概率與數(shù)理統(tǒng)計

概率與數(shù)理統(tǒng)計第1頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)隨機(jī)變量的分布雖然全面完整地反映了隨機(jī)變量的概率性質(zhì)，但有時卻不夠集中突出地反映隨機(jī)變量的某些特征。需要引進(jìn)一些數(shù)量來表示平均值和衡量偏離程度。研究隨機(jī)變量的數(shù)字特征的必要性隨機(jī)變量的數(shù)字特征(2)在許多實際問題中，隨機(jī)變量的分布并不容易求出。(3)在許多實際問題中，完全、確切地掌握隨機(jī)變量的分布并不必要，而只需知道它的某些特征就夠了。例：在測量某零件的長度時，由于種種偶然因素的影響，測量到的零件的長度是一個隨機(jī)變量，一般我們關(guān)心的是測量的平均長度以及測量結(jié)果的精確程度—測量的長度與平均值的偏離程度。表示平均值和衡量偏離程度的量雖然不能完整地描述隨機(jī)變量，但它能夠描述隨機(jī)變量的某些重要特征，我們把其稱為隨機(jī)變量的數(shù)字特征。第2頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月解：直接比較，難知兩射手技術(shù)的優(yōu)劣。故只能也只需找出更能集中、突出地描述兩射手技術(shù)水平的數(shù)字特征。讓我們先來研究概率論中刻劃平均值的數(shù)字特征。例：甲乙兩人各射擊1000次，其命中環(huán)數(shù)的次數(shù)為隨機(jī)變量，記為X1,

X2。射擊情況如表1所示。試問甲乙二人誰的水平較高？表1

X1525200501007550

X240020024515500環(huán)數(shù)x

i1098765不難計算出兩射手命中目標(biāo)的“平均環(huán)數(shù)”分別為從平均環(huán)數(shù)看，甲比乙水平高一點。頻率以頻率為權(quán)數(shù)的加權(quán)平均值第3頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月不難看出，由于頻率的隨機(jī)性，如果讓甲乙二人再各射擊1000次

同樣計算，結(jié)果一般不會相同。若令fi

表示頻率，則上述二式可表示為由概率的統(tǒng)計定義知道，在大量試驗下頻率fi概率pi

穩(wěn)定于從而穩(wěn)定于表2P(X1=x

i)0.5260.20.050.10.0740.05環(huán)數(shù)x

i1098765P(X2=x

i)0.3980.20.2450.15700

若甲、乙的命中環(huán)數(shù)X1,

X2的分布列如表2所示，概率以概率為權(quán)數(shù)的加權(quán)平均值數(shù)學(xué)期望則

第4頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)數(shù)學(xué)期望（均值）離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望就是其取值的加權(quán)平均值，權(quán)為概率。一離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率函數(shù)為

P

(X=x

i

)=pii=1,2,…若級數(shù)絕對收斂，則稱為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望簡稱期望或均值。記作EX

，即EX=如果級數(shù)不絕對收斂，則稱隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望不存在

對要求絕對收斂的說明：離散型隨機(jī)變量的取值是可依某種次序一一列舉的，對同一個隨機(jī)變量，它的取值的列舉次序可以有所不同，當(dāng)改變列舉次序時它的數(shù)學(xué)期望是不應(yīng)該改變的，這就意味著級數(shù)的求和次序可以改變而其和要保持不變，要達(dá)到這一點，必須有絕對收斂。注意

數(shù)學(xué)期望的直觀含義：平均值

第5頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月例：一批產(chǎn)品中有一、二、三等、四等品、廢品5種,相應(yīng)的概率分別為0.7、0.1、0.1、0.06、0.04，若其產(chǎn)值分別為6元、5.4元、5元、4元、0元。產(chǎn)值X是一個隨機(jī)變量，其分布如表3求：產(chǎn)品的平均產(chǎn)值。例：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率函數(shù)為解：EX=60.7+5.40.1+50.1+40.06+00.04=5.48(元)解：0.040.060.10.10.7P0455.46X表3求：EX

第6頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月記為設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X

的概率密度為，若積分絕對收斂，則稱積分為X的數(shù)學(xué)期望。例：計算在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布的隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望解：依題意二連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望結(jié)論：在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布的隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望

是區(qū)間中點第7頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月例：設(shè)隨機(jī)變量X

服從參數(shù)為

的指數(shù)分布，求X的數(shù)學(xué)期望則解：指數(shù)分布的密度函數(shù)為這表明指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望為。例：設(shè)

