第四章非經(jīng)典推理正式

人工智能教材：蔡自興等《人工智能及其應(yīng)用》（第4版）清華大學(xué)出版社，2010.

5Powerpoint第4章

不確定性推理方法華中科技大學(xué)自動化學(xué)院2第3章討論的歸約推理、消解演繹推理和規(guī)則演繹推理等推理方法，都是確定性推理。它們建立在經(jīng)典邏輯基礎(chǔ)上，運用確定性知識進行精確推理，也是一種單調(diào)性推理?，F(xiàn)實世界中遇到的問題和事物間的關(guān)系，往往比較復(fù)雜，客觀事物存在的隨機性、模糊性、不完全性和不精確性，往往導(dǎo)致人們認識上一定程度的不確定性。這時，若仍然采用經(jīng)典的精確推理方法進行處理，必然無法反映事物的真實性。為此，需要在不完全和不確定的情況下運用不確定知識進行推理——不確定性推理。本章將介紹以下的不確定性推理技術(shù)，它們已在專家系統(tǒng)、機器人規(guī)劃和機器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域獲得廣泛應(yīng)用。第4章不確定性推理方法華中科技大學(xué)自動化學(xué)院3經(jīng)典推理和非經(jīng)典推理不確定性推理可信度方法證據(jù)理論模糊推理方法4.1經(jīng)典推理和非經(jīng)典推理華中科技大學(xué)自動化學(xué)院4概述人工智能的兩個基石：邏輯和推理傳統(tǒng)人工智能即邏輯學(xué)派是建立在符號邏輯推理的基礎(chǔ)上的。邏輯和推理是以邏輯為基礎(chǔ)的人工智能的兩個基石。邏輯涉及思維規(guī)范，而推理則與思維法則有關(guān)。處于主導(dǎo)地位的邏輯有形式邏輯和數(shù)理邏輯。消解原理就是以謂詞邏輯為基礎(chǔ)的。形式邏輯和數(shù)理邏輯的局限性，導(dǎo)致非經(jīng)典邏輯及其非經(jīng)典推理的產(chǎn)生。與此相應(yīng)地把傳統(tǒng)的邏輯學(xué)派及其推理方法稱為經(jīng)典邏輯和經(jīng)典推理。5經(jīng)典推理的區(qū)別推理，而非經(jīng)典邏輯采用歸納邏輯推理。②在轄域取值上，經(jīng)典邏輯都是二值邏輯，即只有真(True)和假種，而非經(jīng)典邏輯都是多值邏輯*。法則上，兩者也不大相同。屬于經(jīng)典邏輯的形式邏輯和輯，它們的許多運算法則在非經(jīng)典邏輯中就不能成立。。④在邏輯算符上，非經(jīng)典邏輯具有更多邏輯算符。非經(jīng)典邏輯引用了附加算符(模態(tài)算符或算子)來解決所面臨的問題*。⑤在是否單調(diào)上，兩者也截然有別。經(jīng)典邏輯是單調(diào)的，即已知事實(定理)均為充分可信的，不含隨著新事實的出現(xiàn)而使原有華中科技大學(xué)事自動實化學(xué)變院為假*。例如：三值、四值和模糊邏輯等

非經(jīng)典邏輯、非經(jīng)典推理與經(jīng)典邏輯、①在推理方法上，經(jīng)典邏輯采用演繹邏輯例如：三值邏輯就不遵循謂詞邏輯中的雙重否定法則～(～P)＝P；狄·摩根定律在一些多值邏輯中也不再成立例如：謂詞邏輯具有∨、∧ →、～

4個連詞以及?、公式，只能回答“什么是真?”和“③在運算

判斷問題，而無法處理“什么可能數(shù)理邏

?”“什么應(yīng)該真?”“什么允許假?”之類非經(jīng)典邏輯背棄了經(jīng)典邏輯的一些重要特性*的問題。(False)兩?兩個量詞。由這些邏輯算符組成的謂詞合式(邏輯)由于現(xiàn)實生活中的許多事實是在人們不完全掌什么是假?”的是非握其前提條件下初步認可的，一些舊的認識可真?”“什么必然假能被修正以至否定。引用非單調(diào)推理是非經(jīng)典邏輯與經(jīng)典邏輯的又一重要區(qū)別。第4章不確定性推理方法華中科技大學(xué)自動化學(xué)院6經(jīng)典推理和非經(jīng)典推理不確定性推理可信度方法證據(jù)理論模糊推理方法4.2不確定性推理華中科技大學(xué)自動化學(xué)院7概述不確定性推理(reasoningwithuncertainty)也是一種建立在非經(jīng)典邏輯基礎(chǔ)上的基于不確定性知識的推理，它從不確定性的初始證據(jù)出發(fā)，通過運用不確定性知識，推出具有一定程度的不確定性的和合理的或近乎合理的結(jié)論。不確定性推理中的基本問題①不確定性的表示與量度②不確定性匹配算法及閾值的選擇③組合證據(jù)不確定性的算法④不確定性的傳遞算法⑤結(jié)論不確定性的合成4.2.1不確定性的表示與量度華中科技大學(xué)自動化學(xué)院81.

