2020-2021學(xué)年遼寧省鞍山市高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（附答案詳解）

2020-2021學(xué)年遼寧省鞍山市高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共16小題，共80.0分）

1.已知集合4={x[/<2%},集合8={x[l<xV3},則力n8=（）

A.{x\2<%<3}B.{x\l<%<2}C.{x|0<%<3}D.{x|0<x<2}

2.已知命題尸：3a<0,使得。+荒7>0，則命題~~）9為（）

A.3a>0,使得a+B.Va<0,都有

C.3a<0,使得含WOD.VQVO,都有。+募工。

3.下列區(qū)間中，函數(shù)y=也（一/+2%）單調(diào)遞增的區(qū)間是（）

A.（0,1）B.（-8,1）C.（1,+口）D.（1,2）

4.已知f（x）=[[；）0r則函數(shù)g（x）=/（x）-e-'的零點(diǎn)個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

5.函數(shù)/（x）=的部分圖象大致為（）

6.定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足f(l+x)=/(1-乃，若/(x)在區(qū)間［1,2］為增函數(shù),

則/(%)()

A.在區(qū)間［-4,-3］上是增函數(shù)，在區(qū)間［2,3］上是增函數(shù)

B.在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間［2,3］上是減函數(shù)

C.在區(qū)間［—4,一3］上是減函數(shù)，在區(qū)間［2,3］上是增函數(shù)

D.在區(qū)間［-4,-3］上是減函數(shù)，在區(qū)間［2,3］上是減函數(shù)

7.已知函數(shù)f(x)=|《竺且三個實(shí)數(shù)a,b,c(其中a<b<c)滿足/(a)=

/(b)=/(c),則搟的取值范圍是()

A.(0,6)B.(6,9)C.(8,11)D.(5,8)

8.已知函數(shù)〃%)=/。93(/+1)-依是定義在/?上的偶函數(shù)，設(shè)a=/(》，b=

/(In,c=f(—eT)，則。，b,c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

9.等差數(shù)列｛%｝中,ar+a5=10,a4=7,則數(shù)列｛%｝的公差為()

A.1B.2C.3D.4

10.如圖，在平行六面體ABC。GO1中，已知而=五,

而=方，標(biāo)=3則用向量示3,不可表示向量則為

()

A.a+b+c

B.a—b+c

第2頁，共38頁

C.a+b-c

D.—a+Z?+c

11.在等比數(shù)列｛an｝中,%=1,公比|q|H1,若am=%a2a3a4a5,則m=().

A.9B.10C.11D.12

12.等差數(shù)列｛a.｝的公差為d,前n項(xiàng)的和為%,當(dāng)首項(xiàng)的和d變化時，a2+as+的1是

一個定值，則下列各數(shù)中也為定值的是（）

A.S7B.S8C.S13D.S15

13.公元480年左右，數(shù)學(xué)家祖沖之估計(jì)圓周率的值的范圍是：3.1415926到3.1415927

之間，在之后的800年里祖沖之計(jì)算出的圓周率都是最準(zhǔn)確的，所以，國際上曾提

議將3.1415926稱為“祖率”，這是中國數(shù)學(xué)的偉大成就.某老師為了幫助學(xué)生了

解“祖率”，讓同學(xué)們把小數(shù)點(diǎn)后的7個數(shù)字1,4,1,5,9,2,6進(jìn)行隨機(jī)排列，

整數(shù)部分3不變，那么得到小于3.14的不同數(shù)字個數(shù)為（）

A.2280B.440C.720D.240

14.唐代詩人李質(zhì)的詩估從軍行少開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河“，

詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題一一“將軍飲馬”問題：即將軍在觀望烽火之后從

山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使路程最短？在平面直角

坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在區(qū)域?yàn)楫a(chǎn)+產(chǎn)35,若將軍從點(diǎn)4（4,0）出發(fā)，河岸線所在直

線方程為x+y=8,并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲

馬”的最短路程為（）

A.2V5B.3V5C.4V5D.5代

15.某地組織普通高中數(shù)學(xué)競賽.初賽共有20000名學(xué)生參賽，考試結(jié)束后發(fā)現(xiàn)考試成

績X（滿分150分）服從正態(tài)分布N（110,100）,決定考試成績140分及以上者可以進(jìn)

入決賽.已知進(jìn)入決賽的人數(shù)為26,那么估計(jì)本次考試成績130分以上的人數(shù)大

約為（）

附：-er<X</z+a）=0.6826,P（〃-2cr<X<〃+2。）=0.9544,P（〃-

3。<X<4+3。）=0.9974.

