旋轉(zhuǎn)柔性梁動(dòng)態(tài)特性的影響分析

旋轉(zhuǎn)柔性梁動(dòng)態(tài)特性的影響分析

1旋轉(zhuǎn)柔性梁的動(dòng)力學(xué)分析方法在旋轉(zhuǎn)柔性梁的動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)中，基于傳統(tǒng)傳統(tǒng)剛性假設(shè)的設(shè)計(jì)方法無法正確預(yù)測振動(dòng)性能，因此需要計(jì)算縱向變形與旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)之間的耦合容量。旋轉(zhuǎn)柔性梁的應(yīng)力剛化與彈性變形的耦合,使系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性更加復(fù)雜,呈現(xiàn)了明顯的非線性。文獻(xiàn)[1]采用哈密頓原理推導(dǎo)了旋轉(zhuǎn)梁的非線性縱向和彎曲耦合方程,運(yùn)用Galerkin方法和多尺度法求得了方程的一階解析解。文獻(xiàn)[2]利用數(shù)值迭代方法求解非線性方程,分析了柔性梁在旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)和彈性變形耦合狀態(tài)下的振動(dòng)特性。文獻(xiàn)[3]基于Kane式建立了旋轉(zhuǎn)梁一般形式的有限元?jiǎng)恿W(xué)方程,利用梁截面參數(shù)導(dǎo)出了旋轉(zhuǎn)梁的顯式三維梁單元矩陣,最后計(jì)算了旋轉(zhuǎn)梁的固有頻率并與常規(guī)計(jì)算進(jìn)行了比較。除此之外,很多學(xué)者對旋轉(zhuǎn)柔性梁的動(dòng)態(tài)特性展開研究,做出了顯著貢獻(xiàn)在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中,商用軟件梁單元模型(如ANSYS,NASTRAN等)無法同時(shí)設(shè)置應(yīng)力剛化及旋轉(zhuǎn)軟化效應(yīng),不能用來分析旋轉(zhuǎn)柔性梁的動(dòng)態(tài)特性,必須采用實(shí)體單元模型進(jìn)行分析本文采用非線性應(yīng)變位移關(guān)系表達(dá)式,通過變分公式推導(dǎo)出簡化的梁單元模型;并編制有限元程序并分析了柔性梁的動(dòng)力學(xué)特性。2基本原則2.1u梁應(yīng)力張量的u3000方程根據(jù)文獻(xiàn)[6]建立旋轉(zhuǎn)柔性梁的模型,見圖1。在圖示平面(x-z平面),梁繞著過端點(diǎn)且垂直該平面的y軸轉(zhuǎn)動(dòng),轉(zhuǎn)動(dòng)角ψ(弧度);u梁上給定點(diǎn)在變形前后的位置矢量X、X分別為式中:0≤x≤L,-h/2≤z≤h/2;φ=v′;L為梁的長度;h為梁的高度;位置列矢量為總位移矢量為應(yīng)變張量為設(shè)定軸向位移u梁的勢能為式中A、I分別為梁橫截面的面積、慣性矩。按旋轉(zhuǎn)柔性梁在圖示平面內(nèi)的縱向位移u和橫向位移v,將動(dòng)能T表示為式中根據(jù)哈密頓原理,有可得轉(zhuǎn)動(dòng)梁的非線性運(yùn)動(dòng)方程為式中表明了慣性力、離心力、旋轉(zhuǎn)軟化、加速度、橫向位移、彎曲剛度等作用效應(yīng)。在推導(dǎo)有限元運(yùn)動(dòng)方程的過程中,對上式簡化得運(yùn)動(dòng)方程為在有限元模型中,忽略式中對振動(dòng)模態(tài)影響較小的陀螺耦合項(xiàng)2.2旋轉(zhuǎn)力學(xué)性能由桿及梁單元形函數(shù)、勢能及動(dòng)能,根據(jù)哈密頓原理,可導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)梁有限元運(yùn)動(dòng)方程為梁單元軸向、橫向?qū)ΨQ剛度矩陣K梁單元科氏力矩陣C梁單元反對稱加速度剛度矩陣K梁單元旋轉(zhuǎn)離心力剛度矩陣K旋轉(zhuǎn)軟化矩陣K由式(17)可見,隨著旋轉(zhuǎn)速度增大,旋轉(zhuǎn)軟化矩陣呈現(xiàn)非線性特性。