不確定性的表示不確定性推理存在的三種不確定性，具有相應(yīng)的表示和量度①關(guān)于知識的不確定性②關(guān)于證據(jù)的不確定性③關(guān)于結(jié)論的不確定性。（1）知識不確定性的表示知識的表示與推理是密切相關(guān)的，不同的推理方法要求有相應(yīng)的知識表示模式與之對應(yīng)。在不確定性推理中，由于要進行不確定性的計算，所以必須采用適當?shù)姆椒ò巡淮_定性及不確定的程度表示出來。在確立不確定性的表示方法時，需要綜合以下因素：①根據(jù)領(lǐng)域問題特征把其不確定性比較準確地描述出來，滿足問題求解的需要；②要便于推理過程中推算不確定性。*（2）證據(jù)不確定性的表示在推理中，有兩種來源的證據(jù)：①用戶在求解問題時提供的初始證據(jù)，例如病人的癥狀、化驗結(jié)果等；②在推理中用前面推出的結(jié)論作為當前推理的證據(jù)。

對于前一種情況，由于這種證據(jù)多來源于觀察，往往有不確定性，因而推出的結(jié)論當然也具有不確定性，當把它用作后面推理的證據(jù)時，它也是不確定性的證據(jù)。在專家系統(tǒng)中知識的不確定性一般是由領(lǐng)域?qū)＜医o出的，通常是一個數(shù)值——知識的靜態(tài)強度華中科技大學(xué)自動化學(xué)院9（3）結(jié)論不確定性的表示結(jié)論的不確定性也叫做規(guī)則的不確定性，它表示件被全滿足時，產(chǎn)生某種結(jié)論的不確定程度。由于知識和證據(jù)具有不確定性，使所得出的結(jié)論也具有不確定性。這種當規(guī)則的條2.不確定性的量度需要采用不同的數(shù)據(jù)和方法來量度確定性的程度。首先必須確定數(shù)據(jù)的取值范圍。*在確定量度方法及其范圍時，必須注意到：①量度要能充分表達相應(yīng)知識和證據(jù)不確定性的程度。②量度范圍的指定應(yīng)便于領(lǐng)域?qū)＜液陀脩魧Σ淮_定性的估計。③量度要便于對不確定性的傳遞進行計算，而且對結(jié)論算出的不確定性量度不能超出量度規(guī)定的范圍。例如，在MYCIN等專家系統(tǒng)中，用可信度來表示知識和證據(jù)的不確定性，其取值范圍為[-l,+1]。也可以用[0,1]之間的值來表示某些問題的不確定性.④量度的確定應(yīng)當是直觀的，并有相應(yīng)的理論依據(jù)。華中科技大學(xué)自動化學(xué)院104.2.2不確定性的算法-否則，就稱它們是不可匹配的，相應(yīng)的知識不可應(yīng)用。華中科技大學(xué)自動化學(xué)院11不確定性的匹配算法及其及閾值的選擇推理是一個不斷運用知識的過程。為了找到所需的知識，需要在這一過程中用知識的前提條件與已知證據(jù)進行匹配，只有匹配成功的知識才有可能被應(yīng)用。在不精確性推理中，由于知識和證據(jù)都具有不確定性，而且知識所要求的不確定性程度與證據(jù)實際具有的不確定性程度不一定相同，因而就出現(xiàn)了“怎樣才算匹配成功”的問題。對于這個問題，目前常用的解決方法是不確定性匹配算法。不確定性匹配算法用來計算匹配雙方相似程度的算法閾值：用來指出相似的“限度”。-如果匹配雙方相似的程度落在指定的限度內(nèi)，就稱它們是可匹配的，相應(yīng)的知識可被應(yīng)用。2.不確定性的更新算法華中科技大學(xué)自動化學(xué)院12不精確推理的根本目的是根據(jù)用戶提供的初始證據(jù)，通過運用不確定性知識，最終推出不確定性的結(jié)論，并推算出結(jié)論為確定性的程度。所以不精確推理還需要解決不確定性的更新問題——知識不確定性的動態(tài)積累和傳遞。不確定性的更新算法（1）不確定性的傳遞算法①在每一步推理中，如何把證據(jù)及知識的不確定性傳遞給結(jié)論。已知規(guī)則前提即證據(jù)E的不確定性C(E)和規(guī)則的強度f(H,E)，其中H表示假設(shè)，試求H的不確定性C(H)。即定義算法g1，使得：C(H)=g1[C(E),f(H,E)]②在多步推理中，如何把初始證據(jù)的不確定性傳遞給最終結(jié)論。根據(jù)獨立的證據(jù)E1和E2，分別求得假設(shè)H的不確定性為C1(H)和C2(H)。求出證據(jù)E1和E2的組合導(dǎo)致結(jié)論H的不確定性C(H)，即定義算法g2，使得：C(H)=g2[C1(H)，C2(H)]①最大最小法C(El

AND

E2)=min{C(E1),

C(E2)}C(El

OR

E2)=max{C(E1),

C(E2))②概率方法C(El

AND

E2)

=

C(E1)C(E2)C(El

OR

E2)

=

C(E1)+C(E2)-C(E1)C(E2)③有界方法C(El

AND

E2)

=

max{0,

C(E1)+C(E2)-1}C(El

ORE2)

=min{1,

C(E1)+C(E2)}④Hamacher方法模糊合成算子是

技術(shù)。模糊評價中數(shù)據(jù)處理的核心含參數(shù)模糊合成算子。（2）組合證據(jù)的不確定性算法組合證據(jù)的不確定性計算已有多種方法，用得較多的有：例如：概率方法只能在事華中科技大學(xué)自動化學(xué)院13Hamacher算子是

件之間完全獨立時使用。

上述的每一組公式都有相應(yīng)的適用范圍和使用條件。*（5）結(jié)論不確定性的合成華中科技大學(xué)自動化學(xué)院14推理中有時會出現(xiàn)這樣一種情況：用不同知識進行推理得到了相同的結(jié)論，但不確定性的程度卻不相同。需要用合適的算法對它們進行合成。在不同的不確定性推理方法中所采用的合成方法各不相同。

