函數(shù)概念的發(fā)展史

函數(shù)概念的起源,最早和人們對動點軌跡的研究密不可分。再也沒有其他的例子,如同象動點作曲線運動時,它的x坐標和y坐標相互依依賴并同時發(fā)生變化那樣，更有利于促使人們產(chǎn)全變量、因變量—產(chǎn)生函數(shù)的概念了.而這又正是解析幾何學的主耍內(nèi)容.14世紀時,法國數(shù)學家奧萊斯姆(Oresme,1323-1382)在表示依時間t而變的變數(shù)x時,他畫出了圖形,把t稱為“經(jīng)度(longitude),把x稱為“緯度”(latitude)。但是他并沒有連續(xù)的概念,只是建立了孤立的點與點之簡的對應.這種方法被開普勒(Kepler,德,1571-1630)和伽利略(Galilei,意大利,1564-1642)應用于關(guān)于天體運行方面的研究〔2〕。17世紀的絕大部分函數(shù)是被當作曲線來研究的,而曲線被看作運動著的點的路徑這樣的思想通過牛頓等人的工作而獲得了認可與接受。牛頓在他的《求曲邊形的面積》中說:“我認為這里的數(shù)學量,不是由小塊合成的,而是由連續(xù)運動描出的”。英國數(shù)學家哈略特(Harriot,1560一1621)應用了直角坐標的概念求出了曲線的方程.當坐標系一經(jīng)給定,則某些幾何問題便可以用代數(shù)的形式表現(xiàn)出，這正是解析幾何學的主耍方法.這樣,函數(shù)的概念便又和軌跡的代數(shù)表達式發(fā)生了密切聯(lián)系.法國著名的數(shù)學家費爾瑪(Fermat,1601-1665)在他的《平面、立體曲線導論》中,取相交的直線建立坐標系,導出了直線、圓還有其它一些圓錐曲線的方程。法國著名數(shù)學家笛卡爾(Descartes,1596-1650)在他的《幾何學》中明確地給出了點的坐標概念,由此當點P根據(jù)某特定條件運動時,它的兩個坐標之間的互變關(guān)系可用曲線的方程表示。人們通常把變量概念的引入和解析幾何的誕生歸功與笛卡爾,他確實讓用代數(shù)關(guān)系式表示變化的量間的關(guān)系(主要是曲線)的方法逐漸流行起來了〔2〕。總的說來,盡管描繪曲線方程的解析幾何的方法已出現(xiàn),但至少到17世紀上半葉,純粹的函數(shù)概念并沒有被提出來。萊布尼茲(Lei-bniz)在1673年首先提出“函數(shù)”這一名詞.他用函數(shù)表示任何一個隨著曲線上的點的變動而變動的量.象曲線上的橫坐標,縱坐標,切線的長度,垂線的長度等。牛頓(Newton)幾乎同時用另一名詞“流量”來表示變量間關(guān)系。1697年,約翰·伯努利給出了函數(shù)的第一個定義:一個按照任何方式用變量和常量構(gòu)成的量.1698年,他采用了萊布尼茲的說法,稱這個量為“x的函數(shù)”,表示為X.1718年,他又明確定義了一個變量的函數(shù):由這個變量和常量的任意一種方式構(gòu)成的量,表示為.伯努利強調(diào)的是函數(shù)要用公式來表示了，這是函數(shù)的解析概念的第一次擴展。1734年,歐拉引入現(xiàn)在的函數(shù)表示形式:。歐拉就把用算術(shù)運算、三角運算和指數(shù)對數(shù)運算聯(lián)結(jié)變數(shù)x和常數(shù)c而成的式子,取名為解析函數(shù),并將它分成為“代數(shù)函數(shù)”和“超越函數(shù)”兩類。歐拉用“解析表達式”替代了約翰的“任意形式”,明確地表述了變量之間相互依賴的變化關(guān)系。也不再強調(diào)函數(shù)一定要用公式來表示,但仍沒有明確函數(shù)是某種對應關(guān)系,也沒有提出函數(shù)可以不用解析式來表示.歐拉對函數(shù)的重要貢獻是他考慮了用以表示被任意畫出的曲線后,由于其對于數(shù)學的基礎(chǔ)性,成為現(xiàn)代數(shù)學描述的基礎(chǔ)語言.因此,函數(shù)概念的定義再一次面臨著新變化.1887年,戴德金的關(guān)于函數(shù)的定義:系統(tǒng)S上的一個映射蘊涵了一種規(guī)則,按照這種規(guī)則,S中每一個確定的元素s都對應著一個確定的對象,它成為s的,記作.我們也可以說,對應于元素s,由映射作用于s而產(chǎn)生或?qū)С?s經(jīng)映象變換成。在這個定義中,首次用映射來描述函數(shù),而且明確了映射中所蘊含的“規(guī)則”即對應“關(guān)系”才是函數(shù)概念的內(nèi)涵,已非常接近函數(shù)的現(xiàn)代定義了.1936年,布爾巴基給出了函數(shù)的現(xiàn)代定義:設(shè)E和F是兩個集合,它們可以不同,也可以相同,E中的一個變元x和F中的變元y之間一個關(guān)系成為一個函數(shù)關(guān)系,如果對每個x∈E,都存在唯一的y∈F,它滿足跟x的給定關(guān)系,表示為f→E。