波動光學(xué)方法

波動光學(xué)方法第1頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月分析思路第2頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月分離變量電矢量與磁矢量分離:可得到只與電場強(qiáng)度E(x,y,z,t)有關(guān)的方程式及只與磁場強(qiáng)度H(x,y,z,t)有關(guān)的方程式；時、空坐標(biāo)分離:亥姆霍茲方程，是關(guān)于E(x,y,z)和H(x,y,z)的方程式；空間坐標(biāo)縱、橫分離：波導(dǎo)場方程，是關(guān)于E(x,y)和H(x,y)的方程式；邊界條件：在兩種介質(zhì)交界面上電磁場矢量的E(x,y)和H(x,y)切向分量要連續(xù)。第3頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月用縱向場表示橫向場第4頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月波導(dǎo)場方程波導(dǎo)場方程：

波動光學(xué)方法的最基本方程。它是一個典型的本征方程。當(dāng)給定波導(dǎo)的邊界條件時，求解波導(dǎo)場方程可得本征解及相應(yīng)的本征值。通常將本征解定義為“模式”。第5頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月模式的基本特征每一個模式對應(yīng)于沿光波導(dǎo)軸向傳播的一種電磁波；每一個模式對應(yīng)于某一本征值并滿足全部邊界條件；模式具有確定的相速群速和橫場分布。模式是波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的固有電磁共振屬性的表征。給定的波導(dǎo)中能夠存在的模式及其性質(zhì)是已確定了的，外界激勵源只能激勵起光波導(dǎo)中允許存在的模式而不會改變模式的固有性質(zhì)。第6頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)表達(dá)式：物理意義：光波導(dǎo)中所有模式（導(dǎo)模、漏摸、輻射摸）相互正交，模式獨(dú)立載運(yùn)光能量，光波場總功率等于各個模式攜帶功率的迭加；光波導(dǎo)實(shí)際場分布可以表示為各個模式本征函數(shù)的迭加。模式正交歸一性第7頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月模式命名根據(jù)場的縱向分量Ez和Hz的存在與否，可將模式命名為：

(1)橫電磁模(TEM)：Ez＝0，Hz＝0；

(2)橫電模(TE)： Ez＝0，Hz≠0；

(3)橫磁模(TM)： Ez≠0，Hz＝0；

(4)混雜模(HE或EH)：Ez≠0，Hz≠0。第8頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月平面光波導(dǎo)中的場分布Ey,Hx,HzHy,Ex,Ez波導(dǎo)場方程：場分量：TE模式:

TM模式:n1n3n2d折射率：覆蓋層、芯區(qū)、襯底分別為：第9頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月場分布特點(diǎn)禁區(qū)：b>n1k0導(dǎo)模：n1k0>b>n3k0c21>0，傳播場c22,c23<0，消逝場襯底輻射模：n3k0>b>n2k0