A.456B.1587C.955D.683

16.如果數(shù)列｛aj滿足的=2,a2=l,且瞪蕓=督”，那么此數(shù)列的第1。項(xiàng)

為（）

A.奈B摩C.2D.1

二、多選題(本大題共8小題，共40.0分)

17.已知實(shí)數(shù)mb,則下列命題為真命題的是()

A.若a>0>b,則那

B.“a>b”是“a2>b2n的充要條件

C.若a>b>1,則loga2021<logb2021

D.若ab>0,貝修+

ab

18.下列函數(shù)在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的有()

A./(%)=：B./(x)-e~x-ex

C./(x)=ln(—x+y/x2+1)D./(x)=

19.設(shè)點(diǎn)P是曲線丫=6*-%+|上的任意一點(diǎn)，P點(diǎn)處的切線的傾斜角為a,則角a的

取值范圍包含下列哪些區(qū)間？()

A.B.麻與)C.嗚)D.e兀)

20.已知關(guān)于x的方程標(biāo)=久。(其中a>1,x>0)有且僅有一個解，令九(乃=/一

xa(a>l,x>0),則下列結(jié)論正確的()

A.a=e

B.h(x)在區(qū)間(l,e)單調(diào)遞減

C.x=e是八(x)的零點(diǎn)

D.八(1)是/i(x)的極小值，x=e是/i(x)的極大值點(diǎn)

21.關(guān)于(a-b)i°的說法，正確的是()

A.展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為1024

B.展開式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大

C.展開式中第5項(xiàng)和第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大

D.展開式中第6項(xiàng)的系數(shù)最小

22.若直線y=2x-l與雙曲線/一?=1有且只有一個公共點(diǎn)，則，〃的值可能為()

A.3B.4C.8D.10

23.如圖，在正方體48。。-4送修1。1中，點(diǎn)尸在線段&C上運(yùn)動，貝久)

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A.直線BDi1平面

B.點(diǎn)尸到平面46。的距離為定值

C.異面直線AP與所成角的取值范圍是

D.直線GP與平面&GD所成角的正弦值的最大值為日

24.已知數(shù)列｛%｝,｛4｝滿足停+1=2an+加,匕+i=an+2%+In詈,n€N+.如果

的+瓦>0,那么下列說法正確的有()

A.數(shù)列｛an-bj單調(diào)遞增B.數(shù)列｛即+bn｝單調(diào)遞增

C.數(shù)列｛。工從某項(xiàng)以后單調(diào)遞增D.數(shù)列｛久｝從某項(xiàng)以后單調(diào)遞增

三、單空題(本大題共8小題，共40.0分)

25.若%2+2%一m>0”為假命題，則實(shí)數(shù)機(jī)的最小值為.

-IO

26.已知/'(>)=2alnx+x2+(b-4)x(a>0,b>0)在x=1處取得極值，則公+的最

小值為?

1

27.已知/(x)=P2久廣.,若a=1,且f(m)=1,則m=；若對任意

的t>0,函數(shù)y=〃x)-t-l有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

28.已知函數(shù)/'(X)一評+x-x仇X存在兩個極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

29.已知等比數(shù)列｛5｝各項(xiàng)均為正數(shù)，若%+。3=16,a5+a7=4,則｛%｝的公比為

30.已知拋物線y2=4%的焦點(diǎn)為凡定點(diǎn)4(2,1),設(shè)尸為拋物線上的動點(diǎn)，|P4|+|PF|

的最小值為,此時點(diǎn)尸坐標(biāo)為.

31.如果Cl1+a2+。3+…+即=2"—1,那么“上“+〃4"+?"+""

人乙》“。1+。202+。3an+an+i

32.已知0VP(A)<1,且P(B|A)=P(B).若p(4)=0.6，P(B|4)=0.3，則

PQ4B)=.

四、解答題(本大題共12小題，共140.0分)

33.在①4={用士>1}，@A={x\x2-2x-3<0],③A={x||x-1|<2}這三個

條件中任選一個，補(bǔ)充在下面橫線上，求解下列問題：

設(shè)集合,集合B={x|(x-2m)(x-m2-1)<0,m1},

(1)定義4-B={x|x€4,且x￡B},當(dāng)m=0時，求A-B；

(2)若4UB=A,求實(shí)數(shù)，”的取值范圍.

34.已知函數(shù)f(x)=loga(2-x)+loga(x+4)(a>0且a豐1).

(1)若a>1,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)f(x)的最小值為一點(diǎn)求a的值.

35.若函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，g(%)是R上的奇函數(shù)，且滿足/(%)-g(x)=cos2%+

(1)求/'(%),g(x)的解析式；

(2)令九(%)=/(%)+g(x),證明函數(shù)九(%)有且只有1個零點(diǎn).

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36.已知函數(shù)/(x)=3-2?3”,g(x)=3*.

(1)當(dāng)%e[1,2]時,求函數(shù)h(x)=[/(x)+1]-g(x)的值域；

(2)如果對任意的xG[1,2]不等式/2(x)>m[g(x)-3]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范

圍.

37.連江可門港是福州市“一城兩翼”城市發(fā)展戰(zhàn)略格局中的北翼，位于連江縣東北部

的黃岐半島，羅源灣南岸，與臺灣島一衣帶水，是福州港的重要深水港區(qū)，是福建

省石化等臨海制造業(yè)基地.可門港內(nèi)的可門開發(fā)區(qū)有多家化工公司.

為了保護(hù)環(huán)境，減少污染，發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)，綠邦化工有限公司在我省某大學(xué)的科研

成果支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，新上了把二氧化碳處理轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品

的項(xiàng)目.經(jīng)測算，該項(xiàng)目月處理成本y(元)與月處理量4(噸)(xe[50,400])之間的函

-x3-100x2+5000%,x€[50,100)

數(shù)關(guān)系可近似地表示為y=,，且每處理一噸二

-x2-100x+45000,%e[100,400]

、2

氧化碳可利用的化工產(chǎn)品價值為200元，若該項(xiàng)目不獲利，政府相關(guān)部門將給予補(bǔ)

償.

