《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》復(fù)習(xí)

F-F-#第七章參數(shù)估計占八、、估計矩估計法參數(shù)的矩估計法的基本思想：將k階樣本矩Ak=1意Xik作為總體k階矩&=Exk的估計量，算i=1出未知參數(shù)的估計值。例1：設(shè)總體x~u［0,9］，e為未知參例2：設(shè)總體x的密度函數(shù)：其中e為未知參數(shù)數(shù)，求e的矩估計量。-0x6-1x日o；i］、』―的飾仕、丄［解］:總體1階矩為b=Ex=0/2,1P(X)=|0x笑［0;1］，試求0的矩估計。1「10階樣本矩為舛=節(jié)x=X，將舛代替［解］：總體1階矩為y=Ex」x0xe-1dx=—,1階樣1n乙i1100+1i=11x卩1得到0的矩估計0=2乂口本矩為A］=n±Xj=x,A］代卩1得0的矩估計0=_口n1x+1極大似然估計法極大似然估計法的基本思想似然函數(shù)L=L(x1?^,x;01,02,...,0k)1n12kn=np(xi；01,02,...,0k)i=11當(dāng)L(x1，…,x;01,02,...,0k)=1nSUPL(x1?.,x;01,02,.,0k),則稱01,0{0.}1n12k2,...,0k是0］,02,...,0k的極大似然估計，12k極大似然估計的求法第一步：求出似然函數(shù)L(x..,x;1n第二步：求lnL;令字半(i=l,2,...,k)，稱O0.i為似然方程組；第二步：從似然方程組中求解出00..,0k12k的極大似然估計01,02,...,0k。注意：不是所有的極大似然估計都是似然方程組的解。例1：總體X的密度函數(shù)p(x)：X］,X2，...,Xn為樣本，「九e-九xx〉0p(x)=［篇x<0，其中為九未知參數(shù)，試求九的最大似然估計。［解］:似然函數(shù)L=什Xe-Xxi=Xne-^ZXii=1兩邊取對數(shù)lnL=nlnL-九fx乙ii=1利用導(dǎo)數(shù)求駐點-dL"=n?--fx=0dLnfii=1解得九的最大似然估計量an1Z,==口LfXixi=1例2：極大似然估計必然是()A、矩估計B、似然函數(shù)的極值C、似然方程的根D、無偏估計［答案］：極大似然估計必然是似然函數(shù)的極值，而似然方程不一定有根，故只能選B?？谡及恕?、估計的無偏性若0是未知參數(shù)0的一個估計量，若E0=0,則稱0為參數(shù)0的無偏估計量。例1：設(shè)總體X的均值卩與方差Q2均為未知參數(shù)，X1，X2為樣本。試證：1(X1-X2)2為Q2的無偏估計。［證］：因為E((X1-X2)2/2)=(1⑵E(X12-2X1X2+X22)=

評價標(biāo)準(zhǔn)有效性設(shè)e1,e2是參數(shù)e的兩個無偏估計量，若對任意樣本容量n有方差De1<De2，則稱玄為比e2參有效的估計量。如果在e的一切無偏估計量中，e1的方差最小,則稱玄為e的有效估計量。(1/2)EX12-2EX1EX2+EX22)=EX2-(EX)2=所以(X］-X2)2/2是q2的無偏估計。口例2：設(shè)q,e2是參數(shù)e的二個相互獨立的無偏估計量，且D(e；)=2D(e2)，若&=k1^+k2e2也是e的無偏估計量，則下面四個估計量中方差最小的是()A、始+事B、始+7(JC、+始D、+%3132212231324142［答案］:D(k1(e;+k2e2)=k12D(^1+k22D(j2=(2k12+k22)D(e;要求2k12+k22最小。經(jīng)計算：A、6/9;B、3/4;C、1;D、11/16;選正確答案為A?？