這就是用映射來表達的現(xiàn)代的函數(shù)概念.用集合論的語言定義函數(shù)的概念,可稱為函數(shù),也可以叫做映射.現(xiàn)在的高中數(shù)學教材中函數(shù)的定義:設(shè)X,Y是兩個非空集合,如果存在一個法則f,使得對X中的每個元素x,按法則f,在Y中有唯一確定的元素y與之對應,則稱f為定義在X上的函數(shù),記作f:X→Y,通常也簡記作y=f(x),x∈X,其中x稱為自變量,y稱為因變量,X稱為定義域.簡單的結(jié)論:現(xiàn)在函數(shù)的概念所包括的范圍似乎是碩大無比了,但是,如果說這種擴展已經(jīng)到頂了,那就未免為時過早。事實上,在本世紀四十年代,由于物理學的需要,發(fā)展了占函數(shù),它在一點處不為零,而在R上的積分等于1,原來的函數(shù)定義就包含不了這種占函數(shù)。于是又有索伯列夫、洛朗和許瓦茲引入了廣義函數(shù)的概念,把函數(shù)、測度以及占函數(shù)等概念統(tǒng)一起來了。這樣,在函數(shù)概念的內(nèi)涵上再一次得到了擴展。初等函數(shù)概念雖然是在初中才正式引入的,但是我國的數(shù)學課程實際上在小學階段就開始滲透.比如,小學乘法運算中2的乘法公式,如果把乘數(shù)2看成是K,被乘數(shù)看成是自變量X,則乘積就是因變量Y,這可以是一個簡單的比例函數(shù),把被乘數(shù)1～9和乘積2、4、6、8、10、12、14、16、18看成兩個集合,則“×2”就是它們之間的一個映射,這兩個集合是一一對應關(guān)系.初中階段函數(shù)的概念是：一般地，設(shè)某變化過程中有兩個變量，如果對于在某一范圍內(nèi)的每一個確定的值x,都有唯一確定的值y與它對應，那么就說y是x的函數(shù)，x叫做自變量，當函數(shù)關(guān)系用等式來表示時，這個等式叫做函數(shù)解析式（或函數(shù)關(guān)系式）．這里指出函數(shù)關(guān)系就是變量之間的“對應”關(guān)系,同時也給出了自變量的變化范圍，但未指明定義域。這里仍然說函數(shù)是相依變量Y,但函數(shù)的本質(zhì)是對應關(guān)系。明確了函數(shù)是對應關(guān)系后,歷史上一度糾纏不清的解析定義及幾何定義就是現(xiàn)在函數(shù)的兩種不同表示法:解析法與圖象法。此外,還有列表法。到了高中,通過代數(shù)式的學習，讓學生了解到量與量之間的依存性;通過數(shù)的概念的發(fā)展,使學生積累關(guān)于“集合”概念的初步思想;通過數(shù)軸和坐標的教學,滲透關(guān)于“對應”概念的初步思想等,有了這些鋪墊,學生在接觸到嚴謹而抽象的集合函數(shù)概念時,才能比較容易接受.函數(shù)是用映射定義的：設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按某個確實的對應關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對眼，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)．記作y=f（x），x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相應的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛f（x）│x∈A｝叫做函數(shù)的值域．簡單地說，就是指一個關(guān)系作用于集合A中的每一個數(shù)，使它與集合B中的一個數(shù)相對應．“映射”是集合中的概念,其含義比“對應”更確切了,突出了方向性。本科數(shù)學專業(yè)的函數(shù)概念給定兩個實數(shù)集D、M,若按照某一確定的對應法則f,D內(nèi)每一個數(shù)x有唯一的一個數(shù)y∈M與它相對應,則稱f是確定在數(shù)集D上的函數(shù),記作f:D→M,其中集D稱為函數(shù)的定義域,D中的任意數(shù)x根據(jù)法則f所對應的y,記作f(x),稱為f在x的函數(shù)值。高等數(shù)學中的函數(shù)概念除了反映變量之間的依賴關(guān)系這一本質(zhì)屬性之外,還具有種種其它屬性.函數(shù)概念與極限、連續(xù)、導數(shù)、微分、積分、級數(shù)及微分方程等等概念之間有著緊密的聯(lián)系.對高等數(shù)學中出現(xiàn)的各種函數(shù)及相互間的結(jié)構(gòu)聯(lián)系進行歸納整理,可得到以