c22<0，消逝場；c23,c21>0，傳播場輻射模：n2k0>b>0 c21，c22，c23>0，傳播場第10頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月歸一化工作參數(shù)芯區(qū)：襯底：覆蓋層：歸一化頻率：第11頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月導(dǎo)模(TE)本征解覆蓋層：x>0 Ey=Aexp(-W2x/d)芯區(qū)：-d<x<0 Ey=Acos(Ux/d)+Bsin(Ux/d)襯底：x<-d Ey=(AcosU-BsinU)exp[(W3(x+d)/d]縱向：Hz=(j/wm0)(dEy/dx)第12頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月對稱平板波導(dǎo)的本征值方程邊界條件：TE模式:Ey,Hz在上下界面連續(xù)；TM模式:Hy,Ez在上下界面連續(xù)。TE模的本征值方程：場分布奇對稱：場分布偶對稱：對稱平板波導(dǎo)：n2=n3。第13頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月模式分析平板波導(dǎo)的特征方程都是超越方程，一般只能用數(shù)值方法求解。對稱波導(dǎo)的特征方程可以用圖解法求得近似解。關(guān)系式：U2+W2=V2第14頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月條形光波導(dǎo)第15頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月由波導(dǎo)場方程求取Ez由縱橫關(guān)系式求取橫向場分量由邊界條件獲得本征值方程由本征值方程求取本征值場求解思路第16頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月各區(qū)域本征值第17頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月本征值方程Exmn模式Eymn模式第18頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月模式場分布Exmn模：Ex(x,y)=E1sin(xmp/2a)sin(ynp/2d)Ex11模：Ex(x,y)=E1sin(xp/2a)sin(yp/2d)Ex21模：Ex(x,y)=E1sin(xp/a)sin(yp/2d)Ex12模：Ex(x,y)=E1sin(xp/2a)sin(yp/d)Ex22模：Ex(x,y)=E1sin(xp/a)sin(yp/d) (0<x<2a;0<y<2d)m代表x方向亮斑數(shù)目；n代表y方向亮斑數(shù)目第19頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第20頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月光纖中模式的初步分析當(dāng)采用波動理論來分析光波在光纖中的傳輸時，須求解波導(dǎo)場方程。其方法是首先求出縱向場分量Ez和Hz，然后利用縱橫關(guān)系式求出場的橫向分量。在園柱坐標(biāo)系中，Ez和Hz滿足的波導(dǎo)場方程為：第21頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月分離變量代入波導(dǎo)場方程得到：第22頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月模式分類判據(jù)當(dāng)G2(r)＞0時為正弦函數(shù)形式，對應(yīng)于“駐波場”或“傳播場”；當(dāng)G2(r)＜0時為衰減指數(shù)形式,對應(yīng)于“衰減場”或“消逝場”。在傳播場與消逝場的交界處,有G2(r)＝0。第23頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月導(dǎo)模第24頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月輻射模第25頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月漏模第26頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月兩種方法的比較導(dǎo)模： 約束光線漏模： 隧道光線輻射模： 折射光線TE/TM模： 子午光線HE/EH模： 傾斜光線第27頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月階躍折射率光纖中的場解數(shù)學(xué)模型圓柱坐標(biāo)系中的波導(dǎo)場方程邊界條件本征解與本征值方程本征值與模式分析第28頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型：階躍折射率分布光纖是一種理想的數(shù)學(xué)模型，即認(rèn)為光纖是一種無限大直圓柱系統(tǒng)，芯區(qū)半徑a，折射率為n1；包層沿徑向無限延伸，折射率為n2。光纖材料為線性、無損、各向同性的電介質(zhì)。第29頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月波導(dǎo)場方程與解的基本形式六個場分量：Er，Eφ，Ez，Hr，Hφ，Hz。

但并不是相互獨(dú)立的，橫向分量由兩個縱向分量唯一確定。波導(dǎo)場方程：解的基本形式：第30頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月貝塞爾方程及其解縱向場分量滿足：貝塞爾方程貝塞爾方程的解：第一類和第二類貝塞爾函數(shù)：Jn，Nn。第一類和第二類漢克爾函數(shù)：Hn(1)，Hn(2)。第一類和第二類變態(tài)漢克爾函數(shù)：In，Kn。第31頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月場解的選取依據(jù)：導(dǎo)模場分布特點(diǎn)：在空間各點(diǎn)均為有限值；在芯區(qū)為振蕩形式，而在包層則為衰減形式；導(dǎo)模場在無限遠(yuǎn)處趨于零。貝塞爾函數(shù)形式：Jn呈振蕩形式，Kn則為衰減形式。本征解選取：在纖芯中選取貝賽爾函數(shù)Jn，在包層中選取變態(tài)漢克爾函數(shù)Kn。第32頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第33頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第34頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第35頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第36頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月本征解的確定纖芯(0<r<a)：包層(r>a)：橫向分量由縱向分量確定。第37頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月本征值方程的導(dǎo)出邊界條件：在r=a,Ez,Hz,Ef,Hf