X的密度函數(shù)為求

X

的數(shù)學(xué)期望。解：第8頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)隨機(jī)變量

X服從柯西(Cauchy)分布，其密度函數(shù)為例：第9頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3.1：設(shè)Y

=g(X)，g(x)

是連續(xù)函數(shù)，那么(2)若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為

f(x)，(1)若X為離散型隨機(jī)變量，其概率函數(shù)為求EY

時，可以不求Y=g(X)

的分布，而直接利用X

的分布。三隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望第10頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月

解：例：設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為求：EX2，E(2X-1)。P

1/81/43/81/4X

-1023例：求：EY

解：第11頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3.2若(X,Y)是二維隨機(jī)變量，Z=g(X

,Y

)(1)若(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布為(2)若(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,y)且第12頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月解：設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度為例：求：

EXY設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率分布為例：求：

E(X+Y)XY

1

2

1

2

3

0.1

0.30.150.2

00.25

解：(1+1)x0.1+(1+2)x0.2+(1+3)x0+(2+1)x0.3+(2+2)x0.15+(2+3)x0.25=3.55第13頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)1：常量的期望就是這個常量本身,即E(c)=c.證：常量c可看作僅取一個值c的隨機(jī)變量，且取值c的概率為1，即X

的分布為P(X=c)=1，這種分布稱為退化分布，其數(shù)學(xué)期望為E(c)=c

1=c推論：E(EX)=EX性質(zhì)2：隨機(jī)變量X與常量c之和的數(shù)學(xué)期望等于X的期望與這個常量c的和E(X+c)=EX+c證：設(shè)X的分布為pk（離散型）；密度函數(shù)為f(x)（連續(xù)型），則

四數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)第14頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)3：常量c與隨機(jī)變量X的乘積的期望等于c與X的期望的乘積，E(cX

)=cEX

證：設(shè)X的分布為pk（離散型）；密度函數(shù)為f(x)（連續(xù)型）則性質(zhì)4：隨機(jī)變量的線性函數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于這個隨機(jī)變量期望

的同一線性函數(shù)，即E(kX

+c)=kEX+c證：

E(kX

+c)=E(kX)+c=kEX

+c第15頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)5：兩個隨機(jī)變量之和（差）的數(shù)學(xué)期望等于這兩個隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的和（差）

E(X

Y)=EX

EY推論：對任意常數(shù)ci(i=1,2,…,n)、常數(shù)b及隨機(jī)變量X

i(i=1,2,…,n)特別地，n個隨機(jī)變量的算術(shù)平均數(shù)仍是一個隨機(jī)變量，其期望值等于這n個隨機(jī)變量期望的算術(shù)平均數(shù)。第16頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)6：兩個相互獨立隨機(jī)變量乘積的數(shù)學(xué)期望等于它們數(shù)學(xué)期望的乘積,即E(XY)=EX?EY證：離散型：設(shè)(X

,Y)的聯(lián)合分布為pij

，邊緣分布為pi(1)

和pj(2)

連續(xù)型：設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,y)，邊緣密度函數(shù)分別為fX(x)和fY(y)，則第17頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月解：

EX=90.3+100.5+110.2=9.9EY

2

=620.4+720.6=43.8

例：兩相互獨立的隨機(jī)變量X,Y

的分布如下面兩表所示。0.20.50.3P11109X0.60.4P76Y求：E(X+Y

)、E(XY

)和EY2且因X與Y

相互獨立，所以E(XY)=EXE

Y=9.96.6=65.34則E(X+Y)=EX+EY=9.9+6.6=16.5EY

=60.4+70.6=6.6設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率分布為例：求：

E(X+Y)XY

1

2

1

2

3

0.1

0.30.150.2

00.25

解：

0.250.350.4P321Y

0.70.3P21X

EX

=10.3+20.7=1.7

EY

=10.4+20.35+30.25=1.85

E(X+Y)=EX+EY=1.7+1.85=3.55第18頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月五條件數(shù)學(xué)期望

定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量X,Y的聯(lián)合概率函數(shù)為

P

(X=x

i,

Y=yj)=piji,j=1,2,…,在Y=yj條件下X的條件概率函數(shù)為P

(X=x

i|

Y=yj)i=1,2,…若級數(shù)絕對收斂，則稱為隨機(jī)變量X的條件數(shù)學(xué)期望定義：設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量X,Y，在Y=y條件下X的條件密度函數(shù)為f

(x