考研數(shù)學(xué) d5考研基礎(chǔ)班公開課一等獎?wù)n件省賽課獲獎?wù)n件

第五章定積分一、基本內(nèi)容二、與概念有關(guān)問題三、定積分計算辦法四、典型例題與解答1第1頁一、基本內(nèi)容總趨于確定極限I,則稱此極限I為函數(shù)上定積分,即此時稱f(x)在[a,b]上可積.1.定積分定義:2第2頁積分上限積分下限被積函數(shù)被積體現(xiàn)式積分變量積分和注意：dx(1)區(qū)分：是一種確定常數(shù).定與不定區(qū)分？3第3頁(5)(3)定積分與區(qū)間分割辦法無關(guān)，(4)當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上定積分存在時，稱在區(qū)間上可積.(2)定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，使用什么字母表達(dá)無關(guān).即dudtdx.而與積分變量取法無關(guān).與曲邊梯形面積變速直線運動路程不然稱在區(qū)間上不可積.4第4頁曲邊梯形面積曲邊梯形面積負(fù)值2.定積分幾何意義abxyoabxyodxdx1)當(dāng)時，A2)當(dāng)時，5第5頁3)當(dāng)在[a,b]上有正有負(fù)時，dx表達(dá)各部分面積代數(shù)和.即它是介于x軸、函數(shù)圖形及兩條直線x=a，x=b之間各部分面積代數(shù)和.且x軸上方面積取正號；在x軸下方面積取負(fù)號.幾何意義：dx故6第6頁定理13.存在定理函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)即dx存在.在區(qū)間上可積.定理2且只有有設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界，限個間斷點則在區(qū)間上可積.定理證明省略,只要求懂得結(jié)論.定理3設(shè)函數(shù)在區(qū)間上只有有限個第一類間斷點則在區(qū)間上可積.故變化積分區(qū)間內(nèi)有限個點處函數(shù)值，不影響積分值.7第7頁4.定積分性質(zhì)線性性：(1)可加性：(2)(3)dx則若(4)（性質(zhì)中包括到定積分均存在）解:例.比較積分值大小.(估值定理)(5)則(6)定積分中值公式則最少存在一點使8第8頁說明:可把故它是有限個數(shù)平均值概念推廣.積分中值定理對因dx9第9頁5.積分上限函數(shù)6.下列幾個符號區(qū)分與聯(lián)系1)以上幾個符號存在條件及概念.2)在存在情況下，它們區(qū)分與聯(lián)系.區(qū)分：一種確定常數(shù)無數(shù)個函數(shù)一種函數(shù)一種確定常數(shù)結(jié)識它嗎？10第10頁聯(lián)系：11第11頁☆定積分定義定理：或者二、與概念有關(guān)問題如:12第12頁例1.用定積分表達(dá)極限:解:定理：或者另解:13第13頁解:

將數(shù)列合適放大和縮小，以簡化成積分和形式已知利用夾逼準(zhǔn)則可知(1998考研)例2.求14第14頁例3.如圖連續(xù)函數(shù)在區(qū)間，上圖像分別是直徑為1上、下半圓周，在區(qū)間，上圖形分別是直徑為周，設(shè)，則下列結(jié)論正確是（）上、下半圓B.

C.

D.A.15第15頁16第16頁設(shè)連續(xù)，則解:A例4.練習(xí)：求17第17頁例5.設(shè)解法1:解法2:對已知等式兩邊求導(dǎo),得18第18頁例6.設(shè)求解:無法直接求出f(x),由于沒有初等函數(shù)原函數(shù)，因此采取分部積分法.19第19頁設(shè)連續(xù)，且解：例7則思考題:解：求定積分為常數(shù),故應(yīng)用積分法定此常數(shù).設(shè),則20第20頁三、定積分計算辦法：1.定積分基本計算辦法（常規(guī)計算辦法有三種）（1）微積分基本公式（2）定積分換元公式（3）定積分分部積分公式注意各個公式成立條件(牛頓—萊布尼茨公式)

