工程流體力學(xué)第6章-流體流動(dòng)微分方程課件

流體流動(dòng)微分方程——流體力學(xué)主干方程包括：連續(xù)性方程，運(yùn)動(dòng)微分方程—Navier-Stokes方程(N-S方程)；連續(xù)性方程及N-S方程是粘性流體流動(dòng)質(zhì)量守恒和動(dòng)量守恒的數(shù)學(xué)表達(dá)，具有普遍的適應(yīng)性。本章主要內(nèi)容流體流動(dòng)連續(xù)性方程：微元質(zhì)量守恒分析

連續(xù)性方程運(yùn)動(dòng)微分方程的建立：微元受力與動(dòng)量分析

應(yīng)力形式的運(yùn)動(dòng)方程粘性流體的運(yùn)動(dòng)方程：流體本構(gòu)方程及討論

運(yùn)動(dòng)微分方程(N-S方程)流動(dòng)微分方程的應(yīng)用：N-S方程應(yīng)用概述與舉例

對流傳熱N-S方程(BoussinesqEquationofMotion)

湍流時(shí)均化N-S方程(雷諾方程)流體流動(dòng)微分方程——流體力學(xué)主干方程微元面法向速度和質(zhì)量通量：6.1連續(xù)性方程——6.1.1直角坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程

質(zhì)量守恒方程：連續(xù)性方程：以上結(jié)果代入質(zhì)量守恒方程有微元體輸出的質(zhì)量流量-微元體輸入的質(zhì)量流量+微元體內(nèi)的質(zhì)量變化率

0微元體質(zhì)量守恒分析：如圖

微元面凈輸出的質(zhì)量流量:微元體質(zhì)量變化率：其展開形式為：微元面法向速度和質(zhì)量通量：6.1連續(xù)性方程——6.1.6.1連續(xù)性方程

——

6.1.1直角坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程(續(xù))

連續(xù)性方程(續(xù))：連續(xù)性方程可表示為：根據(jù)物理量

的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)和矢量v的散度定義:物理意義:

(

v)

是流體體積變形速率，

v=0表示不可壓縮流體運(yùn)動(dòng)過程中，不管其形狀怎樣變化，其體積不會(huì)改變。因此，只要是不可壓縮流體，無論穩(wěn)態(tài)流動(dòng)還是非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)，其連續(xù)性方程都一樣。不可壓縮流體的連續(xù)性方程：6.1連續(xù)性方程——6.1.1直角坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程6.1連續(xù)性方程——

6.1.2柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系：如圖球坐標(biāo)系的連續(xù)性方程：柱坐標(biāo)系連續(xù)性方程:對于不可壓縮流體:6.1連續(xù)性方程——6.1.2柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系中的連續(xù)6.2運(yùn)動(dòng)微分方程的建立——

6.2.1作用于流體微元上的力

動(dòng)量守恒方程：微元體輸出的動(dòng)量流量-微元體輸入的動(dòng)量流量+微元體內(nèi)的動(dòng)量變化率F微元體體積力與表面力(應(yīng)力)：如圖微元體x、y、z方向的體積力:微元體上的表面力:x方向:y方向:z方向:6.2運(yùn)動(dòng)微分方程的建立——6.2.1作用于流體微元6.2運(yùn)動(dòng)微分方程的建立——

6.2.2動(dòng)量流量及動(dòng)量變化率

微元體凈輸出的x、y、z方向的動(dòng)量流量：輸入微元面的x方向動(dòng)量流量為:微元面上x

方向的動(dòng)量通量：如圖其中箭頭方向僅表示輸入輸出方向。輸出微元面的x方向動(dòng)量流量為:因此:微元體凈輸出的

x方向動(dòng)量流量：同理:微元體凈輸出的

y方向動(dòng)量流量：

微元體凈輸出的

z方向動(dòng)量流量：微元體x、y、z方向動(dòng)量的變化率：6.2運(yùn)動(dòng)微分方程的建立——6.2.2動(dòng)量流量及動(dòng)量6.2運(yùn)動(dòng)微分方程的建立——6.2.3以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)方程

將微元體x方向動(dòng)量的凈輸出流量、變化率，以及x方向的體積力、表面力代入動(dòng)量守恒方程可得：簡化后得：以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)方程：(

y、z方向同理)z方向：y方向：流體質(zhì)量(單位體積)流體質(zhì)點(diǎn)的加速度x方向：運(yùn)動(dòng)方程+連續(xù)性方程共4個(gè)方程，涉及9個(gè)變量：3個(gè)速度分量，6個(gè)獨(dú)立應(yīng)力分量：為使方程封閉尚需補(bǔ)充方程。體積力+表面力(單位體積)6.2運(yùn)動(dòng)微分方程的建立——6.2.3以應(yīng)力表示的運(yùn)6.3粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程

