2020年高考真題及答案解析《數(shù)學(xué)理》（全國Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷共3套）

PAGE機(jī)密★啟用前2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國Ⅰ卷）理科數(shù)學(xué)本試卷共5頁，23題(含選考題)。全卷滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘?！镒？荚図樌镒⒁馐马?xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4.選考題的作答：先把所選題目的題號在答題卡上指定的位置用2B鉛筆涂黑。答案寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。5.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若z＝1＋i，則|z2－2z|＝A.0B.1C.D.22.設(shè)集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，則a＝A.－4B.－2C.2D.43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐。以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為A.B.C.D.4.已知為拋物線C：y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p＝A.2B.3C.6D.95.某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位：℃)的關(guān)系，在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，電郵實(shí)驗(yàn)數(shù)(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的散點(diǎn)圖：由此散點(diǎn)圖，在10℃40℃之間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是A.y＝a＋bxB.y＝a＋bx2C.y＝a＋bexD.y＝a＋blnx6.函數(shù)f(x)＝x4－2x3的圖像在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為A.y＝－2x－1B.y＝－2x＋1C.y＝2x－3D.y＝2x＋17.設(shè)函數(shù)f(x)＝cos(ωx＋)在[－π，π]的圖像大致如下圖，則f(x)的最小正周期為A.B.C.D.8.(x＋)(x＋y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為A.5B.10C.15D.209.已知a∈(0，π)，且3cos2α－8cosα＝5，則sinα＝A.B.C.D.10.已知A，B，C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙O1為△ABC的外接圓，若⊙O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO1，則球O的表面積為A.64πB.48πC.36πD.32π1..已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直線l：2x＋y＋2＝0，P為l上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，當(dāng)|PM|·|AB|最小時(shí)，直線AB的方程為A.2x－y－1＝0B.2x＋y－1＝0C.2x－y＋1＝0D.2x＋y＋1＝012.若2a＋log2a＝4b＋2log4b，則A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.若x，y滿足約束條件，則z＝x＋7y的最大值為。14.a，b為單位向量，且|a＋b|＝1，則|a－b|＝。15.已知F為雙曲線C：的右焦點(diǎn)，A為C的右項(xiàng)點(diǎn)，B為C上的點(diǎn)，且BF垂直于x軸。若AB的斜率為3，則C的離心率為。16.如圖，在三棱錐P－ABC的平面展開圖中，AC＝1，AB＝AD＝，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，則cos∠FCB＝。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共60分。17.(12分)設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列，a1為a2，a3的等差中項(xiàng)。(1)求{an}的公比；(2)若a1＝1，求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和。18.(12分)如圖，D為圓錐的項(xiàng)點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE＝AD?！鰽BC是底面的內(nèi)接正三角形，P為DO上一點(diǎn)，PO＝DO。(1)證明：PA⊥平面PBC；(2)求二面角B－PC－E的余弦值。19.(12分)甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空：每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰：當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束。經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空。設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為。(1)求甲連勝四場的概率；(2)求需要進(jìn)行第五場比賽的概率；(3)求丙最終獲勝的概率。20.(12分)已知A，B分別為橢圓E：的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，＝8。P為直線x＝6上的動點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D。(1)求E的方程；(2)證明：直線CD過定點(diǎn)。21.(12分)已知函數(shù)f(x)＝ex＋ax2－x。(1)當(dāng)a＝1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性：(2)當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥x3＋1，求a的取值范圍。(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22.[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程](10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))。以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為4ρcosθ－16ρsinθ＋3＝0。(1)當(dāng)k＝1時(shí)，C1是什么曲線?(2)當(dāng)k＝4時(shí)，求C1與C2的公共點(diǎn)的直角坐標(biāo)。23.[選修4－5：不等式選講](10分)已知函數(shù)f(x)＝|3x＋1|－2|x－1|。(1)畫出y＝f(x)的圖像；(2)求不等式f(x)>f(x＋1)的解集。機(jī)密★啟用前2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國Ⅰ卷）理科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若z=1+i，則|z2–2z|=（）A.0 B.1 C. D.2【答案】D【解析】【分析】由題意首先求得的值，然后計(jì)算其模即可.【詳解】由題意可得：，則.故.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的模的求解等知識，屬于基礎(chǔ)題.2.設(shè)集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，則a=（）A.–4 B.–2 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】由題意首先求得集合A,B，然后結(jié)合交集的結(jié)果得到關(guān)于a的方程，求解方程即可確定實(shí)數(shù)a的值.【詳解】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：.由于，故：，解得：.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查交集的運(yùn)算，不等式的解法等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（）