以上簡要地列出來不確定性推理中一般應(yīng)該考慮的一些基本問題，但這并不是說任何一個不確定性推理都必須包括上述各項內(nèi)容。第4章不確定性推理方法華中科技大學(xué)自動化學(xué)院15經(jīng)典推理和非經(jīng)典推理不確定性推理可信度方法證據(jù)理論模糊推理方法16概述1975年肖特里菲（E.H.Shortliffe）等人在確定性理論（theory

ofconfirmation）的基礎(chǔ)上，結(jié)合概率論等提出的一種不確定性推理方法。首先在專家系統(tǒng)MYCIN中得到了成功應(yīng)用。優(yōu)點：直觀、簡單，且效果好?？尚哦龋╟ertainty）：根據(jù)經(jīng)驗對一個事物或現(xiàn)象為真的相信程度。當面臨新事物或新情況時，往往可用積累的經(jīng)驗對問題的 真、偽或為真的程度作出判斷?？尚哦葞в休^大的主觀性和經(jīng)驗性，其準確性難以把握。*識給-領(lǐng)域?qū)＜矣胸S富的專業(yè)知識和經(jīng)驗，不難對領(lǐng)域內(nèi)知出其可行度。華中科技大學(xué)自動化學(xué)院4.3可信度方法由于人工智能所面向的多是結(jié)構(gòu)不良的復(fù)雜問題，難以給出精確的數(shù)學(xué)模型，先驗概率及條件概率的確定又比較困難，因而用可行度來表示知識及證據(jù)的不確定仍不失為一種可行方法。C－F模型：基于可信度表示的不確定性推理的基本方法。其他可性度方法都是在此基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。知識不確定性的表示在C-F模型中，知識是用產(chǎn)生式規(guī)則表示的，其一般形式為：IF

E

THEN

H

（CF（H,E)）其中CF(H,E)是該條知識的可信度，稱為可信度因子。CF(H,E)反映前提條件與結(jié)論的聯(lián)系強度：當條件E所對應(yīng)的它對結(jié)論H為真的支持程度。例：

IF

頭痛

AND

流涕

THEN感冒

（0.7）*當病人確實有：“頭痛”和“流涕”的癥華中科技大學(xué)自動化學(xué)院17證據(jù)為真時，

狀時，則有七成的把握認為他患了感冒。CF（H，E）的取值范圍：[-1,1]。若由于相應(yīng)證據(jù)的出現(xiàn)增加結(jié)論H為真的可信度，則CF（H，E）>0，證據(jù)的出現(xiàn)越是支持H

為真，就使CF（H，E)的值越大。反之，CF（H，E）<0，證據(jù)的出現(xiàn)越是支持H

為假，CF（H，E）的值就越小。若證據(jù)的出現(xiàn)與否與H

無關(guān)，則CF（H，E）=0。華中科技大學(xué)自動化學(xué)院18在C-F模型中，證據(jù)的不確定性也是用可信度因子表示的。例：CF(E)＝0.6表示E的可信度為0.6證據(jù)可信度值的來源：①初始證據(jù)：其可信度值由提供證據(jù)的用戶給出；②先前推出的結(jié)論作為當前推理的證據(jù)：其可信度值通過不確定傳遞算法計算得到。證據(jù)E的可信度取值范圍：[-1，1]。對于初始證據(jù)：①若所有觀察能肯定它為真，則CF(E)=1。②若肯定它為假，則

CF(E)=–1。③若以某種程度為真，則

0<CF(E)

<

1。④若以某種程度為假，則－1<CF(E)<0

。⑤若未獲得任何相關(guān)的觀察，則CF(E)=0。華中科技大學(xué)自動化學(xué)院192.證據(jù)不確定性的表示

在C-F模型中，盡管知識的靜態(tài)強度與證據(jù)的動態(tài)強度都華中科技大學(xué)自動化學(xué)院20用可信度因子CF表示，但是它們所表示的意義不相同。靜態(tài)強度CF（H，E）表示的是知識的強度，即當E所對應(yīng)的證據(jù)為真時對H

的影響程度。

動態(tài)強度CF（E）表示的是證據(jù)E當前的不確定性程度。則CF

(E)＝min{CF

(E1

),

CF

(E2

),...,

CF

(En

)}組合證據(jù)：多個單一證據(jù)的析取華中科技大學(xué)自動化學(xué)院21則CF

(E)＝max{CF

(E1

),

CF

(E2

),

,

CF

(En

)}3.組合證據(jù)不確定性的算法…組合證據(jù)：多個單一證據(jù)的合取E=E1

AND

E2

AND

AND

En…E=E1

OR

E2

OR

OR

En4.不確定性的傳遞算法華中科技大學(xué)自動化學(xué)院22 C－F模型中的不確定性推理：從不確定的初始證據(jù)出發(fā)，通過運用相關(guān)的不確定性知識，最終推出結(jié)論并求出結(jié)論的可信度值。結(jié)論H

的可信度由下式計算：CF

(H

)

=CF

(H

,

E)×

max{0,

CF

(E)}當CF

(E

)<0時，則CF

(H

)=0當CF

(E

)＝1時，則C

F

(H

)=CF

(H

,E

)若由多條不同知識推出了相同的結(jié)論，但可信度不同，則可用合成算法求出綜合可信度。設(shè)知識：5.結(jié)論不確定性的合成算法（1）分別對每一條知識求出CF（H）：CF1

(H

)

=CF

(H

,

E1

)×

max{0,

CF

(E1

)}CF2

(H

)

=CF

(H

,

E2

)×

max{0,

CF

(E2

)}(CF

(

H

,

E1

))(CF

(

H

,

E

2

))華中科技大學(xué)自動化學(xué)院23HHE1E

2IFIFTHENTHEN（2）求出E1

與E2對H的綜合影響所形成的可信度CF1,2(H)

CF1(H

)

+

CF2(H

)