谥滦栽O(shè)e各龍,…/)為未知參數(shù)e的一n12n個估計量，若對任意的￡>0,均有血P{|e-e1<￡}=1成立，則稱n—xn為參數(shù)的一致估計。常用概率分布j的參數(shù)估計表分布矩估計極大似然估計優(yōu)良性兩點分布p=Xp=XrL無偏估計二項分布B(m,p)p=_1Xmp丄xPl=mX無偏估計普阿松分布P(九)X=XX=xL無偏估計正態(tài)分布N(yQ2)pJp1衛(wèi)/、|i=X,o2=-￡(xi-x)2廠n1i=1同左G無偏估計02有偏估計指數(shù)分布exp(九)p1X=-Xp1X=一LX有偏估計均勻分布U[O,G]9=2X9=max{x.}L{11}19無偏估計，9有偏估計L—11n1例1：X],X2，…,Xn是總體為N(pq2)的簡單隨機(jī)樣本記X=nJX.，S2=~n~i￡(Xi_X)2,T=(X)2—；S2TOC\o"1-5"\h\zi=1i=1⑴證T是卩2的無偏估計量.(2)當(dāng)卩=0,q=1時，求DT.[證]:(1)注意E(X)2=D(X)2+(EX)2=」g2+卩2，E~S2)=」(ES2)=S2nnnn所以ET=E[(X)2-^S2]=E(X)2-eQs2)=丄q2+呼丄G2=y2，即T是卩2的無偏估計量。nnnn(2)注意X與S2相互獨立，n(X)2與S2也相互獨立，(2)注意X與S2相互獨立，n(X)2與S2也相互獨立，注意q2綜合例題z(n-1)S2nD[—綜合例題z(n-1)S2nD[—q2-=1時，X~N(0,1/n),n\'nX?N(0,1)nn(X)2~/2(1)nD(n(X)2)=2nD(X)2=2/n2」)=亠i-rn(n-1)■]=2(n-1).所以DS2=2q4/n-1,當(dāng)q=1時，有DS2=2/n-1。又因為X~N(p,Q2/n),當(dāng)卩=0,于是DT=D(x)2+—+n2N2D(S2)=孤1+n-1)=n2(N「X0123_Lpe22e(1-e)e21-2e」例2：設(shè)總體X的概率分布為其中e(0<9<1/2)是未知參數(shù)，利用總3,1，2,3求e的矩估計和最大似然估計值。體3,1，2,3求e的矩估計和最大似然估計值。[解]:(1)EX=EXipi=Ox02+1x2e(1-e)+2x02+3x(1-2e)=3-4e.X」JX.=；(3+1+3+0+3+1+2+3)=2,用樣本矩X代替總體矩EX得到3-4e=X=2n矩估計6=1/4n乙18i=1(2)l(e)=np{X=Xi}=p{X=3}4p{X=2}P{X=1}2p{X=o}=(1-2e)4e2[2e(1-e)卩e2=4e6(1-e)2(1-2e)4lnL(e)=ln4+61ne+21n(1-e)+41n(1-2e).令曲聲)=0,即6-土-毛=0n6-280+2402=0dee1-2e1-2en2*土P，因為7+；2">2，不合題意，所以最大似然估計值鼻丄護(hù)□

參婁對二信1-攵的區(qū)間估計方法：F給定的a(0<nvl),滿足P{9<9<e}>1-a，稱隨機(jī)區(qū)間(9_,B)為G的置信水平為a的置信區(qū)間，稱Q為置F限，B為置信上限，1-a為置信水平。均值的置信區(qū)間正態(tài)總體X?N(pQ2)，且方差q2已知，均值卩的置信水平為1-a的置信區(qū)間：(X-u號,X+u￥)泌也a/洛正態(tài)總體X~N(叢q2)，且方差q2已未，均值卩的置信水平為1-a的置信區(qū)間：(X-ta/2(n-1)審，也0/2@-1)話兩個正態(tài)總體X~N(片q12),Y~N(p2，Q22)，且X與Y相互獨立，方差q12,q22已知，均值片屮2的置信水平為1-a的置信區(qū)間：(X-Y-u、/茸+孝,X-Y+u\件+珂)a/2Fn1n2啦*n2兩個獨立正態(tài)總體X~N(片Q]2),Y?N(p2Q22)，且方差Q12,Q22未知但相等，均值片屮2的置信水平為1-a的置信區(qū)間：X-Y土t/2(n1+n?