A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，利用得到關(guān)于的方程，解方程即可得到答案.【詳解】如圖，設(shè)，則，由題意，即，化簡得，解得（負(fù)值舍去）.故選：C.【點(diǎn)晴】本題主要考查正四棱錐的概念及其有關(guān)計(jì)算，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力，是一道容易題.4.已知A為拋物線C:y2=2px（p>0）上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=（）A.2 B.3 C.6 D.9【答案】C【解析】【分析】利用拋物線的定義建立方程即可得到答案.【詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，由拋物線的定義知，即，解得.故選：C.【點(diǎn)晴】本題主要考查利用拋物線的定義計(jì)算焦半徑，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想，是一道容易題.5.某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：°C）的關(guān)系，在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到下面的散點(diǎn)圖：由此散點(diǎn)圖，在10°C至40°C之間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖的分布可選擇合適的函數(shù)模型.【詳解】由散點(diǎn)圖分布可知，散點(diǎn)圖分布在一個(gè)對數(shù)函數(shù)的圖象附近，因此，最適合作為發(fā)芽率和溫度的回歸方程類型的是.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)模型的選擇，主要觀察散點(diǎn)圖的分布，屬于基礎(chǔ)題.6.函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算出和的值，可得出所求切線的點(diǎn)斜式方程，化簡即可.【詳解】，，，，因此，所求切線的方程為，即.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函圖象的切線方程，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題7.設(shè)函數(shù)在的圖像大致如下圖，則f(x)的最小正周期為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由圖可得：函數(shù)圖象過點(diǎn)，即可得到，結(jié)合是函數(shù)圖象與軸負(fù)半軸的第一個(gè)交點(diǎn)即可得到，即可求得，再利用三角函數(shù)周期公式即可得解.【詳解】由圖可得：函數(shù)圖象過點(diǎn)，將它代入函數(shù)可得：又是函數(shù)圖象與軸負(fù)半軸的第一個(gè)交點(diǎn)，所以，解得：所以函數(shù)的最小正周期為故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的性質(zhì)及轉(zhuǎn)化能力，還考查了三角函數(shù)周期公式，屬于中檔題.8.的展開式中x3y3的系數(shù)為（）A.5 B.10C.15 D.20【答案】C【解析】【分析】求得展開式的通項(xiàng)公式為（且），即可求得與展開式的乘積為或形式，對分別賦值為3，1即可求得的系數(shù)，問題得解.【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為（且）所以與展開式的乘積可表示為：或在中，令，可得：，該項(xiàng)中的系數(shù)為，在中，令，可得：，該項(xiàng)中的系數(shù)為所以的系數(shù)為故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理及其展開式的通項(xiàng)公式，還考查了賦值法、轉(zhuǎn)化能力及分析能力，屬于中檔題.9.已知，且，則（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】用二倍角的余弦公式，將已知方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，求解得出，再用同角間的三角函數(shù)關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】，得，即，解得或（舍去），又.

故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換和同角間的三角函數(shù)關(guān)系求值，熟記公式是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.10.已知為球球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知可得等邊的外接圓半徑，進(jìn)而求出其邊長，得出的值，根據(jù)球截面性質(zhì)，求出球的半徑，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)圓半徑為，球的半徑為，依題意，得，由正弦定理可得，，根據(jù)圓截面性質(zhì)平面，，球的表面積.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查球的表面積，應(yīng)用球的截面性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.11.已知⊙M：，直線：，為上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作⊙M的切線，切點(diǎn)為，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可判斷直線與圓相離，根據(jù)圓的知識可知，四點(diǎn)共圓，且，根據(jù)可知，當(dāng)直線時(shí)，最小，求出以為直徑的圓的方程，根據(jù)圓系的知識即可求出直線的方程．【詳解】圓的方程可化為，點(diǎn)到直線的距離為，所以直線與圓相離．依圓的知識可知，四點(diǎn)四點(diǎn)共圓，且，所以，而，當(dāng)直線時(shí)，，，此時(shí)最?。嗉?，由解得，．所以以為直徑的圓的方程為，即，兩圓的方程相減可得：，即為直線的方程．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．12.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，利用作差法結(jié)合的單調(diào)性即可得到答案.【詳解】設(shè)，則為增函數(shù)，因?yàn)樗裕?，所?，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，有當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，有，所以C、D錯誤.故選：B.【點(diǎn)晴】本題主要考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，涉及到構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是一道中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.若x，y滿足約束條件則z=x+7y的最大值為______________.【答案】1【解析】【分析】首先畫出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可求得其最大值.【詳解】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)即：，其中z取得最大值時(shí)，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最大，據(jù)此結(jié)合目標(biāo)函數(shù)幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值，聯(lián)立直線方程：，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為：，據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：.故答案為：1．【點(diǎn)睛】求線性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當(dāng)b＞0時(shí)，直線過可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最大，在y軸截距最小時(shí)，z值最小；當(dāng)b＜0時(shí)，直線過可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最小，在y軸上截距最小時(shí)，z值最大.14.設(shè)為單位向量，且，則______________.【答案】【解析】【分析】整理已知可得：，再利用為單位向量即可求得，對變形可得：，問題得解.【詳解】因?yàn)闉閱挝幌蛄浚运越獾茫核怨蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】本題主要考查了向量模的計(jì)算公式及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.15.已知F為雙曲線的右焦點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn)，B為C上的點(diǎn)，且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3，則C的離心率為______________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可知，，，即可根據(jù)斜率列出等式求解即可．【詳解】依題可得，，而，，即，變形得，化簡可得，，解得或（舍去）．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的離心率的求法，以及雙曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16.如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=______________.

