體幾何知識與平面幾何知識，注意方程思想的運用．跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，從山頂望地面上C，D兩點，測得它們的俯角分別為45°和30°，已知CD＝100m，點C位于BD上，則山高AB等于()A．100m B．50eq\r(3)mC．50eq\r(2)m D．50(eq\r(3)＋1)m題型三求航向的角度例3某漁輪在航行中不幸遇險，發(fā)出呼救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁輪在方位角為45°，距離為10nmile的C處，并測得漁輪正沿方位角為105°的方向，以9nmile/h的速度向某小島靠攏，我海軍艦艇立即以21nmile/h的速度前去營救，求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時間．eq\x(狀元隨筆)本題中所涉及的路程在不斷變化，但艦艇和漁輪相遇時所用時間相等，先設(shè)出所用時間t，找出等量關(guān)系，然后解三角形．方法歸納(1)測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解．(2)在解三角形問題中，求某些角的度數(shù)時，最好用余弦定理求角．因為余弦函數(shù)在(0，π)上是單調(diào)遞減的，而正弦函數(shù)在(0，π)上不是單調(diào)函數(shù)，一個正弦值可以對應(yīng)兩個角．但角在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上時，用正、余弦定理皆可．跟蹤訓(xùn)練3甲船在A處觀察到乙船在它的北偏東60°方向的B處，兩船相距a海里，乙船正向北行駛，若甲船的速度是乙船速度的eq\r(3)倍，問甲船應(yīng)沿什么方向前進(jìn)才能在最短時間內(nèi)追上乙船？此時乙船行駛了多少海里？題型四求解速度問題eq\x(狀元隨筆)1.某物流投遞員沿一條大路前進(jìn)，從A到B，方位角是50°，距離是4km，從B到C，方位角是80°，距離是8km，從C到D，方位角是150°，距離是6km，試畫出示意圖．[提示]如圖所示：2．在探究1中，若投遞員想在半小時之內(nèi)，沿小路直接從A點到C，則此人的速度至少是多少？[提示]如探究1圖，在△ABC中，∠ABC＝50°＋(180°－80°)＝150°，由余弦定理得AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BC·cos150°)＝eq\r(80＋32\r(3))，則此人的最小速度為v＝eq\f(\r(80＋32\r(3)),\f(1,2))＝8eq\r(5＋2\r(3))(km/h)．3．在探究1中若投遞員以24km/h的速度勻速沿大路從A到D前進(jìn)，10分鐘后某人以16eq\r(7)km/h的速度沿小路直接由A到C追投遞員，問在C點此人能否與投遞員相遇？[提示]投遞員到達(dá)C點的時間為t1＝eq\f(4＋8,24)＝eq\f(1,2)(小時)＝30(分鐘)，追投遞員的人所用時間由探究2可知t2＝eq\f(8\r(5＋2\r(3)),16\r(7))≈0.55小時＝33分鐘；由于30<33＋10，所以此人在C點不能與投遞員相遇．例4如圖所示，一輛汽車從O點出發(fā)沿一條直線公路以50公里/小時的速度勻速行駛(圖中的箭頭方向為汽車行駛方向)，汽車開動的同時，在距汽車出發(fā)點O點的距離為5公里、距離公路線的垂直距離為3公里的M點的地方有一個人騎摩托車出發(fā)想把一件東西送給汽車司機．問騎摩托車的人至少以多大的速度勻速行駛才能實現(xiàn)他的愿望，此時他駕駛摩托車行駛了多少公里？方法歸納解決實際問題應(yīng)注意的問題(1)首先明確題中所給各個角的含義，然后分析題意，分析已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵最主要的一步．(2)將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，要正確使用正、余弦定理解決問題．跟蹤訓(xùn)練4一艘船上午9：30在A處測得燈塔S在它的北偏東30°的方向上，且與它相距8eq\r(2)海里，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處，此時測得燈塔S在它的北偏東75°的方向，則此船的航行速度為()A．8(eq\r(6)＋eq\r(2))海里/時 B．8(eq\r(6)－eq\r(2))海里/時C．16(eq\r(6)＋eq\r(2))海里/時 D．16(eq\r(6)－eq\r(2))海里/時教材反思1．利用正弦定理、余弦定理可以解決一個可以到達(dá)的點與另一個不可以到達(dá)的點之間的距離問題(一般利用正弦定理，解一個三角形即可)，還可以解決兩個不可到達(dá)的點之間的距離問題．解決此類問題，先利用測量工具測出所構(gòu)造的三角形的有關(guān)的邊和角，再通過解三角形求相應(yīng)距離．2．利用正弦定理、余弦定理可以解決底(頂)部不能到達(dá)的物體的高度問題或者是航海航天中的角度問題．解決此類問題的策略是先把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，再通過解一個直角三角形和一個斜三角形或兩個直角三角形使問題得解．