-

CF1(H

)CF2(H

)

CF1(H

)

+

CF2(H

)

+

CF1(H

)CF2(H

)

CF(H

)

+

CF

(H

)

1

2若CF1(H

)≥0,CF2(H

)

≥

0若CF1(H

)<0,CF2(H

)

<

0CF1,2(H)=若CF(H

)與CF

(H

)異號

1

-

min{|CF1(H

)|,|

CF2(H

)|}

12華中科技大學(xué)自動化學(xué)院24華中科技大學(xué)

自動化學(xué)院

25(0.7)r1

:IFE

1THENH(0.8)r2

:IFE

2THENH(0.6)r3

:IFE

3THENH(-0.5)r4

:IFE4AND

(E5ORE6

)

THENE1r5

:IFE

7AND

E

8THENE

3(0.9)已知：CF

(E2

)

=

0.8,

CF

(E4

)

=

0.5,CF

(E5

)

=

0.6,

CF

(E6

)

=

0.7,CF

(E7

)=

0.6,

CF

(E8

)

=

0.9.求：CF

(H

)可信度方法（C－F模型）—例例：設(shè)有如下一組知識：解：第一步：對每一條規(guī)則求出CF（H）CF

(

E1

)

=

0.7

·

max{

0,

CF

[

E4華中科技大學(xué)自動化學(xué)院26=

0.7

·

max{

0,

min{

CF

(

E

4

),

CF

(

E

5=

0.7

·

max{

0,

min{

CF

(

E

4

),

max{

CF

(

E

5

),

CF

(

E

6

)}}}=

0.7

·

max{0,

min{0.5,

max{0.6,0.7}}}=

0.7

·

max{0,0.5}=

0.35E6)

THEN

E1

(0.7)AND

(

E5

OR

E6

)]}OR

E

6

)}}E4

AND

(E5

OR由

r4

:

IFCF

(E3

)

=

0.9

·

max{0,

CF

(E7

AND E8

)}=

0.9

·

max{0,

min{CF

(E7

),

CF

(E8

)}}=

0.9

·

max{0,

min{0.6,0.9}}=

0.9

·

max{0,0.6}=

0.54華中科技大學(xué)自動化學(xué)院27由r5

:CF1

(H

)

=

0.8

·

max{0,

CF

(E1

)}=

0.8

·

max{0,0.35}=

0.28由r1

:CF2

(H

)

=

0.6

·

max{0,

CF

(E2

)}=

0.6

·

max{0,0.8}=

0.48華中科技大學(xué)自動化學(xué)院28由r2

:CF3

(H

)

=

-0.5·

max{0,CF(E3

)}=

-0.5

·

max{0,0.54}=-0.27由r3

:第二步：根據(jù)結(jié)論不確定性的合成算法得到：CF1,2

(H)

=

CF1

(H)

+CF2

(H)

-CF1

(H)·CF2

(H)=0.28+0.48-0.28·0.48

=0.631-

min{|CF1,2

(H)

|,|

CF3

(H)

|}華中科技大學(xué)自動化學(xué)院29CF1,2

(H)

+CF3

(H)CF1,2,3

(H)

=1

-

min{0.63,0.27}=

0.63

-

0.27

0.73=

0.36

=0.49綜合可信度：CF(H)=0.49第4章不確定性推理方法華中科技大學(xué)自動化學(xué)院30經(jīng)典推理和非經(jīng)典推理不確定性推理可信度方法證據(jù)理論模糊推理方法概論證據(jù)理論(theoryofevidence)：又稱D－S理論，是德普斯特（A.P.Dempster）首先提出，沙佛（G.

Shafer）進一步發(fā)展起來的一種處理不確定性的理論。

1981年巴納特（J.A.Barnett）把該理論引入專家系統(tǒng)中，同年卡威（J.

Garvey）等人用它實現(xiàn)了不確定性推理。

目前，在證據(jù)理論的基礎(chǔ)上已經(jīng)發(fā)展了多種不確定性推理模型。*華中科技大學(xué)自動化學(xué)院314.4證據(jù)理論4.4

證據(jù)理論華中科技大學(xué)自動化學(xué)院32概率分配函數(shù)信任函數(shù)似然函數(shù)概率分配函數(shù)的正交和（證據(jù)的組合）基于證據(jù)理論的不確定性推理4.4.1概率分配函數(shù)華中科技大學(xué)自動化學(xué)院33

*設(shè)D是變量x

所有可能取值的集合，且D中的元素是互斥的，在任一時刻x都取且只能取D中的某一個元素為值，則稱D為x

的樣本空間。在證據(jù)理論中，D

的任何一個子集A都對應(yīng)于一個關(guān)于x

的命題，稱該命題為：“x

的值是在A

中”。例：設(shè)x：所看到的顏色，D={紅，黃，藍}，則A={紅}：“x

是紅色”；A={紅，藍}：“x

或者是紅色，或者是藍色”。設(shè)D為樣本空間，領(lǐng)域內(nèi)的命題都用D的子集表示，則概率分配函數(shù)定義如下：定義4.1

設(shè)函數(shù)M*：2D→[0,1]（對任何一個屬于D的子集A，命它對應(yīng)一個數(shù)M∈[0,1]），且滿足M

(F

)

=

0

M

(

A)

=

1A?