(1)當(dāng)xe[50,100)時，判斷該項(xiàng)目能否獲利？若獲利，求出最大利潤；若不獲利,

則政府相關(guān)部門每月至少需要補(bǔ)償多少元才有可能使項(xiàng)目不虧損？

(2)該項(xiàng)目每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？

38.已知函數(shù)/(%)=axex-2—Inx—%+2.

(1)設(shè)％=2是函數(shù)/(%)的極值點(diǎn)，求小并求/(%)的單調(diào)區(qū)間;

(2)證明：當(dāng)a2｝時，/(%)>0.

39.某數(shù)學(xué)興趣小組為了探究參與某項(xiàng)老年運(yùn)動是否與性別有關(guān)的問題，對城區(qū)60歲

以上老人進(jìn)行了隨機(jī)走訪調(diào)查，得到的數(shù)據(jù)如表:

男性女性總計(jì)

參與該項(xiàng)老年運(yùn)動P8X

不參與該項(xiàng)老年運(yùn)動q32)'

總計(jì)6040100

從參與該項(xiàng)老年運(yùn)動的被調(diào)查者中隨機(jī)抽取1人個人是男性的概率是|.

(1)求2x2列聯(lián)表中小q,x,y的值;

(2)是否有90%的把握認(rèn)為參與該項(xiàng)老年運(yùn)動與性別有關(guān)？

n(ad-bc)2

參考公式及數(shù)據(jù):其中?！=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

a=P(72>k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

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40.已知數(shù)列｛aj的前?項(xiàng)和Sn滿足：Sn+Sm=Sn+m,Vm,n&N+.

(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)a”；

(2)設(shè)數(shù)列｛九｝滿足bn=2Sn,求數(shù)列｛Sn-%｝的前n項(xiàng)和

41.如圖ZD〃BC,且4。=2BC,AD//EG,RAD=EG,CD//FG,S.CD=2FG,AD1CD,

DG_L平面ABCD,AD=CD=DG=2.

(1)求二面角E-BC-F的余弦值；

(2)若點(diǎn)尸在線段￡>G上，且直線BP與平面ADGE所成的角為不求線段。戶的長.

42.某籃球隊(duì)內(nèi)部進(jìn)行一次罰籃測試，規(guī)定：每名隊(duì)員若連續(xù)罰中兩次，則不用繼續(xù)罰

籃，判定為通過測試；否則罰籃5次停止測試，已知隊(duì)員甲罰球命中率為

(1)用X表示甲罰球的次數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(2)記“甲罰籃5次”為事件A,“甲通過測試”為事件B,求P(B|4).

43.已知長度為3的線段的兩個端點(diǎn)A,B分別在x軸和y軸上運(yùn)動，動點(diǎn)尸滿足而=

2同，記動點(diǎn)P的軌跡為曲線C

(1)求曲線C的方程；

(2)設(shè)曲線C與y軸的正半軸交于點(diǎn)過點(diǎn)。作互相垂直的兩條直線，分別交曲

線C于M,N兩點(diǎn)，連接MN,試判斷直線是否經(jīng)過定點(diǎn).若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；

若否，請說明理由.

44.Sn為數(shù)列｛冊｝的前“項(xiàng)和,已知與+Sn=2"-1.

n2n

(1)設(shè)b=2a”，證明：bn+1-bn=2,并求與；

(2)證明：￡之12<3.

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：因?yàn)榧?=(x\x2<2x}={x|0<%<2),

又集合B={x|l<x<3},

所以4nB={x[l<x<2}.

故選：B.

先利用一元二次不等式的解法求出集合A,再由集合交集的定義求解即可.

本題考查了集合的運(yùn)算，主要考查了集合交集的求解，解題的關(guān)鍵是掌握交集的定義,

屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：根據(jù)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題知，

命題P：3a<0.使得a+^^y>0,

它的否定命題是-Va<0,都有a+^yW。.

故選：D.

根據(jù)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，寫出該命題的否定命題即可.

本題考查了存在量詞命題的否定是全稱量詞命題應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：由-/+2x>0,解得0cx<2,即函數(shù)的定義域?yàn)?0,2),

令t=-/+2x,該函數(shù)的對稱軸方程為％=1,且圖象是開口向下的拋物線，

在(0,1)上是增函數(shù)，

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得，函數(shù)y=ln(-x2+2x)單調(diào)遞增的區(qū)間是(0,1).

故選：A.

由對數(shù)式的真數(shù)大于0求得函數(shù)的定義域，再求出內(nèi)層函數(shù)的增區(qū)間，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的

單調(diào)性得答案.

本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的求法，對應(yīng)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，一要注意先確定函數(shù)的定

義域，二要利用復(fù)合函數(shù)與內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行判斷，判斷的依

據(jù)是“同增異減”，是基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：令g(x)=0=/(x)=e~x,

則函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個數(shù)即函數(shù)y=/(x)和y=e-圖象交點(diǎn)的個數(shù),

數(shù)形結(jié)合易得函數(shù)y=和y=e-x圖象共有2個交點(diǎn)，

所以函數(shù)g(x)有2個零點(diǎn).