-2N(n1-1)S12+(n2-1)S22—:嚴(yán)22)必121122\n1n2(n1+n2-2)方差的置信區(qū)間正態(tài)總體X~N(叢q2),方差q2的置信水平為1-a的置信區(qū)間：(,嚴(yán)嚴(yán)[、)%2a/2(n-1)%21-a/2(n-1)兩個獨立正態(tài)總體X~N(片Q]2),Y~N(p2，q22)，p的置信水平為1-a的置信區(qū)間：Q21S21S2、七的-皿-1^2'?/2@1-1叫-1吃2丿例1：假設(shè)0.50,1.25,0.80,2.00是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本值。已知Y=lnX服從正態(tài)分布N(y,1)求X的數(shù)學(xué)期望EX(記Ex為b)；(2)求卩的置信度為0.95的置信區(qū)間；⑶利用上述結(jié)果求b的置信度為0.95的置信區(qū)間。［解］:(1)X=eY,f(y)=-^e-于，-8<y<+8.V2k心片dt=.8EX=J+°°eYf(y)dx=^J+°°eYe-于dyt=y=J^°et+ue-：心片dt=.8-8\；2k-8冷2兀-8\；2k1f+8t2=eu+1/2.(因為e-2dt=1)V2k-8樣本值X］=0.50,x2=1.25,x3=0.80,x4=2.00ny1=ln0.50,y2=ln1.25,y3=ln0.80,y4=ln2.00,-111Y=4(y1+y2+y3+y4)=4ln(0.5x1.25xx0.8x2)=4ln1=0.X-HQ2=1已知，用統(tǒng)計函數(shù)一盧?N(O,1),a=1-0.95=0.05,u/2=uo025=1.96,ONna/20.025卩的置信上下限為X±u=0±1.96W4,卩的置信度為0.95的置信區(qū)間(-0.98,0.98).7n⑶由(1)得到b=eu+1/2,因為卩+2的置信區(qū)間(-0.48,1.48),所以.b=eu+1/2的置信區(qū)間為(e-o.48,e1-48)口例2：設(shè)總體X?N（pq2），其中r2已知，X],X2,^,X為X的某個樣本，記X=1￡x.，在給定n12nnii=1和r2的條件下，卩的置信水平為1-a的置信區(qū)間（X-u-*,X+u號）的長度是a的減函屮nvn數(shù)，對嗎?［解］:例3：因為置信區(qū)間的長度L=2u/浮。當(dāng)Q越大，則u/2越小，所以長度L是a的減函數(shù)。口/2a/2n設(shè)X,,X2,-X10為N(0,0.32)的一個樣本，求P{￡0X2>1.44},(已知人。2(10)=16)1210乙i0.9i=1因為x?N(0,0.32),即卩=0q=0.3,將怙>1.44標(biāo)準(zhǔn)化，得到i=1P{歲Xi2>1.44}=P{x2(10)>16}=P{x2(10)>X0.12(10)}=0.1?？趇=1［解］:s/X-0、1.44”，)2>=16乙ri=1例4：設(shè)總體X?N@q2）,卩,r2未知，測得樣本值X],x2,…，x10,計算得良i=11=150,良2=2610設(shè)置信i=11度為0.95,求卩和r2的置信區(qū)間(已知:t0.975(9)=2.70,x20.025(9)=2.262,x20.025(9)=19.023)［解］:X=蠱冬=15,S2=n1j(^Lxi2-収2)=9(2610-2250)=40,S=2\/1Bi=1i=1已知1-a=0.95na=0.05,又r2未知，故用統(tǒng)計量T=亠尹。查表t/2(9)=t002<(9)=2.262,sNna/20.025a/2X±t2P10=15±2.262乂=15±4.524.所以卩的置信區(qū)間為(10.476,19.524)。10因為(n-1)S2