參考文獻(xiàn)[17-19],可得M式中:M3旋轉(zhuǎn)軟化效應(yīng)某懸臂梁長1m,寬0.1m,高0.05m(見圖2)。材料參數(shù)見表1。試按兩種情況分析梁的彎曲振動(dòng)特性:(1)梁在x-y平面繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng);(2)梁在z-x平面繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)。采用有限元梁單元模型,將繞中性軸z軸﹑y軸的截面慣性參數(shù)分別代入式(12),在Matlab平臺(tái)上進(jìn)行數(shù)值模擬。為便于比較梁在發(fā)生旋轉(zhuǎn)軟化效應(yīng)時(shí)的彎曲振動(dòng)特性,計(jì)算分兩步:(1)僅設(shè)置應(yīng)力剛化效應(yīng)計(jì)算彎振特性;(2)同時(shí)設(shè)置應(yīng)力剛化及旋轉(zhuǎn)軟化效應(yīng)計(jì)算彎振特性(最終結(jié)果)。參考圖2所示坐標(biāo)系,通過數(shù)值模擬得到梁在x-y平面內(nèi)繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的Campbell圖,見圖3。圖3中僅列出梁的前四階彎曲振動(dòng)模態(tài),其中第一階﹑第三階為梁在z-x平面內(nèi)的彎振模態(tài),第二階﹑第四階為x-y平面內(nèi)的彎振模態(tài)。從圖3可以看出:旋轉(zhuǎn)軟化效應(yīng)對梁振動(dòng)模態(tài)的影響與其旋轉(zhuǎn)平面方位有關(guān)。當(dāng)梁在x-y平面繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),在旋轉(zhuǎn)軟化效應(yīng)作用下,位于x-y平面的彎振頻率(圖中第二階及第四階擺振)隨轉(zhuǎn)速增大而下降(相對于僅設(shè)置應(yīng)力剛化效應(yīng))。從圖中可以看出:僅設(shè)置應(yīng)力剛化效應(yīng)與同時(shí)設(shè)置應(yīng)力剛化及旋轉(zhuǎn)軟化效應(yīng)得到同一階彎振曲線,隨轉(zhuǎn)速增大而分開(見圖中“分開”);x-y平面內(nèi)第一階(圖中第二階)頻率曲線下降幅度大于第二階(圖中第四階)頻率曲線的下降幅度,表明旋轉(zhuǎn)軟化效應(yīng)對低價(jià)模態(tài)頻率的影響較大;而位于z-x平面的第一階、第二階(圖中第一階、第三階)頻率曲線沒有分開,圖中用“重合”表示,可見:僅設(shè)置應(yīng)力剛化效應(yīng)與同時(shí)設(shè)置應(yīng)力剛化及旋轉(zhuǎn)軟化效應(yīng)得到的頻率曲線隨轉(zhuǎn)速增大保持重合,這表明旋轉(zhuǎn)軟化效應(yīng)對其振動(dòng)模態(tài)沒有影響。梁在x-y平面繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng),則位于z-x平面內(nèi)的彎曲振動(dòng)模態(tài)不受旋轉(zhuǎn)軟化效應(yīng)的影響。為了驗(yàn)證采用梁單元模型所得計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性,將本文梁單元模型與Ansys10.0實(shí)體單元模型計(jì)算結(jié)果作了比較。計(jì)算中,同時(shí)設(shè)置應(yīng)力剛化及旋轉(zhuǎn)軟化效應(yīng),并設(shè)定梁在x-y平面繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)。圖4計(jì)算結(jié)果表明:梁單元模型與實(shí)體單元模型計(jì)算結(jié)果誤差不大于5%,驗(yàn)證了本文梁單元模型求解技術(shù)的準(zhǔn)確性。