【答案】【解析】【分析】在中，利用余弦定理可求得，可得出，利用勾股定理計(jì)算出、，可得出，然后在中利用余弦定理可求得的值.【詳解】，，，由勾股定理得，同理得，，在中，，，，由余弦定理得，，在中，，，，由余弦定理得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形，考查計(jì)算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知結(jié)合等差中項(xiàng)關(guān)系，建立公比的方程，求解即可得出結(jié)論；（2）由（1）結(jié)合條件得出的通項(xiàng)，根據(jù)的通項(xiàng)公式特征，用錯位相減法，即可求出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)的公比為，為的等差中項(xiàng)，，；（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，，，①，②①②得，，.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量計(jì)算、等差中項(xiàng)的性質(zhì)，以及錯位相減法求和，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.18.如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）要證明平面，只需證明，即可；（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，ON為y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別算出平面的法向量為，平面的法向量為，利用公式計(jì)算即可得到答案.【詳解】（1）由題設(shè)，知為等邊三角形，設(shè)，則，，所以，又為等邊三角形，則，所以，，則，所以，同理，又，所以平面；（2）過O作∥BC交AB于點(diǎn)N，因?yàn)槠矫?，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，ON為y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，令，得，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為由，得，令，得，所以故，設(shè)二面角的大小為，則.【點(diǎn)晴】本題主要考查線面垂直的證明以及利用向量求二面角的大小，考查學(xué)生空間想象能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.19.甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為，（1）求甲連勝四場的概率；（2）求需要進(jìn)行第五場比賽的概率；（3）求丙最終獲勝的概率.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法公式可求得事件“甲連勝四場”的概率；（2）計(jì)算出四局以內(nèi)結(jié)束比賽的概率，然后利用對立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（3）列舉出甲贏的基本事件，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算出甲贏的概率，由對稱性可知乙贏的概率和甲贏的概率相等，再利用對立事件的概率可求得丙贏的概率.【詳解】（1）記事件甲連勝四場，則；（2）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，則四局內(nèi)結(jié)束比賽的概率為，所以，需要進(jìn)行第五場比賽的概率為；（3）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，記事件甲贏，記事件丙贏，則甲贏的基本事件包括：、、、、、、、，所以，甲贏的概率為.由對稱性可知，乙贏的概率和甲贏的概率相等，所以丙贏的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件概率的計(jì)算，解答的關(guān)鍵就是列舉出符合條件的基本事件，考查計(jì)算能力，屬于中等題.20.已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，，P為直線x=6上的動點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明詳見解析.【解析】【分析】（1）由已知可得：，，，即可求得，結(jié)合已知即可求得：，問題得解.（2）設(shè)，可得直線的方程為：，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，即可表示出直線的方程，整理直線的方程可得：，命題得證.【詳解】（1）依據(jù)題意作出如下圖象：由橢圓方程可得：，，，，橢圓方程為：（2）證明：設(shè)，則直線的方程為：，即：聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得：，整理得：，解得：或?qū)⒋胫本€可得：所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.同理可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為直線的方程為：，整理可得：整理得：故直線過定點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)及方程思想，還考查了計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化思想、推理論證能力，屬于難題.21.已知函數(shù).（1）當(dāng)a=1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.（2）【解析】【分析】(1)由題意首先對函數(shù)二次求導(dǎo)，然后確定導(dǎo)函數(shù)的符號，最后確定原函數(shù)的單調(diào)性即可.(2)首先討論x=0的情況，然后分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究構(gòu)造所得的函數(shù)的最大值即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，，由于，故單調(diào)遞增，注意到，故：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.(2)由得，，其中，①.當(dāng)x=0時(shí)，不等式為：，顯然成立，符合題意；②.當(dāng)時(shí)，分離參數(shù)a得，，記，，令，則，，故單調(diào)遞增，，故函數(shù)單調(diào)遞增，，由可得：恒成立，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；因此，,綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點(diǎn)，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）當(dāng)時(shí)，是什么曲線？（2）當(dāng)時(shí)，求與的公共點(diǎn)的直角坐標(biāo)．【答案】（1）曲線表示以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓；（2）.【解析】【分析】（1）利用消去參數(shù)，求出曲線的普通方程，即可得出結(jié)論；（2）當(dāng)時(shí)，，曲線的參數(shù)方程化為為參數(shù)），兩式相加消去參數(shù)，得普通方程，由，將曲線化為直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立方程，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），兩式平方相加得，所以曲線表示以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓；（2）當(dāng)時(shí)，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），所以，曲線的參數(shù)方程化為為參數(shù)），兩式相加得曲線方程為，得，平方得，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線直角坐標(biāo)方程為，聯(lián)立方程，整理得，解得或（舍去），，公共點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程互化，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化，合理消元是解題的關(guān)系，要注意曲線坐標(biāo)的范圍，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.[選修4—5：不等式選講]23.已知函數(shù)．（1）畫出的圖像；（2）求不等式的解集．【答案】（1）詳解解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)分段討論法，即可寫出函數(shù)的解析式，作出圖象；（2）作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象即可解出．【詳解】（1）因?yàn)?，作出圖象，如圖所示：（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，可得函數(shù)的圖象，如圖所示：由，解得．所以不等式的解集為．【點(diǎn)睛】本題主要考查畫分段函數(shù)的圖象，以及利用圖象解不等式，意在考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，屬于基礎(chǔ)題．