r2(n-l)S2(n-l)S2計算=X2(n-1),所以r2的置信區(qū)間為(十匚,=)=(18.9245,133.333)；

%2a/2(n-1)%21-a/2(n-1)(n-1嚴(yán)==133.333.口%21-a/2(n-1)2.70容=器=18.9245,/2V‘rrrr2均為未知參數(shù)’則右的例5：設(shè)正態(tài)總體X?N（片qJ）與總體Y?N（卩2Q22）相互獨立,出，卩2,r12,r22,置信水平為0.95的置信區(qū)間為（A）—1—聲——1——）^九“月叫-1）'S22?（片-1叫-1）丿_）f005（n1，nJ'S/f095（n1，n2）A、C、B、(S2-f__(n-1,n-1)，20.975'1'2'1S］2f(n,n)5S2

0.025、12丿2D、卑1)S2f(n-1,n-1)丿20.025、1'2'f(n,n))0.975、12第八章假設(shè)檢驗基本概念假設(shè)檢驗的基本思想：對總體分布或分布中的某些參數(shù)作出假設(shè)，然后利用樣本觀察值所提供的信息檢驗假設(shè)是否成立，這種統(tǒng)計推斷的過程稱為假設(shè)檢驗。待檢驗假設(shè)或零假設(shè)記為H°,與之相對的假設(shè)稱為備選假設(shè)或?qū)α⒓僭O(shè)，記為H1。假設(shè)檢驗的依據(jù)是小概率原理：小概率事件在一次試驗中實際上不會發(fā)生。假設(shè)檢驗可能犯兩類錯誤：第一類錯誤（棄真錯誤）假設(shè)H0為真而拒絕H0，記P｛拒絕H0IH0為真｝=?。第二類錯誤（米偽錯誤）假設(shè)H0不真而接受H°,記P｛接受H0IH0不真匸卩。假設(shè)檢驗時，當(dāng)樣本容量一定時，縮小犯第II類錯誤的概率，則犯第I類錯誤的概率變大；縮小犯第I類錯誤的概率，則犯第II類錯誤的概率變大。若增大樣本容量，則犯兩類錯誤的概率都減少。例：下列說法正確的是（C）A、如果備擇假設(shè)是正確的，但作出的決策是拒絕備擇假設(shè)，則犯了棄真錯誤B、如果備擇假設(shè)是錯誤的，但作出的決策是接受備擇假設(shè)，則犯了采偽錯誤C、如果零假設(shè)是正確的，但作出的決策是接受備擇假設(shè)，則犯了棄真錯誤D、如果零假設(shè)是錯誤的，但作出的決策是接受備擇假設(shè)，則犯了采偽錯誤般步驟1根據(jù)題意提出零假設(shè)H0，再根據(jù)實際問題提出備選假設(shè)H1（分為雙側(cè)，單側(cè)左尾與右尾）。2構(gòu)造統(tǒng)計量，確定其分布；再根據(jù)顯著水平a,確定統(tǒng)計量的接受域與拒絕域。3根據(jù)樣本的值，算出統(tǒng)計量的值。4根據(jù)統(tǒng)計量的值是否屬于接受域來作出統(tǒng)計決策，接受H0或拒絕H0（即接受HJ。常用假設(shè)檢驗單個正態(tài)總體均值檢驗兩個正態(tài)總體的均值差Q2已知時，檢驗假設(shè)H0:卩=卩0。采用Z檢驗法：H）屮=卩0對斗屮工比（或斗:―出或斗屮<卩0）;當(dāng)H0成立時，統(tǒng)計量Z丄卡~N（0,1）；0oNn統(tǒng)計量Z的拒絕或IZI>u/2（或Z^u或Na/2a巴）；根據(jù)樣本值x］,x2,^,x，算出統(tǒng)計量Z的值；12n根據(jù)Z的值作出統(tǒng)計決策。g2未知時，檢驗假設(shè)H0:卩=卩0。