為進(jìn)一步表明旋轉(zhuǎn)軟化效應(yīng)與梁旋轉(zhuǎn)平面的方位有關(guān),經(jīng)計(jì)算得到梁在z-x平面繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的Campbell圖(見圖5)。從圖5可以看出:梁在z-x平面繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),受旋轉(zhuǎn)軟化效應(yīng)的影響,在z-x平面的頻率曲線隨轉(zhuǎn)速增大而相對下降;該平面第一階(圖中第一階)頻率曲線的下降幅度大于第二階(圖中第三階)頻率曲線的下降幅度;而位于x-y平面的第一階、第二階(圖中的第二階、第四階)頻率曲線不受旋轉(zhuǎn)軟化效應(yīng)的影響,這進(jìn)一步表明旋轉(zhuǎn)軟化的作用效應(yīng)與其旋轉(zhuǎn)平面的方位有關(guān)。受旋轉(zhuǎn)軟化效應(yīng)影響,梁在旋轉(zhuǎn)平面的彎曲振動(dòng)頻率隨轉(zhuǎn)速增大而相應(yīng)降低,呈現(xiàn)非線性特性(式(17)),結(jié)果見表2。由表2可知:第一階﹑第三階彎曲振動(dòng)模態(tài)位于z-x平面內(nèi);第二階﹑第四階彎曲振動(dòng)模態(tài)位于x-y平面內(nèi)。表中的應(yīng)力剛化表示僅設(shè)置應(yīng)力剛化效應(yīng)求得的結(jié)果。僅設(shè)置應(yīng)力剛化效應(yīng)時(shí),在同樣轉(zhuǎn)速下,不論梁繞z軸旋轉(zhuǎn)還是繞y軸旋轉(zhuǎn),求得的四階模態(tài)頻率都相等。表中的旋轉(zhuǎn)軟化表示同時(shí)設(shè)置應(yīng)力剛化及旋轉(zhuǎn)軟化效應(yīng)求得的結(jié)果。梁繞z軸旋轉(zhuǎn)時(shí),旋轉(zhuǎn)軟化效應(yīng)僅降低了x-y面內(nèi)的彎振頻率;梁繞y軸旋轉(zhuǎn)時(shí),旋轉(zhuǎn)軟化效應(yīng)也僅降低了z-x面的彎振頻率。表2中結(jié)果表明了旋轉(zhuǎn)柔性梁動(dòng)態(tài)特性的復(fù)雜性。分析航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片及直升機(jī)旋翼等結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性時(shí),應(yīng)當(dāng)重視旋轉(zhuǎn)軟化效應(yīng)對其不同振動(dòng)模態(tài)的影響。利用式(12)同時(shí)設(shè)置應(yīng)力剛化及旋轉(zhuǎn)軟化效應(yīng),采用Lanczos方法并結(jié)合QR方法從表3可見,Coriolis效應(yīng)﹑加速度效應(yīng)對旋轉(zhuǎn)柔性梁振動(dòng)頻率的影響可忽略不計(jì)。利用式(12),分別研究了采用兩種質(zhì)量矩陣情況下對二階振動(dòng)頻率的影響:(1)僅設(shè)置平動(dòng)慣性質(zhì)量矩陣;(2)同時(shí)設(shè)置平動(dòng)慣性質(zhì)量矩陣及轉(zhuǎn)動(dòng)慣性質(zhì)量矩陣。數(shù)值模擬結(jié)果見表4。表4結(jié)果表明:僅設(shè)置平動(dòng)慣性質(zhì)量矩陣得到的二階振動(dòng)頻率與圖3中結(jié)果相比計(jì)算誤差約為4%;改變質(zhì)量矩陣設(shè)置對其它階振動(dòng)頻率的影響較小(具體結(jié)果略)。4旋轉(zhuǎn)軟化對梁振動(dòng)特性的影響1)建立了旋轉(zhuǎn)柔性梁的非線性動(dòng)態(tài)模型,通過精確的線性振動(dòng)模式描述了彈性變形效應(yīng)。數(shù)值模擬結(jié)果表明:柔性梁的動(dòng)力剛化及旋轉(zhuǎn)軟化效應(yīng)耦合會(huì)影響梁的振動(dòng)特性,對不同的振動(dòng)模態(tài)產(chǎn)生的影響也不同。旋轉(zhuǎn)軟化降低了梁在旋轉(zhuǎn)平面內(nèi)的低階振動(dòng)頻率,且對第一階振動(dòng)頻率的影響最顯著。隨著轉(zhuǎn)動(dòng)速度的增大,旋轉(zhuǎn)