機(jī)密★啟用前2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國Ⅱ卷）理科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、座位號填寫在答題卡上.本試卷滿分150分.2.作答時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合U={?2，?1，0，1，2，3}，A={?1，0，1}，B={1，2}，則（）A.{?2，3} B.{?2，2，3} C.{?2，?1，0，3} D.{?2，?1，0，2，3}2.若α為第四象限角，則（）A.cos2α>0 B.cos2α<0 C.sin2α>0 D.sin2α<03.在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（）A.10名 B.18名 C.24名 D.32名4.北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）A.3699塊 B.3474塊 C.3402塊 D.3339塊5.若過點(diǎn)（2，1）圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為（）A. B. C. D.6.數(shù)列中，，，若，則（）A.2 B.3 C.4 D.57.如圖是一個(gè)多面體的三視圖，這個(gè)多面體某條棱的一個(gè)端點(diǎn)在正視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為，在俯視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為，則該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為（）A. B. C. D.8.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，若的面積為8，則的焦距的最小值為（）A.4 B.8 C.16 D.329.設(shè)函數(shù)，則f(x)（）A.是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B.是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C.偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D.是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減10.已知△ABC是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為（）A. B. C.1 D.11.若，則（）A. B. C. D.12.0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列滿足，且存在正整數(shù)，使得成立，則稱其為0-1周期序列，并稱滿足的最小正整數(shù)為這個(gè)序列的周期.對于周期為的0-1序列，是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的0-1序列中，滿足的序列是（）A. B. C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知單位向量a，b的夾角為45°，ka–b與a垂直，則k=__________.14.4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有__________種.15.設(shè)復(fù)數(shù)，滿足，，則=__________16.設(shè)有下列四個(gè)命題：p1：兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi).p2：過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面.p3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.p4：若直線l平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l.則下述命題中所有真命題的序號是__________.①②③④三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC.（1）求A；（2）若BC=3，求周長的最大值.18.某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動物的數(shù)量，并計(jì)算得，，，，.（1）求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計(jì)值（這種野生動物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；（2）求樣本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由.附：相關(guān)系數(shù)r=，=1414.19.已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合.過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點(diǎn)，交C2于C，D兩點(diǎn)，且|CD|=|AB|.（1）求C1的離心率；（2）設(shè)M是C1與C2的公共點(diǎn)，若|MF|=5，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.20.如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)，過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；（2）設(shè)O為△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.21.已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x.（1）討論f(x)在區(qū)間(0，π)的單調(diào)性；（2）證明：；（3）設(shè)n∈N*，證明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.并用2B鉛筆將所選題號涂黑，多涂、錯涂、漏涂均不給分.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.已知曲線C1，C2參數(shù)方程分別為C1：（θ為參數(shù)），C2：（t為參數(shù)）.（1）將C1，C2的參數(shù)方程化為普通方程；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.設(shè)C1，C2的交點(diǎn)為P，求圓心在極軸上，且經(jīng)過極點(diǎn)和P的圓的極坐標(biāo)方程.[選修4—5：不等式選講]23.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若，求a的取值范圍.機(jī)密★啟用前2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國Ⅱ卷）理科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、座位號填寫在答題卡上.本試卷滿分150分.2.作答時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合U={?2，?1，0，1，2，3}，A={?1，0，1}，B={1，2}，則（）A.{?2，3} B.{?2，2，3} C.{?2，?1，0，3} D.{?2，?1，0，2，3}【答案】A【解析】【分析】首先進(jìn)行并集運(yùn)算，然后計(jì)算補(bǔ)集即可.【詳解】由題意可得：，則.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查并集、補(bǔ)集的定義與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2.若α為第四象限角，則（）A.cos2α>0 B.cos2α<0 C.sin2α>0 D.sin2α<0【答案】D【解析】【分析】由題意結(jié)合二倍角公式確定所給的選項(xiàng)是否正確即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)B錯誤；當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)A錯誤；由在第四象限可得：，則，選項(xiàng)C錯誤，選項(xiàng)D正確；故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的符號，二倍角公式，特殊角的三角函數(shù)值等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.3.在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（）A.10名 B.18名 C.24名 D.32名【答案】B【解析】【分析】算出第二天訂單數(shù)，除以志愿者每天能完成的訂單配貨數(shù)即可.【詳解】由題意，第二天新增訂單數(shù)為，故需要志愿者名.故選：B【點(diǎn)晴】本題主要考查函數(shù)模型的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4.北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）A.3699塊 B.3474塊 C.3402塊 D.3339塊【答案】C【解析】【分析】第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，設(shè)為的前n項(xiàng)和，由題意可得，解方程即可得到n，進(jìn)一步得到.【詳解】設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，，設(shè)為的前n項(xiàng)和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為，因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊，所以，即即，解得，所以.故選：C【點(diǎn)晴】本題主要考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的計(jì)算問題，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.5.若過點(diǎn)（2，1）的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可知圓心在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，可得圓的半徑為，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點(diǎn)在圓上，求得實(shí)數(shù)的值，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離.【詳解】由于圓上的點(diǎn)在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合乎題意，所以圓心必第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標(biāo)為或，圓心到直線距離均為；所以，圓心到直線的距離為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查圓心到直線距離的計(jì)算，求出圓的方程是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.6.