D則M是2D上的基本概率分配函數(shù)，M(A)稱為A的基本概率數(shù)。華中科技大學(xué)自動化學(xué)院34關(guān)于概率分配函數(shù)定義的幾點說明：（1）設(shè)樣本空間D中有n個元素，則D中子集的個數(shù)為2n

個。定義中（2）（3）概率分配函數(shù)與概率不同。A

，?的2D

就是表示這些子集的。概率分配函數(shù)：把D的任意一個子集A都映射為[0，1]個數(shù)M（A）。時A，≠DM（A）：對相應(yīng)命題A的精確信任度。例如，設(shè)A={紅}，M（A）=0.3：命題“x是紅色”的信任度是0.3。設(shè)D={紅，黃，藍}M（{紅}）=0.3，M（{黃}）=0，M（{藍}）=0.1，M（{紅，黃}）=0.2，M（{紅，藍}）=0.2，M（{黃，藍}）=0.1，M（{紅，黃，藍}）=0.1，M（Φ）=0*D

*但是：M（{紅}）+M（{黃}）+M（{藍}）=0.4設(shè)D={紅，黃，藍}華中科技大學(xué)自動化學(xué)院35上的一則它的子集個數(shù)剛好是23＝8，具體為：A={紅}，

A={黃}，

A

={藍}，

A

={紅，黃}，A

={紅，藍}，A

={黃，藍}，A

={紅，黃，藍}，A

={Φ}定義4.2

命題的信任函數(shù)（belief

function）Bel

：2D

→[0,1]

且Bel

(

A)

=∑

M

(

B)?A?

D4.4.2

信任函數(shù)B?

ABel(A)：對命題A為真的總的信任程度。信任函數(shù)及概率分配函數(shù)的定義推出：el(F

)

=

M

(F

)

=

0B?

DBel(D)

=

M

(B)

=

10.2，設(shè)D

={紅，黃，藍}由

M（{紅}）=0.3，

M（{黃}）=0，M（{紅，黃}）B

=Bel

({紅,黃})=M

({紅})+M

({黃})+M

({紅,黃})華中科技大學(xué)自動化學(xué)院36=

0.3

+

0.2

=

0.5似然函數(shù)（plansibilityfunction）：不可駁斥函數(shù)或上限函數(shù)。且對所有的定義4.3

似然函數(shù)

Pl：2D

→

[0,1]Pl(

A)

=1

Bel(

A)A

?

D4.4.3

似然函數(shù)設(shè)D

={紅，黃，藍}M（{紅}）=0.3，

M（{黃}）=0，M（{紅，黃}）=0.2，Bel

({紅,黃})=M

({紅})+M

({黃})+M

({紅,黃})=

0.3

+

0.2

=

0.5Pl({藍})

=1

-

Bel(

{藍})

=1

-

Bel({紅，黃})＝1

-

0.5＝0.5華中科技大學(xué)自動化學(xué)院37華中科技大學(xué)

自動化學(xué)院

38定義4.4

設(shè)

和 是兩個概率分配函數(shù)；則其正交12M

M和M

=M1⊕M24.4.4

概率分配函數(shù)的正交和（證據(jù)的組合）

M

1

(

x

)

M

2

(

y

)：M

(

Φ

)

=

0M

(

A

)

=

K

-1x

y

=F其中：K

=

1

-

M

1

(x)M

2

(

y)

=

M

1

(x)M

2(

y)x

y

=F

x

y

?F如果

K

?

0，則正交和

M也是一個概率分配函數(shù)；如果

K

=

0，則不存在正交和M，即沒有可能存在概率函數(shù)，稱M1

與M2

矛盾。華中科技大學(xué)

自動化學(xué)院

394.4.4

概率分配函數(shù)的正交和例4.2設(shè)

D

={黑，白}，且設(shè)M

1

({黑},{白},{黑,白},F

)=(0.3,0.5,0.2,0)M

2

({黑},{白},{黑,白},F

)=(0.6,0.3,0.1,0)則：K

=

1

-

M

1

(x)M

2

(

y)x

y

=F=1

-[M

1

({黑})M

2

({白})+M

1

({白})M

2

({黑})]=

1

-[0.3

·

0.3

+

0.5

·

0.6]=

0.611

2M

({黑})

=

K

-1

M

(

x)M

(

y)x

y

={黑}1=

[M

1

({黑})M

2

({黑})+M

1

({黑})M

2

({黑,白})+0.610.611=M

1

({黑,白})M

({黑})][0.3

·

0.6+

0.3

·

0.1

+

0.2

·

0.6]

=

0.544.4.4

概率分配函數(shù)的正交和同理可得:華中科技大學(xué)自動化學(xué)院40M

({白})=0.43M

({黑,白})=0.03組合后得到的概率分配函數(shù):M

({黑}),{白},{黑,白},F

)=(0.54,0.43,0.03,0)4.4.5

基于證據(jù)理論的不確定性推理華中科技大學(xué)自動化學(xué)院41基于證據(jù)理論的不確定性推理的步驟：建立問題的樣本空間D。由經(jīng)驗給出，或者由隨機性規(guī)則和事實的信度度量算基本概率分配函數(shù)。計算所關(guān)心的子集的信任函數(shù)值、似然函數(shù)值。由信任函數(shù)值、似然函數(shù)值得出結(jié)論。例4.3

設(shè)有規(guī)則：如果 流鼻涕

則 感冒但非過敏性鼻炎（0.9） 或 過敏性鼻炎但非感冒（0.1）。如果 眼發(fā)炎

則 感冒但非過敏性鼻炎（0.8） 或 過敏性鼻炎但非感冒（0.05）。有事實：小王流鼻涕（0.9）。小王發(fā)眼炎（0.4）。問：小王患的什么病？華中科技大學(xué)自動化學(xué)院424.4.5

基于證據(jù)理論的不確定性推理取樣本空間：D

={h1

,h2

,h3

}M

2

({h1

,

h2

,

h3

})

=

1

-

M

2

({h1})

-

M

2

({h2

})