故選:B.

作出函數(shù)y=/(乃和丫=e-x的草圖，看交點(diǎn)個數(shù)即可知道函數(shù)g(x)=/(%)-e-x的零

點(diǎn)個數(shù).

本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，直觀想象的核心素養(yǎng)，屬

于中檔題.

5.【答案】B

【解析】解：函數(shù)的定義域?yàn)?—8,0)u(0,+8),

、2T+1,、1+2X2X+1r，、

因?yàn)?'(-x)=^YCOSC-X)=—■COSX=--COSX=-/(x).

所以/(%)為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)A和。，

令f(x)=0,則X=1+/CTT,k&Z,

所以在)，軸右側(cè)，函數(shù)/(X)的第一個零點(diǎn)為久=壬

不妨取4=1,則〃1)=巖?cosl>0,即選項(xiàng)8正確，選項(xiàng)C錯誤.

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故選：B.

由函數(shù)的奇偶性可排除選項(xiàng)A和D,再考慮xe(0,》時，不妨比較/(I)與0的大小關(guān)系，

即可得解.

本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一般可從函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性或特殊點(diǎn)處的函數(shù)值等方

面著手思考，考查數(shù)形結(jié)合思想、邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)"X)滿足/(I+X)=/(I-X),即f(X)的圖象關(guān)于直線X=1

對稱，則有f(-x)=f(2+x),

又由f(x)為偶函數(shù),則有"%)=/(-%)=/(2+x),

則有f(x)=f(x+2),即f(x)是周期為2的周期函數(shù)，

/(x)在區(qū)間［1,2］上為增函數(shù)，而/(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，則/Q)在區(qū)間［0,1］上

為減函數(shù)，故f(x)在區(qū)間［2,3］上為減函數(shù)；

f(x)在區(qū)間口,2］上為增函數(shù)，其周期為2,則f(x)在區(qū)間［3,4］上為增函數(shù)，/(%)為偶函

數(shù)，則/(%)在區(qū)間［-4,3］上為減函數(shù)；

故選：

根據(jù)題意，由〃1+工)=/(1-%)分析可得/。)的圖象關(guān)于直線％=1對稱，進(jìn)而可得

/"(X)是周期為2的周期函數(shù)，據(jù)此分析可得f(x)在區(qū)間［-4,—3］和［2,3］上的單調(diào)性，即

可得答案.

本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)的對稱性，屬于中檔題.

7.【答案】C

【解析】解：作出函數(shù)的圖象如圖,

由/(a)=f(b)=/(c)，a<b<c9可得a￡(0,1)，be(1,8),cG(8,11),

由|log2al=llogz^l，得一log2a=logzb，即log2ab=0,得ab=1.

.?*=c6(8,11),

故選：C.

作出分段函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得a,b,c的范圍，再由|log2al=|log2bl結(jié)合對數(shù)

的運(yùn)算性質(zhì)求得ab=1,則答案可求.

本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

8.【答案】D

【解析】解：是定義在R上的偶函數(shù)，

???/(I)=/(-1).???log310-k=log3Y+^=log310-2+k,即k=1,

???/(x)=2。%(9*+1)-x,

?.?"乃=和湎-1=西？

?,?當(dāng)%>0時，>0,即/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

???f。)為偶函數(shù)，...c=/(-e-9)=/W務(wù)，

令y=Inx—%+1,則y'=1-1,

當(dāng)%>1時，y'<0,y單調(diào)遞減；當(dāng)0v%vU寸，y'>0,y單調(diào)遞增，

.??當(dāng)％=1時、y取得最大值，為0,

y=inx-%+1<0,即ZnxWx-l,當(dāng)且僅當(dāng)％=1時，等號成立，

.1010.1_?11

?l?lnT<T-1=?e-L

y(x)在(o,+8)上單調(diào)遞增，

:.c>a>b.

故選：D.

由偶函數(shù)的性質(zhì)可得％=1,再對/(x)求導(dǎo)，推出/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，然后結(jié)合

函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，以及利用中間值法比較a,b,c中自變量的大小，從而得解.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用，考查邏輯推理

能力和運(yùn)算能力，屬于難題.

9.【答案】B

第14頁，共38頁

【解析】解：設(shè)數(shù)列｛斯｝的公差為d,則由的+(25=10,。4=7,可得2%+4d=10,

的+3d=7,解得d=2,

故選：B.

設(shè)數(shù)列｛an｝的公差為d,則由題意可得2%+4d=10,%+3d=7,由此解得d的值.

本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】D

【解析】解：~BD[=~BA+AD+~DD[=-a+b+c>

故選：D.

從要表示的向量的起點(diǎn)出發(fā)，沿著平行六面體的棱把向量順次首尾相連，寫出結(jié)果，這

樣三個向量都是指定的基底中的向量，得到結(jié)果.

本題考查向量的基本定理及其意義，在幾何體中一般用由一個公共點(diǎn)的三個向量作為基

底來使用，這種題目和平面向量中的題目做法相同.