數(shù)列中，，，若，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】分析】取，可得出數(shù)列是等比數(shù)列，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列求和公式可得出關(guān)于的等式，由可求得的值.【詳解】在等式中，令，可得，，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則，，，則，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用等比數(shù)列求和求參數(shù)的值，解答的關(guān)鍵就是求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查計(jì)算能力，屬于中等題.7.如圖是一個(gè)多面體的三視圖，這個(gè)多面體某條棱的一個(gè)端點(diǎn)在正視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為，在俯視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為，則該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三視圖，畫出多面體立體圖形，即可求得點(diǎn)在側(cè)視圖中對應(yīng)的點(diǎn).【詳解】根據(jù)三視圖，畫出多面體立體圖形，圖中標(biāo)出了根據(jù)三視圖點(diǎn)所在位置，可知在側(cè)視圖中所對應(yīng)的點(diǎn)為故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖判斷點(diǎn)的位置，解題關(guān)鍵是掌握三視圖的基礎(chǔ)知識和根據(jù)三視圖能還原立體圖形的方法，考查了分析能力和空間想象，屬于基礎(chǔ)題.8.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，若的面積為8，則的焦距的最小值為（）A.4 B.8 C.16 D.32【答案】B【解析】【分析】因?yàn)?，可得雙曲線的漸近線方程是，與直線聯(lián)立方程求得，兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得，根據(jù)的面積為，可得值，根據(jù)，結(jié)合均值不等式，即可求得答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程是直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)不妨設(shè)為在第一象限，在第四象限聯(lián)立，解得故聯(lián)立，解得故面積為：雙曲線其焦距為當(dāng)且僅當(dāng)取等號的焦距的最小值：故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問題，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值時(shí)，要檢驗(yàn)等號是否成立，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.9.設(shè)函數(shù)，則f(x)（）A.是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B.是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C.是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D.是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減【答案】D【解析】【分析】根據(jù)奇偶性的定義可判斷出為奇函數(shù)，排除AC；當(dāng)時(shí)，利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可判斷出單調(diào)遞增，排除B；當(dāng)時(shí)，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷出單調(diào)遞減，從而得到結(jié)果.【詳解】由得定義域?yàn)?，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，又，為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，排除B；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷；判斷奇偶性的方法是在定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的前提下，根據(jù)與的關(guān)系得到結(jié)論；判斷單調(diào)性的關(guān)鍵是能夠根據(jù)自變量的范圍化簡函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)“同增異減”性得到結(jié)論.10.已知△ABC是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)球的表面積和的面積可求得球的半徑和外接圓半徑，由球的性質(zhì)可知所求距離.【詳解】設(shè)球的半徑為，則，解得：.設(shè)外接圓半徑為，邊長為，是面積為的等邊三角形，，解得：，，球心到平面的距離.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查球的相關(guān)問題的求解，涉及到球的表面積公式和三角形面積公式的應(yīng)用；解題關(guān)鍵是明確球的性質(zhì)，即球心和三角形外接圓圓心的連線必垂直于三角形所在平面.11.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將不等式變?yōu)椋鶕?jù)的單調(diào)性知，以此去判斷各個(gè)選項(xiàng)中真數(shù)與的大小關(guān)系，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】由得：，令，為上的增函數(shù)，為上的減函數(shù)，為上的增函數(shù)，，，，，則A正確，B錯誤；與的大小不確定，故CD無法確定.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)式的大小的判斷問題，解題關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造函數(shù)的方式，利用函數(shù)的單調(diào)性得到的大小關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.12.0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列滿足，且存在正整數(shù)，使得成立，則稱其為0-1周期序列，并稱滿足的最小正整數(shù)為這個(gè)序列的周期.對于周期為的0-1序列，是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的0-1序列中，滿足的序列是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】由知，序列的周期為m，由已知，，對于選項(xiàng)A，，不滿足；對于選項(xiàng)B，，不滿足；對于選項(xiàng)D，，不滿足；故選：C【點(diǎn)晴】本題考查數(shù)列的新定義問題，涉及到周期數(shù)列，考查學(xué)生對新定義的理解能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知單位向量a，b的夾角為45°，ka–b與a垂直，則k=__________.【答案】【解析】【分析】首先求得向量的數(shù)量積，然后結(jié)合向量垂直的充分必要條件即可求得實(shí)數(shù)k的值.【詳解】由題意可得：，由向量垂直的充分必要條件可得：，即：，解得：.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積定義與運(yùn)算法則，向量垂直的充分必要條件等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.14.4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有__________種.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，采用捆綁法，先取2名同學(xué)看作一組，現(xiàn)在可看成是3組同學(xué)分配到3個(gè)小區(qū)，即可求得答案.【詳解】4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)先取2名同學(xué)看作一組，選法有：現(xiàn)在可看成是3組同學(xué)分配到3個(gè)小區(qū)，分法有：根據(jù)分步乘法原理，可得不同的安排方法種故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了計(jì)數(shù)原理的實(shí)際應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握分步乘法原理和捆綁法的使用，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.15.設(shè)復(fù)數(shù)，滿足，，則=__________.【答案】【解析】【分析】令，，根據(jù)復(fù)數(shù)的相等可求得，代入復(fù)數(shù)模長的公式中即可得到結(jié)果.【詳解】，可設(shè)，，，，兩式平方作和得：，化簡得：故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模長的求解，涉及到復(fù)數(shù)相等的應(yīng)用；關(guān)鍵是能夠采用假設(shè)的方式，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的運(yùn)算問題.16.設(shè)有下列四個(gè)命題：p1：兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi).p2：過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面.p3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.p4：若直線l平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l.則下述命題中所有真命題的序號是__________.①②③④【答案】①③④【解析】【分析】利用兩交線直線確定一個(gè)平面可判斷命題的真假；利用三點(diǎn)共線可判斷命題的真假；利用異面直線可判斷命題的真假，利用線面垂直的定義可判斷命題的真假.再利用復(fù)合命題的真假可得出結(jié)論.