9．2正弦定理與余弦定理的應(yīng)用新知初探·自主學(xué)習(xí)知識點二順時針0°～360°知識點三90°正南向西[基礎(chǔ)自測]1．解析：由圖知α＝β.答案：B2．解析：在△ABC中，因為AC＝BC＝a，∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，由余弦定理可得AB2＝a2＋a2－2a×a×cos120°＝3a2，所以AB＝eq\r(3)a，故選B.答案：B3．解析：甲樓的高為：20tan60°＝20×eq\r(3)＝20eq\r(3)(m)；乙樓的高為：20eq\r(3)－20tan30°＝20eq\r(3)－20×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(40\r(3),3)(m)．答案：20eq\r(3)eq\f(40,3)eq\r(3)4．解析：如圖所示，∠ABC＝30°，又AB＝2eq\r(3)，BC＝2，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BCcos∠ABC＝12＋4－2×2eq\r(3)×2×eq\f(\r(3),2)＝4，AC＝2，所以A，C兩地的距離為2km.答案：2課堂探究·素養(yǎng)提升例1【解】如圖所示，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝eq\r(3)km.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.∴BC＝eq\f(\r(3)sin75°,sin60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝(eq\r(3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))2－2×eq\r(3)×eq\f(\r(6)＋\r(2),2)×cos75°＝3＋2＋eq\r(3)－eq\r(3)＝5，∴AB＝eq\r(5)(km)，∴A，B之間的距離為eq\r(5)km.跟蹤訓(xùn)練1解：在△ABC中，AC＝100，∠BAC＝45°，∠BCA＝60°，則∠B＝180°－(∠BAC＋∠BCA)＝75°，由正弦定理，得BC＝AC×eq\f(sin∠BAC,sinB)＝eq\f(100sin45°,sin75°)＝100(eq\r(3)－1)．即B，C兩點間的距離為100(eq\r(3)－1)m.跟蹤訓(xùn)練2解析：設(shè)山高為h，則由題意知CB＝h，DB＝eq\r(3)h，所以eq\r(3)h－h(huán)＝100，即h＝50(eq\r(3)＋1)．答案：D例3【解】如圖所示，根據(jù)題意可知AC＝10，∠ACB＝120°，設(shè)艦艇靠近漁輪所需的時間為th，并在B處與漁輪相遇，則AB＝21t，BC＝9t，在△ABC中，根據(jù)余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°，所以212t2＝102＋81t2＋2×10×9t×eq\f(1,2)，即360t2－90t－100＝0，解得t＝eq\f(2,3)或t＝－eq\f(5,12)(舍去)．所以艦艇靠近漁輪所需的時間為eq\f(2,3)h.此時AB＝14，BC＝6.在△ABC中，根據(jù)正弦定理得eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AB,sin120°)，所以sin∠CAB＝eq\f(6×\f(\r(3),2),14)＝eq\f(3\r(3),14)，即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2°(舍去)．即艦艇航行的方位角為45°＋21.8°＝66.8°.所以艦艇以66.8°的方位角航行，需eq\f(2,3)h才能靠近漁輪．跟蹤訓(xùn)練3解：設(shè)甲船沿直線AC與乙船同時到達(dá)C點，則A，B，C三點構(gòu)成△ABC，如圖．設(shè)乙船速度為v海里/時，則甲船速度為eq\r(3)v海里/時，用時為th.由題意得BC＝vt，AC＝eq\r(3)vt，∠ABC＝120°.∴3v2t2＝a2＋v2t2＋avt，∴2v2t2－avt－a2＝0，解得vt＝－eq\f(a,2)(舍去)或vt＝a，∴BC＝a海里．在△ABC中，AB＝BC＝a海里，∴∠BAC＝∠ACB＝30°.故甲船應(yīng)沿北偏東30°的方向前進(jìn)才能在最短時間內(nèi)追上乙船，此時乙船行駛了a海里．例4【解】根據(jù)已知圖形構(gòu)造三角形，利用余弦定理建立速度與時間的函數(shù)求解．作MI垂直公路所在直線于點I，則MI＝3，∵OM＝5，∴OI＝4，∴cos∠MOI＝eq\f(4,5).設(shè)騎摩托車的人的速度為v公里/小時，追上汽車的時間為t小時，由余弦定理得(vt)2＝52＋(50t)2－2×5×50t×eq\f(4,5)，即v2＝eq\f(25,t2)－eq\f(400,t)＋2500＝25eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)－8))2＋900≥900，∴當(dāng)t＝eq\f(1,8)時，v取得最小值為30，∴其行駛距離為vt＝eq\f(30,8)＝eq\f(15,4)(公里)．故騎摩