11.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式的靈活應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得由?=送，結(jié)合條件和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程,

求出機(jī)的值.

【解答】

解：根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得，=說，

又-。通2a3a4a5，所以dm="，

因?yàn)镃lm—CliqmT—qm-1,a3_a^2=勺2,

所以qm-i=(q2>,所以m-1=10,即m=ll,

故選：C.

12.【答案】C

a

【解析】解：??,02+@8+n=(。1+d)+(a1+7d)+(%+lOd)=3(%+6d)=3a7,

且。2+@8+是一個定值，

.??。7為定值，

又S13=筆蛔~=13。7,

S13為定值.

故選：C.

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡已知的式子，得到關(guān)于＜17的關(guān)系式，由已知式子為定值得

到。7為定值，再利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)化簡S13,也得到關(guān)于的

關(guān)系式，進(jìn)而得到S13為定值.

此題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求和公式，以及等差數(shù)列的性質(zhì)，。7的值是已知與未

知橋梁與紐帶，靈活運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的值是解本題的關(guān)鍵.

13.【答案】D

【解析】解：由題意可得，小數(shù)點(diǎn)后兩位為3.11或3.12時，余下的5個數(shù)全排列得到的

數(shù)字小于3.14,

故小于3.14的不同數(shù)字個數(shù)為2鹿=240.

故選：D.

由題意可得，小數(shù)點(diǎn)后兩位為3.11或3.12時，余下的5個數(shù)全排列得到的數(shù)字小于3.14,

即可求解.

本題主要考查排列及簡單計(jì)數(shù)問題，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】B

【解析】解：設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線x+y=8的對稱點(diǎn)B(a,b),設(shè)軍營所在區(qū)域的圓心為。,

根據(jù)題意，田。|-6為最短距離，

A8的中點(diǎn)為(等，9，直線48的斜率為1,

f—+-=8

由J'_2,解得°=8,6=4,

(a—4

所以|8。|一通=,82+42—通=3V5.

故選：B.

第16頁，共38頁

求出4關(guān)于x+y=8的對稱點(diǎn)B,根據(jù)題意，|B0|-遙為最短距離，求出即可.

本題考查函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，考查點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的計(jì)算，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想,

是中檔題.

15.【答案】A

【解析】解：???考試成績X(滿分150分)服從正態(tài)分布N(110,100),

:.〃=110,a2=100,即。=10,

...P(X>130)=L丁3°)=12^544=00228,

故本次考試成績130分以上的人數(shù)大約為20000x0.0228=456人.

故選：A.

根據(jù)已知條件，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性，即可求解.

本題主要考查了正態(tài)分布的對稱性，掌握正態(tài)分布的對稱性是解決正態(tài)分布概率的關(guān)鍵,

屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查了數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列構(gòu)造法，訓(xùn)練了累加法求數(shù)列的和，是中檔題.把

己知的遞推式取倒數(shù)，得到新數(shù)列｛;-十｝構(gòu)成以5一十為首項(xiàng)，以1為公比的等比

anan-la2ai

數(shù)列.求出該等比數(shù)列的通項(xiàng)后利用累加法可得數(shù)列｛5｝的第10項(xiàng).

【解答】

解：由產(chǎn)法=廿等，得

an-iananan+l

an'an-ian,an+i

._1__1_

,?=f

anan-ian+ian

]__1_

即沖于=1,

anan-i

???｛十-3｝構(gòu)成以2-+為首項(xiàng)，以1為公比的等比數(shù)列,

an^n-1。2%

CY11.11

Vai=2,a=1,=1

142a2al22

則，￡="1n1

2f

11=_一1,

U，2Q12

-1--1-=1一,

。3a22

1_____￡_1

。10。92'

累加得：2■+鴻+；5,

1

???"10=g-

故選Q.

17.【答案】ACD

【解析】解：對于A：a>0>b,所以三—《=哼>0,則工>：,故A正確；

n

對于B：當(dāng)“a>b>0”時,“a?>爐”成立，當(dāng)?a2>b2?成立，則“0>b不

一定成立，故“a>b”是“a?>b2，t的既不充分也不必要條件，故B錯誤；

對于C：由于a>b>l,所以當(dāng)x>l時，滿足log》》>logM，即loga2021<logb2021

成立，故C正確；

對于D：ab>0,則：+盛22,(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立)，故。正確；

故選：ACD.

直接利用基本不等式的應(yīng)用，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，充分條件和必要條件的應(yīng)用，基

本不等式的應(yīng)用判斷A、B、C、。的結(jié)論.

本題考查的知識要點(diǎn)：基本不等式的應(yīng)用，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，充分條件和必要條

件的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】BC

【解析】解：A選項(xiàng)，f(x)的定義域?yàn)?-8,0)U(0,+8),在定義域內(nèi)不是減函數(shù)，A

選項(xiàng)錯誤.

x

B選項(xiàng),定義域?yàn)?逐-ef=-/(x),為奇函數(shù)，又尸(x)=-e-x-e<0,

所以/(x)單調(diào)遞減，8選項(xiàng)正確.