【詳解】對于命題，可設(shè)與相交，這兩條直線確定的平面為；若與相交，則交點(diǎn)在平面內(nèi)，同理，與的交點(diǎn)也在平面內(nèi)，所以，，即，命題為真命題；對于命題，若三點(diǎn)共線，則過這三個(gè)點(diǎn)的平面有無數(shù)個(gè)，命題為假命題；對于命題，空間中兩條直線相交、平行或異面，命題為假命題；對于命題，若直線平面，則垂直于平面內(nèi)所有直線，直線平面，直線直線，命題為真命題.綜上可知，為真命題，為假命題，為真命題，為真命題.故答案為：①③④.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合命題的真假，同時(shí)也考查了空間中線面關(guān)系有關(guān)命題真假的判斷，考查推理能力，屬于中等題.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC.（1）求A；（2）若BC=3，求周長的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化邊，配湊出的形式，進(jìn)而求得；（2）利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】（1）由正弦定理可得：，，，.（2）由余弦定理得：，即.（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），，解得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），周長，周長的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查解三角形的相關(guān)知識，涉及到正弦定理角化邊的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用、三角形周長最大值的求解問題；求解周長最大值的關(guān)鍵是能夠在余弦定理構(gòu)造的等式中，結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求得最值.18.某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動物的數(shù)量，并計(jì)算得，，，，.（1）求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計(jì)值（這種野生動物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；（2）求樣本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由.附：相關(guān)系數(shù)r=，=1.414.【答案】（1）；（2）；（3）詳見解析【解析】【分析】（1）利用野生動物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)野生動物平均數(shù)乘以地塊數(shù)，代入數(shù)據(jù)即可；（2）利用公式計(jì)算即可；（3）各地塊間植物覆蓋面積差異較大，為提高樣本數(shù)據(jù)的代表性，應(yīng)采用分層抽樣.【詳解】（1）樣區(qū)野生動物平均數(shù)為，地塊數(shù)為200，該地區(qū)這種野生動物的估計(jì)值為（2）樣本的相關(guān)系數(shù)為（3）由于各地塊間植物覆蓋面積差異較大，為提高樣本數(shù)據(jù)的代表性，應(yīng)采用分層抽樣先將植物覆蓋面積按優(yōu)中差分成三層，在各層內(nèi)按比例抽取樣本，在每層內(nèi)用簡單隨機(jī)抽樣法抽取樣本即可.【點(diǎn)晴】本題主要考查平均數(shù)的估計(jì)值、相關(guān)系數(shù)的計(jì)算以及抽樣方法的選取，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.19.已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合.過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點(diǎn)，交C2于C，D兩點(diǎn)，且|CD|=|AB|.（1）求C1的離心率；（2）設(shè)M是C1與C2的公共點(diǎn)，若|MF|=5，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）求出、，利用可得出關(guān)于、的齊次等式，可解得橢圓的離心率的值；（2）由（1）可得出的方程為，聯(lián)立曲線與的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用拋物線的定義結(jié)合可求得的值，進(jìn)而可得出與的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】（1），軸且與橢圓相交于、兩點(diǎn)，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，則，拋物線的方程為，聯(lián)立，解得，，，即，，即，即，，解得，因此，橢圓的離心率為；（2）由（1）知，，橢圓的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，解得或（舍去），由拋物線的定義可得，解得.因此，曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的求解，同時(shí)也考查了利用拋物線的定義求拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查計(jì)算能力，屬于中等題.20.如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)，過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；（2）設(shè)O為△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由分別為，的中點(diǎn)，，根據(jù)條件可得，可證，要證平面平面，只需證明平面即可；（2）連接，先求證四邊形是平行四邊形，根據(jù)幾何關(guān)系求得，在截取，由（1）平面，可得為與平面所成角，即可求得答案.【詳解】（1）分別為，的中點(diǎn)，又在中，為中點(diǎn)，則又側(cè)面為矩形，由，平面平面又，且平面，平面，平面又平面，且平面平面又平面平面平面平面平面（2）連接平面，平面平面根據(jù)三棱柱上下底面平行，其面平面，面平面故：四邊形是平行四邊形設(shè)邊長是()可得：，為的中心，且邊長為故：解得：在截取，故且四邊形是平行四邊形，由（1）平面故為與平面所成角在，根據(jù)勾股定理可得：直線與平面所成角的正弦值：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了證明線線平行和面面垂直，及其線面角，解題關(guān)鍵是掌握面面垂直轉(zhuǎn)為求證線面垂直的證法和線面角的定義，考查了分析能力和空間想象能力，屬于難題.21.已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x.（1）討論f(x)在區(qū)間(0，π)的單調(diào)性；（2）證明：；（3）設(shè)n∈N*，證明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)確定其在各個(gè)區(qū)間上的符號，最后確定原函數(shù)的單調(diào)性即可；(2)首先確定函數(shù)的周期性，然后結(jié)合(1)中的結(jié)論確定函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的最大值和最小值即可證得題中的不等式；(3)對所給的不等式左側(cè)進(jìn)行恒等變形可得，然后結(jié)合(2)的結(jié)論和三角函數(shù)的有界性進(jìn)行放縮即可證得題中的不等式.【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，則：，在上的根為：，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.(2)注意到，故函數(shù)是周期為的函數(shù)，結(jié)合(1)的結(jié)論，計(jì)算可得：，，，據(jù)此可得：，，即.(3)結(jié)合(2)的結(jié)論有：.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點(diǎn)，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.并用2B鉛筆將所選題號涂黑，多涂、錯涂、漏涂均不給分.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.已知曲線C1，C2的參數(shù)方程分別為C1：（θ為參數(shù)），C2：（t為參數(shù)）.（1）將C1，C2的參數(shù)方程化為普通方程；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.設(shè)C1，C2的交點(diǎn)為P，求圓心在極軸上，且經(jīng)過極點(diǎn)和P的圓的極坐標(biāo)方程.【答案】（1）；；（2）.【解析】【分析】（1）分別消去參數(shù)和即可得到所求普通方程；（2）兩方程聯(lián)立求得點(diǎn)，求得所求圓的直角坐標(biāo)方程后，根據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化即可得到所求極坐標(biāo)方程.【詳解】（1）由得的普通方程為：；由得：，兩式作差可得的普通方程為：.（2）由得：，即；設(shè)所求圓圓心的直角坐標(biāo)為，其中，則，解得：，所求圓的半徑，所求圓的直角坐標(biāo)方程為：，即，所求圓的極坐標(biāo)方程為.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用問題，涉及到參數(shù)方程化普通方程、直角坐標(biāo)方程化極坐標(biāo)方程等知識，屬于?？碱}型.[選修4—5：不等式選講]23.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若，求a的取值范圍.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）分別在、和三種情況下解不等式求得結(jié)果；（2）利用絕對值三角不等式可得到，由此構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，，無解；當(dāng)時(shí)，，解得：；綜上所述：的解集為或.（2）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），，解得：或，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查絕對值不等式的求解、利用絕對值三角不等式求解最值的問題，屬于常考題型.