=

1

-

0.32

-

0.02

=

0.66華中科技大學(xué)自動化學(xué)院43h1表示“感冒但非過敏性鼻炎”，

h2表示“過敏性鼻炎但非感冒”，h3表示“同時得了兩種病”。取下面的基本概率分配函數(shù)：M1

({h1})

=

0.9·0.9

=

0.81M1

({h2

})

=

0.9

·

0.1

=

0.09M

1

({h1

,

h2

,

h3

})

=

1

-

M1

({h1

})

-

M

1

({h2

})

=

1

-

0.81

-

0.09

=

0.1M

2

({h1})

=

0.4

·

0.8

=

0.32M

2

({h2

})

=

0.4

·

0.05

=

0.02將兩個概率分配函數(shù)組合：華中科技大學(xué)自動化學(xué)院44K

=

1/{1

-[M1

({h1})M

2

({h2

})

+

M1

({h2

})M

2

({h1})]}=

1/{1

-[0.81·

0.02

+

0.09

·

0.32]}=

1/{1

-

0.045}

=

1/

0.955

=

1.05M

({h1})=

K[M

1

({h1})M

2({h1})

+

M

1

({h1})M

2

({h1

,

h2

,

h3

}+

M

1

({h1

,

h2

,

h3

})M

2

({h1})]=

1.05

·

0.8258

=

0.87M

({h2

})

=

K[M

1

({h2

})M

2

({h2

})

+

M

1

({h2

})M

2

({h1

,

h2

,

h3

}+

M

1

({h1

,

h2

,

h3

})M

2

({h2

})]=

1.05

·

0.0632

=

0.066M

({h1

,

h2

,

h3

})

=

1

-

M

({h1

})

-

M

({h2

})

=

1

-

0.87

-

0.066

=

0.064似然函數(shù)：華中科技大學(xué)自動化學(xué)院45Pl({h1})

=1-

Bel(

{h1})

=1-

Bel({h2

,

h3})=1-[M

({h2}

+

M

({h3})

=1-[0.066

+

0]

=

0.934Pl({h2})

=1-

Bel( {h2})

=1-

Bel({h1

,

h3})=1-[M

({h1}

+

M

({h3})

=1-[0.87

+

0]

=

0.13結(jié)論：小王可能是感冒了。信任函數(shù)：Bel({h1})

=

M

({h1})

=

0.87Bel({h2

})

=

M

({h2

})

=

0.066第4章不確定性推理方法華中科技大學(xué)自動化學(xué)院46經(jīng)典推理和非經(jīng)典推理不確定性推理可信度方法證據(jù)理論模糊推理方法4.5模糊推理方法華中科技大學(xué)自動化學(xué)院47模糊邏輯的提出與發(fā)展模糊集合模糊集合的運算模糊關(guān)系與模糊關(guān)系的合成模糊推理模糊決策4.5.1

模糊邏輯的提出與發(fā)展華中科技大學(xué)自動化學(xué)院481965年，美國L.

A.Zadeh發(fā)表了“fuzzyset”的論文，首先提出了模糊理論。4.5.1

模糊邏輯的提出與發(fā)展華中科技大學(xué)自動化學(xué)院49

從1965年到20世紀80年代，在美國、歐洲、中國和日本，只有少數(shù)科學(xué)家研究模糊理論。

1974年，英國Mamdani首次將模糊理論應(yīng)用于熱電廠的蒸汽機控制。

1976年，Mamdani又將模糊理論應(yīng)用于水泥旋轉(zhuǎn)爐的控制。4.5.1

模糊邏輯的提出與發(fā)展華中科技大學(xué)自動化學(xué)院501983年日本FujiElectric公司實現(xiàn)了飲水處理裝置的 模糊控制。1987年日本Hitachi公司研制出地鐵的模糊控制系統(tǒng)。1987年－1990年在日本申報的模糊產(chǎn)品專利就達319種。目前，各種模糊產(chǎn)品充滿日本、西歐和美國市場， 如模糊洗衣機、模糊吸塵器、模糊電冰箱和模糊攝 像機等。4.5.2

模糊集合華中科技大學(xué)自動化學(xué)院51模糊集合的定義論域：所討論的全體對象，用U

等表示。元素：論域中的每個對象，常用a,b,c,x,y,z表示。集合：論域中具有某種相同屬性的確定的、可以彼此區(qū)別的元素的全體，常用A，B等表示。元素a和集合A的關(guān)系：a屬于A或a不屬于A，即只有兩個真值“真”和“假”。模糊邏輯給集合中每一個元素賦予一個介于0和1之間的實數(shù)，描述其屬于一個集合的強度，該實數(shù)稱為元素屬于一個集合的隸屬度。集合中所有元素的隸屬度全體構(gòu)成集合的隸屬函數(shù)。華中科技大學(xué)自動化學(xué)院524.5.2

模糊集合1.

模糊集合的定義

x

?18

0

x

<18(x)

=

1成年人例如，“成年人”集合：m“成年人”隸屬度函數(shù)圖“成年人”特征函數(shù)圖mA

(x)：元素的論域。華中科技大學(xué)自動化學(xué)院53x

屬于模糊集

A

的隸屬度，X

是元素

x4.5.2

模糊集合模糊集合的表示方法當論域中元素數(shù)目有限時，模糊集合A的數(shù)學(xué)描述為A

=

{(x

,

m

A

(

x

) ,

x

?