C選項(xiàng)，定義域?yàn)镽,/(—x)+/(x)=ln(x+Vx2+1)+ln(—x+Vx2+1)=Ini=0,

第18頁，共38頁

為奇函數(shù);

f(x)=ln(^===),又當(dāng)X>0時，y=X+，x2+1單調(diào)遞增,所以/(x)在(0,+8)上單

調(diào)遞減，由奇偶性可得在R上遞減.C選項(xiàng)正確.

。選項(xiàng)，定義域?yàn)镽,/(-%)==二===-/(X),為奇函數(shù)，又八為=號二=1一

等為增函數(shù)，。選項(xiàng)錯誤.

ex+l

故選：BC.

利用定義判斷函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)，復(fù)合函數(shù)的“同增異減”判斷單調(diào)性.

本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

19.【答案】CD

【解析】解：丫=靖一》+|的導(dǎo)數(shù)為了=/一1,

由蠟>0,可得切線的斜率上>一1,

由tana>-1,可得0<a<?或如<a<n,

則C,。正確，

故選：CD.

求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由指數(shù)函數(shù)的值域，可得斜率的范圍，由正切函數(shù)

的圖象和性質(zhì)，可得傾斜角的范圍.

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及直線的傾斜角的范圍，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于

基礎(chǔ)題.

20.【答案】ABC

【解析】解：因?yàn)殛P(guān)于X的方程aX=%a(其中a>1,%>0)

有且僅有一個解，

所以xbia=a/nx,在(0,+8)上有且只有一個解，

所以等=詈在(6+8)上有且只有一個解，

設(shè)/'㈤=等(％>0)，財(cái)'(x)=空，

當(dāng)%>e時，fr(x)<0,/(%)單調(diào)遞減,

當(dāng)0cxec時，/'(%)>0,f(x)單調(diào)遞增，

所以f(x)在x=e處取得極大值：，

作出y=f(x)的圖像，當(dāng)詈=;或等<0,解得a=e或0<a<l,

又Q>1,可得Q=e,故A正確；

由九(%)=靖一%，，可得九(e)=0,故C正確；

九(%)的導(dǎo)數(shù)為九'(冗)=ex-由本(%)=0,可得e*=ex6-1,

兩邊取對數(shù)可得%=1+(e—l)Znx,即％—1=(e—l)Znx,

結(jié)合y=x—1與y=(e—1)仇》的圖象，可得％=1或％=e,

當(dāng)0V%<1或%>e時，"(%)>0,九(%)單調(diào)遞增，

當(dāng)1<%<e時，*(%)<0,九(%)單調(diào)遞減,

所以％=1是九(%)的極大值點(diǎn)，％=6是九(%)的極小值點(diǎn)，且％T0時，九(%)—1,

由于關(guān)于X的方程Q*=%。(其中Q>1,X>0)有且僅有一個解，可得%/nQ=Q伍%在

(0,+8)上有且只有一個解，進(jìn)而得到乎=詈在(0,+8)上有且只有一個解，設(shè)f(x)=

等(x>0),對f(x)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，作出函數(shù)/"(%)的圖象，可得a=e,即可判斷

A是否正確；由/i(x)=e*-矛，可得九(e)=0,即可判斷C是否正確；對九。)求導(dǎo)，

判斷h(x)的單調(diào)性，求出極值，即可判斷B,。是否正確.

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中需要理清思路，屬于中檔題.

21.【答案】ABD

第20頁，共38頁

【解析】解：由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，二項(xiàng)式系數(shù)之和為21°=1024,故A正確；

當(dāng)〃為偶數(shù)時，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是中間一項(xiàng)，故8正確，C錯誤；

。也是正確的，因?yàn)檎归_式中第6項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)且其絕對值最大，所以是系數(shù)中最小

的.

故選：ABD.

利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)即可判斷出正誤.

本題考查了簡易邏輯的判定方法、二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與

計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

22.【答案】

【解析】解：聯(lián)立，可得(m-4)/+4x-1-ni=0,

當(dāng)rn=4時，4x—l—m=0有唯一解，符合題意；

當(dāng)tn*4時，△=16+4(m+l)(ni—4)=0,解得m=3或m=0(舍去)，

故m=3或4.

故選：AB.

V~~~2x1

，可得討論當(dāng)時，當(dāng)時，

(mx2d-y^2=m(m-4)/+4x—1—m=0,m=4m04

即可.

考查直線與圓錐曲線交點(diǎn)的問題，題中涉及到求一元二次方程有一個根的求法，直線與

雙曲線的位置關(guān)系的判斷，是中檔題.