連續(xù)EIz|a=EIIz|a: AJn(U)-CKn(W)=0HIz|a=HIIz|a: BJn(U)-DKn(W)=0EIf|a=EIIf|a: HIf|a=HIIf|a: 確定待定系數(shù)ABCD有非全零解：ABCD系數(shù)行列式為零，即可導(dǎo)出本征值方程。第38頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月本征值方程又稱特征方程，或色散方程。其中U與W通過其定義式與β相聯(lián)系,因此它實(shí)際是關(guān)于β的一個超越方程。當(dāng)n1、n2、a和λ0給定時,對于不同的n值,可求得相應(yīng)的β值。由于貝塞爾函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)具有周期振蕩性質(zhì),所以本征值方程可以有多個不同的解βnm(n=0,1,2,3...m=1,2,3...),每一個βnm都對應(yīng)于一個導(dǎo)模。第39頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月歸一化工作參數(shù)歸一化工作頻率：歸一化橫向傳播常數(shù)： 歸一化橫向衰減常數(shù)： 有效折射率： 歸一化工作參數(shù)：第40頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月貝塞爾函數(shù)遞推公式(I)微分公式：遞推公式：大宗量近似：小宗量近似：第41頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月貝塞爾函數(shù)遞推公式(II)微分公式：遞推公式：大宗量近似：小宗量近似：第42頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月模式分類的物理意義偏振特性:TE模與TM模是偏振方向相互正交的線偏振波;HE模與EH模則是橢圓偏振波,其中HE模偏振旋轉(zhuǎn)方向與波行進(jìn)方向一致(符合右手定則),EH模偏振旋轉(zhuǎn)方向則與光波行進(jìn)方向相反；場強(qiáng)關(guān)系: EH模電場占優(yōu)勢,而HE模磁場占優(yōu)勢;(Ez,Hz)<<(Et,Ht),模式近似為橫場分布；相位關(guān)系: EH模的Hz分量超前于Ez90°,HE模的Hz分量落后于Ez90°。第43頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月色散曲線色散曲線結(jié)構(gòu)參數(shù)給定的光纖中,模式分布是固定的?？筛鶕?jù)本征值方程式利用數(shù)值計算得到各導(dǎo)模傳播常數(shù)β與光纖歸一化頻率V值的關(guān)系曲線,稱之為色散曲線。因此,本征值方程又叫色散方程。色散曲線分析圖中每一條曲線都相應(yīng)于一個導(dǎo)模。平行于縱軸的豎線與色散曲線的交點(diǎn)數(shù)就是光纖中允許存在的導(dǎo)模數(shù)。由交點(diǎn)縱坐標(biāo)可求出相應(yīng)導(dǎo)模的傳播常數(shù)β。給定V值,V=Vc,則Vc越大導(dǎo)模數(shù)越多;反之亦然。當(dāng)Vc＜2.405時,在光纖中只存在HE11模,其它導(dǎo)模均截止,為單模傳輸;第44頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第45頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月模式數(shù)目給定V值，階躍折射率光纖中的導(dǎo)模數(shù)目近似等于V2/2,所含精確模式可根據(jù)導(dǎo)模截止與遠(yuǎn)離截止條件確定。V模式導(dǎo)?？倲?shù)0--2.4052.405--3.8323.832--5.1365.136--5.5205.520--6.380..HE11HE21,TE01,TM01HE12,HE31,EH11HE41,EH21HE22,TE02,TM02..22+4=66+6=1212+4=1616+4=20..第46頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月單模工作條件單模條件:單模光纖尺寸:單模光纖截止波長:單模光纖截止頻率:僅當(dāng)波長大于截止波長時方可在光纖中實(shí)現(xiàn)單模傳輸。這時，在光纖中傳輸?shù)氖荋E11模，稱為基模或主模。緊鄰HE11模的高階模是TE01、TM01模和HE21模，其截止值均為2.405。第47頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月模式本征值模式的截止與遠(yuǎn)離截止:

臨近截止:W=0,場在包層中不衰減遠(yuǎn)離截止:W→∞,場在包層中不存在截止與遠(yuǎn)離截止條件:

模式 臨近截止 遠(yuǎn)離截止

TE0m(TM0m) J0(Uc)＝0 J1(U∞)＝0

HElm

Jl-2(Uc)＝0 Jl-1(U∞)＝0

EHlm

Jl(Uc)＝0 Jl+1(U∞)＝0