X

}4.5.2

模糊集合2．模糊集合的表示方法（1）Zadeh表示法（1）論域是離散且元素數(shù)目有限:或nA

=

m

A

(x1

)

x1

+

m

A

(x2

)

x2

+

+

m

A

(xn

)

xn

=

m

A

(xi

)

xii=1A

={m

A

(x1

)

x1

,

m

A

(x2

)

x2

,

,

m

A

(xn

)

xn

}（2）論域是連續(xù)的，或者元素數(shù)目無限：A

=

m

A

(

x

)

xx?U華中科技大學(xué)自動化學(xué)院544.5.2

模糊集合華中科技大學(xué)自動化學(xué)院552．模糊集合的表示方法（2）序偶表示法A

={(m

A

(x1

),

x1

),

(m

A

(x2

),

x2

),

,

(m

A

(xn

),

xn)}（3）向量表示法A

={m

A

(x1

),

m

A

(x2

),

,

m

A

(xn

)}3.

隸屬函數(shù)常見的隸屬函數(shù)有正態(tài)分布、三角分布、梯形分布等。隸屬函數(shù)確定方法：模糊統(tǒng)計法專家經(jīng)驗法二元對比排序法基本概念擴充法華中科技大學(xué)自動化學(xué)院564.5.2

模糊集合4.5.2

模糊集合

5

1+

(-1)2

50

<

u

￡

200u

-50O

0 0

￡

u

￡

50m

(u)

=

5-125

<

u

￡

200

1

+

(u

-

25)2

Y

1 0

￡

u

￡

25m

(u)

=

3．隸屬函數(shù)例如：以年齡作論域，取

U=

0,200]，扎德給出了“年老”O(jiān)

與“年青”Y

兩個模糊集合的隸屬函數(shù)為5

50<m￡200[1

+

(u

-

50)-2

]-1

uO

=5華中科技大學(xué)自動化學(xué)院57

25<m￡200[1

+

(u

-

25)2

]-1

uY

=

1

u

+0<m￡25采用Zadeh表示法:（1）模糊集合的包含關(guān)系若

m

(

x)

?

m

(

x)

，則A

BA

?

B（2）模糊集合的相等關(guān)系A(chǔ)

B若

m

(

x)

=

m

(

x)，則

A

=Bm

B

(

x

)華中科技大學(xué)自動化學(xué)院58（3）模糊集合的交并補運算① 交運算(intersection)

A

Bm

A

˙

B

(

x

)

=

min

{m

A

(

x

),

m

B

(

x

)}=

m

A

(

x

)4.5.3

模糊集合的運算②

并m③

補4.5.3

模糊集合的運算兩個模 例4.4糊集4運算(union)

A

BA

¨

B

(

x

)

=

m

ax

{m

A

(

x

),

m

B

(

x

)}=

mA

(x)

mB

(x)運算(complement)

A

或者

ACm

A

(

x

)

=

1

-

m

A

(

x

)設(shè)論域U

={x1

,x2

,x3

,x4

}，A及B是論域上的合，已知：A

=

0.3

x1

+

0.5

x

2

+

0.7

x

3

+

0.4

xB

=

0.5

x1

+

1

x

2

+

0.8

x

3A、B

、

A

˙

B

、

A

¨

B求無法顯示該圖片。華中科技大學(xué)自動化學(xué)院594.5.3

模糊集合的運算x

4華中科技大學(xué)自動化學(xué)院60x1

x

2

x3x1

x

2

x3

x

4=

0.5

x1

+

1

x

2

+

0.8

x3

+

0.4

x

40.8

+

0.4

00.5

+

0.5+

0.7

x31

+

0.7=

0.3

x1

+

0.5

x

20.5

+

0.5 1

+

0.7

0.8

+

0.4

0解：A

=

0.7

x1

+

0.5

x

2

+

0.3

x3

+

0.6

x

4B

=

0.5

x1

+

0.2

x3

+

1

x

4A

B

=

0.3A

B

=

0.3（4）模糊集合的代數(shù)運算華中科技大學(xué)自動化學(xué)院61AB①代數(shù)積：m(

x

)

=

m

A

(

x

)

m

B

(

x

)②代數(shù)和：m

A+B

(x)=m

A

(x)+mB

(x)-m

AB

(x)③有界和：mAˉ

B

(

x)

=

min{1,

mA

(

x)

+

mB

(

x)

}=

1[mA

(

x)

+

mB

(

x)]④有界積：mA?

B

(

x)

=

max{0,

mA

(

x)

+

mB

(

x)

-1}

=

0[mA

(

x)

+

mB

(

x)

-1]4.5.3

模糊集合的運算例4.5

，A

及

B

是論域上4.5.3

模糊集合的運算設(shè)論域U

={x1

,x2

,x3

,x4

,x5

}的兩個模糊集合，已知：A

=

0

.2

x1

+

0

.4

x

2

+

0

.9

x

3

+

0

.5

x

5B

=

0

.1

x1

+

0

.7

x

3

+

1

.0

x

4

+

0

.3

x

5求A

B、A

+

B、A

ˉ

B、A

?

B。華中科技大學(xué)自動化學(xué)院62A B

=

0.02

/

x1

+

0.63

/

x3

+

0.15

/

x5A

+

B

=

0.28/

x1

+

0.4

/

x2

+

0.97/

x3

+1.0

/

x4

+

0.65/

x5Aˉ

B

=0.3/

x1

+0.4/

x2

+1.0/

x3

+1.0/

x4

+0.8/

x5A

?