23.【答案】ABC

【解析】解：如圖，

5_______________fi

對于A,???Ai。】1.Bi。1，AiCilBBi，BMCBB1=B],

41cl1平面B/Di，???4G1BDI，同理，DC11BDr

「AGnDC]=G，二BD11平面&GD,故A正確；

對于B???&D〃81C,41。<=平面416。，B]C<t平面41QD,〃平面&C1。,

???點(diǎn)P在線段4C上運(yùn)動，iP到平面的距離為定值，故B正確；

對于C,當(dāng)點(diǎn)P與線段BiC的端點(diǎn)重合時，異面直線AP與40所成角取得最小值為全

故異面直線A尸與公。所成角的取值范圍是故C正確，

對于。，以。為原點(diǎn)，D4為x軸，0c為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如

則。(0,0,0),4(1,0,1),Ci(0,1,1),

ZM]=(1,0,1),DCX=(0,1>1)，C[P=(a,0，a—1),

設(shè)平面4G。的法向量元=(x,y,z),

n-DA=x+z=°,取x=i,得有=(1,1,-1),

則r

n-DC；=y+z=0

???直線CiP與平面&CiD所成角的正弦值為：

口,于|_____1______]

22,

|可?|CiP|V3-Va+(a-l)A/3.J2(a_l)2+l

???當(dāng)a=；時，直線GP與平面&Ci。所成角的正弦值的最大值為圣故。錯誤.

故選：ABC.

在4中，推導(dǎo)出AC_LBZ)i，DCj1BDX,從而直線BQJ■平面4傳道，

在B中，由BIC〃平面4GD,得到P到平面&GD的距離為定值，

在C中，異面直線4P與4D所成角的取值范圍是

在。中，以。為原點(diǎn)，ZM為x軸，DC為)，軸，DO1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利

用向量法能求出直線GP與平面4G。所成角的正弦值的最大值為手.

第22頁，共38頁

本題考查命題真假的判斷，空間圖形中直線與直線、平面的位置關(guān)系，異面直線的判斷,

利用空間向量法求解線面角問題，屬于中檔題.

24.【答案】BCD

【解析】解：由an+i=2%+匕，6n+i=an+2%+In答，

b

兩式作差可得a^+i-n+i=一九-In詈，當(dāng)n=1時，a2-b2=ar-br-ln2,

a2-b2<aT-br,故A錯誤；

兩式相加可得an+i+bn+1=3(0n+bn)+ln(n+1)-3Inn,

即cin+i+bn+1—ln(n+1)=3(an+bn—Inn),

(an+匕一1n｝是以a1+瓦為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列,

n-1n-1

■1?an+bn-Inn=(a[+瓦)?3>則an+bn=(%+瓦)?3+Inn,

又出+瓦>0,.?.數(shù)列｛an+與｝單調(diào)遞增，故8正確；

n-1

將0M+bn=(ax+瓦)?3+Inn代入On+i=2an+bn,

n-1

得的+1=an+(an+hn)=an+(aj+bj-3+Inn,

711

?1?an+1-an=(ai+-S-+Inn>0,可得數(shù)列｛即｝從某項(xiàng)以后單調(diào)遞增，故C正

確；

n

將0n+bn=@+瓦)?3t+bin代入%+1=an+2bn+In答，

n-1

得b“+i=%+(an+b)+In答=bn+(%+瓦)?3+Inn+In答,

n-1

???bn+1—bn=(ax+瓦)-3+ln(n+1)-2lnn,

由4+瓦>0,結(jié)合指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的增長速度可知，從某個〃起后，

n-1

Q+bj?3-Inn>0,又ln(n4-1)-Inn>0,二數(shù)列｛brt｝從某項(xiàng)以后單調(diào)遞增,故

。正確.

故選：BCD.

計(jì)算a?-b2=ar-br-ln2<-為判斷A；由已知遞推式可得｛an+%一)亂｝是以

%+瓦為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，求其通項(xiàng)公式得到數(shù)列｛an+bn｝的通項(xiàng)公式判斷

B；結(jié)合已知條件可得即+i-即>。判斷C；計(jì)算為+1-垢=(%+瓦)-3nt+ln(n+

1)-2lnn,由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的增長速度判斷。.

本題考查數(shù)列遞推式的應(yīng)用，考查數(shù)列的函數(shù)特性，考查推理論證能力與運(yùn)算求解能力,

屬難題.

25.【答案】3

【解析】解：若'勺x6[-2,1],x2+2x-m>0"為假命題，

則它的否定命題：/+2x-m<0”是真命題，

所以zn>x2+2x對Vx6[一2,1]恒成立；

設(shè)/'(x)=x2+2x,xG[-2,1],

則f(久)的最大值為f(l)=3,

所以m23,即實(shí)數(shù)機(jī)的最小值為3.

故答案為：3.

根據(jù)命題和它的否定命題真假性相反，寫出該命題的否定命題，再求實(shí)數(shù)，”的最小值.

本題考查了命題和它的否定命題應(yīng)用問題，也考查了推理轉(zhuǎn)化能力，是基礎(chǔ)題.

26.【答案】4

【解析】解：因?yàn)?'(x)=2alnx+x2+(b-4)x,

所以/'(X)=§+2%+b-4,

因?yàn)?Xx)在x=1處取得極值，

所以r(1)=2a+2+b—4=0,即2a+b=2,

因?yàn)镼>0,h>0,

所以2+2=巳+?工"型=W=4,

ab2ab2a+b2

當(dāng)且僅當(dāng)9=(,即。=;*=1時取等號,

2ab2

所以工+：的最小值為4.

ab

故答案為：4.

求出:(x),由極值的定義得到/'(1)=0,即2a+b=2,然后利用基本不等式的結(jié)論求

解最值即可.

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的應(yīng)用，基本不等式求解最值的應(yīng)用，考查了邏輯推

理能力與轉(zhuǎn)化化歸能力，屬于中檔題.