機(jī)密★啟用前2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國Ⅲ卷）理科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為A.2B.3C.4D.62.復(fù)數(shù)的虛部是A.－B.－C.D.3.在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為p1，p2，p3，p4，且，則下面四種情形中，對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是A.p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4B.p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1C.p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3D.p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.24.Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域，有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)。當(dāng)I(t*)＝0.95K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則t*約為(ln19≈3)A.60B.63C.66D.695.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x＝2與拋物線C：y2＝2px(p>0)交于D，E兩點(diǎn)，若OD⊥OE，則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為A.(，0)B.(，0)C.(1，0)D.(2，0)6.已知向量a，b滿足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，則cos<a，a＋b>＝A.－B.－C.D.7.在△ABC中，cosC＝，AC＝4，BC＝3，則cosB＝A.B.C.D.8.右圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是A.6＋4B.4＋4C.6＋2D.4＋29.已知2tanθ－tan(θ＋)＝7，則tanθ＝A.－2B.－1C.1D.210.若直線l與曲線y＝和圓x2＋y2＝都相切，則l的方程為A.y＝2x＋1B.y＝2x＋C.y＝x＋1D.y＝x＋11.設(shè)雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為。P是C上一點(diǎn)，且F1P⊥F2P。若△PF1F2的面積為4，則a＝A.1B.2C.4D.812.已知55<84，134<85。設(shè)a＝log53，b＝log85，c＝log138，則A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.著x，y滿足約束條件，則z＝3x＋2y的最大值為。14.(x2＋)6的展開式中常數(shù)項(xiàng)是。(用數(shù)字作答)。15.已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為。16.關(guān)于函數(shù)f(x)＝sinx＋有如下四個(gè)命題：①f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱。②f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱。③f(x)的圖像關(guān)于直線x＝對稱。④f(x)的最小值為2。其中所有真命題的序號是。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共60分。17.(12分)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝3an－4n。(1)計(jì)算a2，a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明；(2)求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn。18.(12分)某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表(單位：天)：(1)分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2，3，4的概率；(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)；(3)若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”。根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)?附：。19.(12分)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1。(1)證明：點(diǎn)C1在平面AEF內(nèi)；(2)若AB＝2，AD＝1，AA1＝3，求二面角A－EF－A1的正弦值。20.(12分)已知橢圓C：的離心率為，A，B分別為C的左、右頂點(diǎn)。(1)求C的方程；(2)若點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q在直線x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面積。21.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋bx＋c，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(，f())處的切線與y軸垂直。(1)求b：(2)若f(x)有一個(gè)絕對值不大于1的零點(diǎn)，證明：f(x)所有零點(diǎn)的絕對值都不大于1。(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22.[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程](10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)且t≠1)，C與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)。(1)求|AB|；(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求直線AB的極坐標(biāo)方程。23.[選修4－5：不等式選講](10分)設(shè)a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1。(1)證明：ab＋bc＋ca<0；(2)用max{a，b，c}表示a，b，c的最大值，證明：max{a，b，c}≥。機(jī)密★啟用前2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國Ⅲ卷）理科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】采用列舉法列舉出中元素的即可.【詳解】由題意，中的元素滿足，且，由，得，所以滿足的有，故中元素的個(gè)數(shù)為4.故選：C.【點(diǎn)晴】本題主要考查集合的交集運(yùn)算，考查學(xué)生對交集定義的理解，是一道容易題.2.復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出z即可.【詳解】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)的虛部為.故選：D.【點(diǎn)晴】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，涉及到復(fù)數(shù)的虛部的定義，是一道基礎(chǔ)題.3.在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為，且，則下面四種情形中，對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】計(jì)算出四個(gè)選項(xiàng)中對應(yīng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差，由此可得出標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組.【詳解】對于A選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對于B選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對于C選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對于D選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為.因此，B選項(xiàng)這一組的標(biāo)準(zhǔn)差最大.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查標(biāo)準(zhǔn)差的大小比較，考查方差公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4.Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)城．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I()=0.95K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為（）（ln19≈3）A.60 B.63 C.66 D.69【答案】C【解析】【分析】將代入函數(shù)結(jié)合求得即可得解.【詳解】，所以，則，所以，，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)的運(yùn)算，考查指數(shù)與對數(shù)的互化，考查計(jì)算能力，屬于中等題.5.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=2與拋物線C：y2=2px(p>0)交于D，E兩點(diǎn)，若OD⊥OE，則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.（，0） B.（，0） C.（1，0） D.