采用t-檢驗法:H）屮=卩0對斗屮工比（或斗:―出或斗屮<卩0）；當(dāng)H0成立時，統(tǒng)計量T丄尹~t（n-1）；0S/Vn統(tǒng)計量T的拒絕域ITI>t/2（n-1）（或T>a/2t（n-1）或T<-t（n-1））；aa根據(jù)樣本值x1,x2,^,x，算出統(tǒng)計量T的值；12n根據(jù)T的值作出統(tǒng)計決策。3G］2g22已知時，檢驗假設(shè)H0：卩］=卩2。米用Z檢驗法：H0：片=卩2對H］：片和2（或H］：卩］>卩2,或H］：卩］<卩2）；當(dāng)H0成立時，統(tǒng)計量Z=@辛）-（片卩』?N（0,1）；Vn1n2統(tǒng)計量Z的拒絕域IZI>u/2（或Z>u或Z<-u）；a/2aa根據(jù)樣本值x1,x2，…,x，算出統(tǒng)計量Z的值；12n根據(jù)Z的值作出統(tǒng)計決策。4.G］2,G22未知但G］2r22時，檢驗假設(shè)H0：卩］=卩2。米用t-檢驗法：H0：片=卩2對H］：片和2（或H］：卩］>卩2,或H］：卩］<卩2）；當(dāng)H0成立時，統(tǒng)計量T-嚴(yán)空也些=0V（n1-1）S12+（n2-1）S22nn（n+n-2）/亠、12、12'~t（n1+n2-2）；Vn1+n212統(tǒng)計量T的拒絕域ITI>t”（n1+n2-2）（或T>t（n1+n2-2）a/212a12或T<-ta（n1+n2-2））；根據(jù)樣本值x1,x2,^,x，算出統(tǒng)計量T的值；根據(jù)T的值作出統(tǒng)計決策。單個總體方差的檢驗兩個正態(tài)總體的方差的檢驗5檢驗假設(shè)H0:g2=q,采用咒2-檢驗法：H°：g2=g02對斗：H:g2vg2)；10八02。g2hg。2(或H1：g2>g02,或6.檢驗假設(shè)H0:g12=g22。采用F-檢驗法：H:g2=g2對H:g2hg2(或H:g2>g2,或012112112H1：G]2vg22)；(n-l)S2常用假設(shè)檢驗當(dāng)H0成立時，統(tǒng)計量咒2='"二?咒2(n-1)；0g02統(tǒng)計量％2的接受域［X21-a/2(n-1),X2a/2(n-1)］(或接受域僅2少-1),+8),或接受域(a,咒￡@-1))根據(jù)樣本值xx..,x，算出統(tǒng)計量咒2的值；12n根據(jù)咒2的值作出統(tǒng)計決策。當(dāng)H0成立時，統(tǒng)計量F=迸?F(n1-1,n2-1)；°2統(tǒng)計量F的接受域［f,/9(n1-1,n9-1),f”(叫-1,n?-1)1o/212a/212(或接受域(fa(n1-1,n2-1),+e)或接受域；(Q，f1-a(n1-1，n2-1)))；根據(jù)樣本值x1?x?，…,x，算出統(tǒng)計量F的值；12n根據(jù)F的值作出統(tǒng)計決策。*7.大樣本場合概率p的假設(shè)檢驗。采用Z檢驗法：H0：P=P0對H1:PhP0(或H1：P>P0,或H1:P<P0)；當(dāng)Ho成立時，統(tǒng)計量Z=~N(0,1)(n充分大時);?nPo(1-P。)統(tǒng)計量Z的拒絕域IZI>u/2(或Z>u或Z<-u)；/2根據(jù)樣本值x1,x2,.,x，算出統(tǒng)計量Z的值；12n根據(jù)Z的值作出統(tǒng)計決策。*8.分布函數(shù)的擬合優(yōu)度檢驗檢驗總體是否服從某種分布，兩種分類特征或兩個隨機(jī)變量是否相互獨立可以采用擬合優(yōu)度咒2檢驗法。例1：甲、乙兩廠用同樣的生產(chǎn)過程生產(chǎn)同一種塑料，為比較兩廠塑料的強(qiáng)度，分別從甲、乙兩廠取樣9例與16例，測得各自的平均強(qiáng)度分別為39與35。據(jù)經(jīng)驗知，甲、乙兩廠家生產(chǎn)的塑料強(qiáng)度均服從正態(tài)分布，且方差分別為32與52.在