第24頁，共38頁

27.【答案】m=1或4(-oo,4］

［解析］解：當(dāng)a=1時，f(x)=侑一菜管、1,

(xz-4x+1,x>1

當(dāng)mW1時，/(m)=2—m=1,解得zn=l,

當(dāng)m>l時，/(m)=m2—4m+1=1,解得m=4或m=0(舍).

綜上，m=1或m=4；

對任意的t>0,函數(shù)y=f(x)—t—1有兩個零點(diǎn)，即丫=t+l(t>0)與y=/(x)有兩

個交點(diǎn).

實(shí)數(shù)。的取值范圍是(—8,4].

故答案為：m=l或4；(-00,4].

把a(bǔ)=1代入函數(shù)解析式，然后分類求解f(m)=1,即可求得m的值；把函數(shù)y=/(x)-

t-1有兩個零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為y=t+l(t>0)與y=/(x)有兩個交點(diǎn)，結(jié)合圖象可得關(guān)于a

的不等式，求解得答案.

本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

28.【答案】(0,1)

【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=^ax3-|x2+x-xlnx[x>0),

則f'(x)=ax?—x—Inx,

因?yàn)閒。)存在兩個極值點(diǎn)，

則/''(%)有兩個正零點(diǎn)，

令尸(%)=0,則a/=x+Inx,即a=磬在(0,+8)上有兩個不同的根,

令以霜=誓，則"(X)=一+『,

因?yàn)閥=—無+1—2"%是減函數(shù)，且當(dāng)％=1時，y=0,

當(dāng)OV%V1時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)%>1時，gf(x)<0,g(%)單調(diào)遞減,

所以當(dāng)％=1時，g(%)取得最大值g(l)=1,

又當(dāng)0V時，g(%)V0,當(dāng)％>1時，5(%)>0,

所以要使得尸(x)有兩個兩點(diǎn)，

則0<QV1,

所以實(shí)數(shù)4的取值范圍是(0,1).

故答案為：(0,1).

求出((x),利用極值點(diǎn)的定義，將問題轉(zhuǎn)化為a=竿在(0,+8)上有兩個不同的根，

構(gòu)造函數(shù)g(x)=竿，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g(x)的單調(diào)性與函數(shù)值的取值情況，從而確

定a的取值范圍.

本題考查了函數(shù)極值點(diǎn)的理解與應(yīng)用，函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單

調(diào)性的應(yīng)用，解決函數(shù)零點(diǎn)或方程根的問題，常用的方法有：(1)方程法(直接解方程得

到函數(shù)的零點(diǎn))；(2)圖象法(直接畫出函數(shù)的圖象分析得解)；(3)方程+圖象法(令函數(shù)為

零，再重新構(gòu)造兩個函數(shù)，數(shù)形結(jié)合分析得解).屬于中檔題.

29.【答案】立

2

【解析】解：設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q>0,

則根據(jù)題意可得t=16,解得q4=1,

解得q=￥，即｛an｝的公比為當(dāng).

故答案為：立.

2

設(shè)等比數(shù)列色?｝的公比為q>0,根據(jù)題意利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得

護(hù)尸2:16進(jìn)而解得g的值,即可得解.

本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題.

30.【答案】3(i,l)

第26頁，共38頁

故此時點(diǎn)尸坐標(biāo)為G，i).

故答案為：3,G，l).

拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,O),準(zhǔn)線％=-1,記點(diǎn)尸到準(zhǔn)線％=-1的距離為PC,從

而可得|P4|+\PF\=\PA\+\PC\,從而結(jié)合圖象求最值即可.

本題考查了圓錐曲線的定義的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

31.【答案】|(1-聯(lián))

【解析】解：+。3+…+=2n—1,可得的=2—1=1,

nn

當(dāng)幾之2時，an=2—1一2九T+1=2T,

上式對71=1也成立，

所以0n=2n-1,nWN*,

1__1_1

n-1nn19

an+an+1-2+2-32-

1i1i111

所以不豆+即+…+—二=1（1+3+1+—-+布）

=，?1=|（1-表）.

故答案為：|（1—^）.

由數(shù)列的遞推式可得％=2"-1,n6N*,—1=急1，再由等比數(shù)列的求和公式,

an+an+l

計(jì)算可得所求和.

本題考查數(shù)列的遞推式的運(yùn)用，以及等比數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算

能力，屬于基礎(chǔ)題.

32.【答案】0.12

【解析】解：???P(B\A)=P(8),

???A,8相互獨(dú)立，

P(A)=0.6>

???P(A)=1-P(A)=1—0.6=0.4>

vP(B\A)=0.3,

:.P(B)=0.3,

P(AB)=P(A)P(B)=0.4x0.3=0.12.

故答案為：0.12.

由P(B|A)=P(B),可得A,B相互獨(dú)立，再結(jié)合已知條件，根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法

公式，即可求解.

本題主要考查事件之間獨(dú)立性的判斷，以及獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬于基礎(chǔ)題.

33.【答案】解：若選①：

(1)因?yàn)?={幻云>1}="|奈<0}={幻―1<%<3),

當(dāng)?n=0時，集合B