（2，0）【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合拋物線的對稱性，可知，從而可以確定出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入方程求得的值，進(jìn)而求得其焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€與拋物線交于兩點(diǎn)，且，根據(jù)拋物線的對稱性可以確定，所以，代入拋物線方程，求得，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)圓錐曲線的問題，涉及到的知識點(diǎn)有直線與拋物線的交點(diǎn)，拋物線的對稱性，點(diǎn)在拋物線上的條件，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，屬于簡單題目.6.已知向量a，b滿足，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】計(jì)算出、的值，利用平面向量數(shù)量積可計(jì)算出的值.【詳解】，，，.，因此，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量夾角余弦值的計(jì)算，同時(shí)也考查了平面向量數(shù)量積的計(jì)算以及向量模的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.7.在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則cosB=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合余弦定理求得，再根據(jù)，即可求得答案.【詳解】在中，，，根據(jù)余弦定理：可得，即由故.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8.下圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）A.6+4 B.4+4 C.6+2 D.4+2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形，求出每個(gè)面的面積，即可求得其表面積.【詳解】根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形根據(jù)立體圖形可得：根據(jù)勾股定理可得：是邊長為的等邊三角形根據(jù)三角形面積公式可得：該幾何體的表面積是：.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖求立體圖形的表面積問題，解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)三視圖畫出立體圖形，考查了分析能力和空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.9.已知2tanθ–tan(θ+)=7，則tanθ=（）A.–2 B.–1 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】利用兩角和的正切公式，結(jié)合換元法，解一元二次方程，即可得出答案.【詳解】，，令，則，整理得，解得，即.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用兩角和的正切公式化簡求值，屬于中檔題.10.若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（）A.y=2x+1 B.y=2x+ C.y=x+1 D.y=x+【答案】D【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)出直線的方程，再由直線與圓相切的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】設(shè)直線在曲線上的切點(diǎn)為，則，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則直線的斜率，設(shè)直線的方程為，即，由于直線與圓相切，則，兩邊平方并整理得，解得，（舍），則直線的方程為，即.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及直線與圓的位置的應(yīng)用，屬于中檔題.11.設(shè)雙曲線C：（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為．P是C上一點(diǎn)，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面積為4，則a=（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義，三角形面積公式，勾股定理，結(jié)合離心率公式，即可得出答案.【詳解】，，根據(jù)雙曲線的定義可得，，即，，，，即，解得，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)以及定義的應(yīng)用，涉及了勾股定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.12.已知55<84，134<85．設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則（）A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b【答案】A【解析】【分析】由題意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小關(guān)系，由，得，結(jié)合可得出，由，得，結(jié)合，可得出，綜合可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】由題意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得.綜上所述，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)式大小比較，涉及基本不等式、對數(shù)式與指數(shù)式的互化以及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查推理能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若x，y滿足約束條件，則z=3x+2y的最大值為_________．【答案】7【解析】【分析】作出可行域，利用截距的幾何意義解決.【詳解】不等式組所表示的可行域如圖因?yàn)椋?，易知截距越大，則越大，平移直線，當(dāng)經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)截距最大，此時(shí)z最大，由，得，，所以故答案為：7.【點(diǎn)晴】本題主要考查簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用，涉及到求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，是一道容易題.14.的展開式中常數(shù)項(xiàng)是__________（用數(shù)字作答）．【答案】【解析】【分析】寫出二項(xiàng)式展開通項(xiàng)，即可求得常數(shù)項(xiàng).【詳解】其二項(xiàng)式展開通項(xiàng)：當(dāng)，解得的展開式中常數(shù)項(xiàng)是：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，利用通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng)，解題關(guān)鍵是掌握的展開通項(xiàng)公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15.已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_________．【答案】【解析】【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為求解圓錐內(nèi)切球的問題，然后結(jié)合截面確定其半徑即可確定體積的值.【詳解】易知半徑最大球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時(shí)的軸截面如圖所示，其中，且點(diǎn)M為BC邊上的中點(diǎn)，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，由于，故，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則：，解得：，其體積：.故答案為：.【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.16.關(guān)于函數(shù)f（x）=有如下四個(gè)命題：①f（x）的圖像關(guān)于y軸對稱．②f（x）的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱．③f（x）的圖像關(guān)于直線x=對稱．④f（x）的最小值為2．其中所有真命題的序號是__________．【答案】②③【解析】【分析】利用特殊值法可判斷命題①的正誤；利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷命題②的正誤；利用對稱性的定義可判斷命題③的正誤；取可判斷命題④的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】對于命題①，，，則，所以，函數(shù)的圖象不關(guān)于軸對稱，命題①錯誤；對于命題②，函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，命題②正確；對于命題③，，，則，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，命題③正確；對于命題④，當(dāng)時(shí)，，則，命題④錯誤.故答案為：②③.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的奇偶性、對稱性以及最值的求解，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，．（1）計(jì)算a2，a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn．【答案】（1），，，證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用遞推公式得出，猜想得出的通項(xiàng)公式，利