數(shù)學(xué)例題與探究：離散型隨機(jī)變量的均值與方差

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講【例1】拋擲一枚硬幣，規(guī)定正面向上得1分，反面向上得—1分,則得分X的均值與方差分別為(）A.EX=0,DX=1B。EX=,DX=C。EX=0,DX=D。EX=，DX=1思路解析：要計(jì)算隨機(jī)變量的均值和方差，應(yīng)先列出其分布列。拋擲一枚硬幣，規(guī)定正面向上得1分,反面向上得-1分，則得分X的分布列為X1—1P0。50.5所以EX=1×0.5+（—1)×0.5=0，DX=（1—0)2×0。5+（-1-0)2×0.5=1.故選A.答案：A綠色通道：求離散型隨機(jī)變量的均值或方差，列分布列是關(guān)鍵.黑色陷阱：列分布列關(guān)鍵在于清楚隨機(jī)試驗(yàn)中每一個(gè)可能出現(xiàn)的結(jié)果，同時(shí)要能正確求出每一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的概率.變式訓(xùn)練拋擲一枚硬幣，規(guī)定正面向上得1分,反面向上得—1分，則得分X的標(biāo)準(zhǔn)差σX=___________，E（5X+1）=___________,D(3X+4）=___________。思路解析：在例1的基礎(chǔ)上，利用σX==1，E（5X+1)=5EX+1=1，D（3X+4）=9DX=9。答案:119【例2】設(shè)有甲、乙兩門火炮，它們的彈著點(diǎn)與目標(biāo)之間的距離為隨機(jī)變量X1和X2（單位:cm），其分布列為0。20.20。20。20。2X28286。59092。594P0。20。20.20.20.2求EX1,EX2,DX1,DX2,并分析兩門火炮的優(yōu)劣.思路分析:當(dāng)EX1=EX2時(shí)，要通過DX1，DX2來比較兩門火炮的優(yōu)劣.解：根據(jù)題意，有EX1=82×0。2+83×0。2+90×0.2+92×0。2+98×0.2=89，EX2=（82+86.5+90+92。5+94)×0.2=89，DX1=(82—89）2×0。2+（83—89)2×0。2+(90—89）2×0。2+(92-89）2×0。2+(98—89)2×0。2=35。2,DX2=（82-89)2×0.2+（86.5-89）2×0。2+（90-89)2×0。2+(92。5-89)2×0.2+(94-89)2×0。2=18。5,∵EX1=EX2，故兩門火炮的平均性能相當(dāng).但DX1>DX2，故乙火炮相對(duì)性能較穩(wěn)定，則甲火炮相對(duì)分布較分散，性能不夠穩(wěn)定.綠色通道：在實(shí)際問題中僅靠離散型隨機(jī)變量的均值還不能完善地說明隨機(jī)變量的分布特征，有時(shí)還要研究其偏離均值的平均程度即方差。黑色陷阱：不能以為兩個(gè)隨機(jī)變量的均值相同了，就認(rèn)為兩者的優(yōu)劣性相同，應(yīng)該比較兩者的方差.變式訓(xùn)練設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布列如下表，試求EX，DX.X-101P1—2qq2解：根據(jù)分布列的性質(zhì)可得+1-2q+q2=1，解得q=,∴EX=-1×+0×(2-1）+1×(）=1-，DX=(—2+）2×+(-1+）2×（—1)+（)2×（)=-1.問題探究問題:有了離散型隨機(jī)變量的分布列，就能明確隨機(jī)變量的取值規(guī)律,為何還要研究離散型隨機(jī)變量的期望和方差？這在現(xiàn)實(shí)生活中有什么作用？導(dǎo)思：離散型隨機(jī)變量的期望或均值反映了離散型隨機(jī)變量的平均水平,而離散型隨機(jī)變量的方差則反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度，反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度。探究：離散型隨機(jī)變量的期望與方差都是隨機(jī)變量的重要特征數(shù)，是對(duì)于隨機(jī)變量的一種簡明的描寫，雖然隨機(jī)變量的分布列決定了隨機(jī)變量的取值規(guī)律，但是研究隨機(jī)變量的期望與方差有其必要性。因?yàn)殡S機(jī)變量的分布列往往不能明顯而集中地表現(xiàn)隨機(jī)變量的某些特點(diǎn)，如隨機(jī)變量取值的平均水平、集中