B

=

0.6

/

x3解：4.5.4

模糊關(guān)系與模糊關(guān)系的合成身高與體重的模糊關(guān)系表

1

00.8

0.10.1

0.8

1

0.8

0.2

0.1

0

1

0.8

0.2

R

=

0.2

0.8

1

0.8

0.2

0.2

0.8

10.1

0.2

0.8 從X到Y(jié)的一個模糊關(guān)系R，用模糊矩陣表示：普通關(guān)系:兩個集合中的元素之間是否有關(guān)聯(lián)，模糊關(guān)系:兩個模糊集合中的元素之間關(guān)聯(lián)程度的多少。1．模糊關(guān)系例4.6

某地區(qū)人的身高論域X={140,150,160,170,180}（單位：cm），體重論域Y={40,50,60,70,80}。華中科技大學(xué)自動化學(xué)院63華中科技大學(xué)自動化學(xué)院644.5.4

模糊關(guān)系與模糊關(guān)系的合成模糊關(guān)系模糊關(guān)系的定義：A、B：模糊集合，模糊關(guān)系用叉積(cartesian

product)表示：則其叉積運算：R

:

A

·

B

fi

0

,1叉積常用最小算子運算：m

A

·

B

(

a

,

b

)

=

min

{m

A

(

a

),

m

B

(b

)}A、B：離散模糊集，其隸屬函數(shù)分別為：m

A

=

m

A

(

a1

),

m

A

(

a

2

),

,

m

A

(

a

n

)

,mB

=

mB

(b1

),

mB

(b2

),

,

mB

(bn

)]BTm

=

m

mA·B

A(a,

b)解：華中科技大學(xué)自動化學(xué)院654.5.4

模糊關(guān)系與模糊關(guān)系的合成

0.8

0.2

0.0

1.

模糊關(guān)系例4.7

已知輸入的模糊集合A和輸出的模糊集合B：A

=

1.0

/

a1

+

0.8

/

a2

+

0.5

/

a3

+

0.2

/

a4

+

0.0

/

a5B

=

0.7

/

b1

+1.0

/

b2

+

0.6

/

b3

+

0.0

/

b4求A到B的模糊關(guān)系R。

1.0

BAR

=

A′

B

=

mT

m=

0.5

[0.7

1.0

0.6

0.0]

1.0華中科技大學(xué)自動化學(xué)院66

0.8

R

=

0.5

0.2

0.00.7

0.5

1.0

0.5

0.6

0.50.7

0.2

1.0

0.2

0.6

0.2

0.0

0.7

0.0

1.0

0.0

0.6

0.0

0.0

0.0

0.71.01.01.00.61.00.0

0.71.00.60.70.81.00.80.60.80.0

0.70.80.60.0

0.0

=

0.5

0.5

0.5

0.0

0.2

0.2

0.2

0.0

0.0

0.0

0.0

0.0

4.5.4

模糊關(guān)系與模糊關(guān)系的合成1.

模糊關(guān)系4.5.4

模糊關(guān)系與模糊關(guān)系的合成2.模糊關(guān)系的合成例8

設(shè)模糊集合X

=

{x1

,

x2

x3

,

x4

},

Y

=

{

y1

,

y2

,

y3

},

Z

=

{z1

,

z2

}華中科技大學(xué)自動化學(xué)院67Q

?

X

·

Y

,R

?

Y

·

Z

,S

?

X

·

Z

,求S。

0.

9

0

0

11

0.3

0.5

0.6

0.7

0.40.80.2Q

=

0.4

0.3

0.2 1

R

=

0.8

0.54.5.4

模糊關(guān)系與模糊關(guān)系的合成華中科技大學(xué)自動化學(xué)院682.模糊關(guān)系的合成

=

=

1

0.8

0.4

0.50.7

0.3)

(1

0.2)

(0.2

0.8)

(0.9

0.6

0.5

0.50.3)0.3)

(0.7

1)

(0.4

0.4)

(1(0

1)

(0.8

0.4)

(0(1

1)

(0.2

0.4)

(0.90.5)0.5)0.5)0.8)

(10.8)

(00.2)

(0.4(0

0.2)

(0.8

(0.7

0.5

0.7S

=

Q

R

=

0

10.60.40.80.20.3

1

0

0.9

0.2 1

0.8

0.4

0.5

0.3

(0.50.2)(0.60.8)(0.30.5)(0.51)(0.60.4)(0.3

0.3)

4.5.5

模糊推理華中科技大學(xué)自動化學(xué)院69模糊知識表示人類思維判斷的基本形式：如果

（條件）

→

則

（結(jié)論）例如：如果 壓力較高且溫度在慢慢上升則 閥門略開模糊規(guī)則：從條件論域到結(jié)論論域的模糊關(guān)系矩陣R。通過條件模糊向量與模糊關(guān)系R的合成進行模糊推理，得到結(jié)論的模糊向量，然后采用“清晰化”方法將模糊結(jié)論轉(zhuǎn)換為精確量。4.5.5

模糊推理對

IF

A

THEN

B

類型的模糊規(guī)則的推理若已知輸入為

A，則輸出為

B

；若現(xiàn)在已知輸入為A，'

則華中科技大學(xué)自動化學(xué)院70輸出

B

'用合成規(guī)則求取B

'

=

A

'

R其中模糊關(guān)系R:mR

(x,y)=min[mA

(x),mB

(y)]控制規(guī)則庫的N

條規(guī)則有N

個模糊關(guān)系：

R1

,

R

2

,

,

Rn對于整個系統(tǒng)的全部控制規(guī)則所對應(yīng)的模糊關(guān)系R：nR

=

R1

R2

Rn

=

Rii=14.5.5

模糊推理華中科技大學(xué)自動化學(xué)院712.

對

IF

A

THEN

B

類型的模糊規(guī)則的推理A

=

1.0

/

a1

+

0.8

/

a2

+

0.5

/

a3

+

0.2/

a4

+

0.0

/

a5B

=

0.7

/

b1

+1.0

/

b2

+

0.6

/

b3

+

0.0

/

b4前面已經(jīng)求得模糊關(guān)系為：

0.7

0.8

0.6

0.0

0.7

1.0

0.6

0.0

R=

0.5

0.5

0.5

0.0

0.2

0.2

0.2

0.0

0.0

0.0

0.0

0.0

4.5.5

模糊推理T華中科技大學(xué)自