則定理1(微積分基本公式)注意：該公式條件是在積分區(qū)間上連續(xù)，可推廣為積分區(qū)間上有有限個第一類間斷點時公式也成立.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有定理2(分部積分公式)定理3(定積分換元法)

設(shè)函數(shù)單值函數(shù)滿足:1)2)在上則21第21頁說明:1)當(dāng)

<

,公式仍成立.2)必需注意不換元時不換限，換元同步應(yīng)換限,3)與定積分換元公式相比，這里沒有要求當(dāng)然最佳選單調(diào)區(qū)間.上限與上限對應(yīng)，下限與下限對應(yīng).單調(diào)，4)假如在上值域超出時，只要在這個值域上連續(xù)即可.5)該公式作用是能夠簡化計算.22第22頁如：計算解令則∴原式=且由定積分幾何意義P243例1x0at023第23頁當(dāng)時計算解令則且當(dāng)時∴原式=說明：若由x范圍求t范圍時如下做法對嗎？在上x0at24第24頁2.定積分計算特殊辦法（公式法，奇偶性，周期性，幾何意義等）(1)(3)n為偶數(shù)n為奇數(shù)25第25頁3.幾個主要代換技巧及常用結(jié)論

1)奇偶函數(shù)定積分即oxy-aaa-axy0結(jié)論1：當(dāng)在上連續(xù)，且有(2)為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)，則(1)26第26頁證:奇偶偶倍奇零27第27頁奇函數(shù)解:例1.計算原式偶函數(shù)單位圓面積28第28頁證:例2.證明證畢則經(jīng)驗：特點：使限變號特點：不變化積分限29第29頁結(jié)論2：若在上連續(xù)，證明（1）（2）證:（1）設(shè)x0t0尤其：2)兩個常用公式(n為正整數(shù))30第30頁(2)設(shè)證:31第31頁例3.計算解:該被積函數(shù)原函數(shù)不是初等函數(shù)練習(xí)：

求提醒：

分部積分后用公式32第32頁3)積分上限函數(shù)奇偶性為偶函數(shù)（1）為奇函數(shù)（2）證明（1）同理可證明（2）設(shè)是連續(xù)函數(shù)，.證明：結(jié)論3：P250第10題33第33頁當(dāng)為周期函數(shù)，也是周期函數(shù)設(shè)是連續(xù)函數(shù)，是原函數(shù)，則（）設(shè)是連續(xù)函數(shù)，下列函數(shù)必為偶函數(shù)是（）02研1999研當(dāng)為奇，必偶當(dāng)為偶，必奇當(dāng)為單調(diào)增函數(shù)，也是單調(diào)增函數(shù)34第34頁4)周期函數(shù)定積分設(shè)是以T為周期連續(xù)函數(shù)，則證明由于證畢結(jié)論4：35第35頁四、典型例題與解答證:

例1.右端設(shè)為連續(xù)函數(shù)，試證分部積分=左端36第36頁例2.設(shè)證

:設(shè)且試證:則故F(x)在[a,b]上單調(diào)遞增,證畢37第37頁例3.證明

證：是以

為周期函數(shù).證畢04研提醒：38第38頁練習(xí)：設(shè)在上連續(xù)，為偶函數(shù)，且滿足條件(1)證明：(2)利用(1)結(jié)論計算:提醒：證:39第39頁練習(xí)：設(shè)在上連續(xù)，為偶函數(shù)，且滿足條件(1)證明：(2)利用(1)結(jié)論計算:40第40頁例4.解:考研題計算41第41頁另解

求解:

令則原式42第42頁例5.求解:如圖43第43頁例6.計算周期周期函數(shù)解:44第44頁思考:

1.下列作法是否正確?2.有時通過換元,反常積分和常義積分能夠互相轉(zhuǎn)化.例如,定理3(定積分換元法)

設(shè)函數(shù)單值函數(shù)滿足:1)2)在上則45第45頁練習(xí):如圖