——6.3.1牛頓流體的本構(gòu)方程

斯托克斯(Stokes)基本假設(shè)：為尋求一般條件下流體應(yīng)力與變形速率之間的關(guān)系,Stokes假設(shè):①應(yīng)力與變形速率成線性關(guān)系;②這種關(guān)系各向同性;③靜止流場切應(yīng)力為零且各正應(yīng)力均等于靜壓力。牛頓流體本構(gòu)方程—廣義剪切定律本構(gòu)方程討論：流體表面正應(yīng)力:附加正應(yīng)力：自身方向線應(yīng)變率貢獻(xiàn)其它方向線應(yīng)變率貢獻(xiàn)理想流體或靜止流體：運(yùn)動(dòng)流體:切應(yīng)力:

僅與剪切應(yīng)變速率相關(guān)一維流動(dòng)：表面取向無關(guān)僅與線應(yīng)變率有關(guān)切應(yīng)力互等定律，牛頓剪切定律必然不可壓縮6.3粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程——6.3.1牛頓流體的本6.3粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程

——6.3.2流體運(yùn)動(dòng)微分方程將牛頓流體本構(gòu)方程引入應(yīng)力形式的運(yùn)動(dòng)方程，可得現(xiàn)代流體力學(xué)主干方程：耐維-斯托克斯方程（Navier-StokesEquations，簡稱N-S方程）：N-S方程是粘性流體流動(dòng)及相關(guān)對流傳熱傳質(zhì)分析的基本理論工具。N-S方程對流體密度與粘度的變化、流體的可壓縮性未作限制,實(shí)際應(yīng)用中，針對具體問題上述三方面特點(diǎn)可對方程進(jìn)行簡化。N-S方程引入了牛頓流體本構(gòu)方程(基于層流背景建立)，故該方程只適用于牛頓流體，且原則上僅適用于層流流動(dòng)。對于非牛頓流體,可采用以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)方程。6.3粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程——6.3.2流體運(yùn)動(dòng)微分6.3粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程

——6.3.2流體運(yùn)動(dòng)微分方程(續(xù)1)

常粘度、不可壓縮流體的N-S方程：

=const→

v=0，且

=constN-S方程矢量形式及方程各項(xiàng)稱呼或意義如下：非定常項(xiàng)定常流動(dòng)=0靜止流場

0對流項(xiàng)靜止流場=0蠕變流時(shí)

0源項(xiàng)單位質(zhì)量流體的體積力源項(xiàng)單位質(zhì)量流體的表面力擴(kuò)散項(xiàng)(粘性力項(xiàng))靜止或理想流體=0高速非邊界層內(nèi)

0

簡化為歐拉方程（理想流體運(yùn)動(dòng)方程）簡化為靜力學(xué)方程6.3粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程——6.3.2流體運(yùn)動(dòng)微分6.3粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程

——6.3.2流體運(yùn)動(dòng)微分方程(續(xù)2)

柱坐標(biāo)系不可壓縮流體的N-S方程：柱坐標(biāo)系牛頓流體本構(gòu)方程：式中：分別是單位質(zhì)量的離心力和哥氏力。直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為柱坐標(biāo)時(shí)自動(dòng)產(chǎn)生，分析流體受力時(shí)不必另加。本構(gòu)方程用于流體應(yīng)力分析與計(jì)算6.3粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程——6.3.2流體運(yùn)動(dòng)微分6.4流體流動(dòng)微分方程的應(yīng)用——6.4.1N-S方程應(yīng)用概述

連續(xù)性方程和N-S方程是粘性流體流動(dòng)質(zhì)量守恒和動(dòng)量守恒的數(shù)學(xué)表達(dá),具有普遍的適應(yīng)性。流體靜力學(xué)方程和理想流體運(yùn)動(dòng)方程僅是其特例。N-S方程應(yīng)用條件：N-S方程因?yàn)橐肓伺ｎD流體本構(gòu)方程，且以層流流動(dòng)為背景,故只適用于牛頓流體,且原則上只適用于層流流動(dòng)。對非牛頓流體：以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)方程仍然適用。N-S方程的封閉性：N-S方程與連續(xù)性方程構(gòu)成的微分方程組共有4個(gè)方程,涉及4個(gè)流動(dòng)參數(shù)(三個(gè)速度分量vx、vy、vz

和壓力p),故方程組封閉,理論上可以求解。對于

和

可變的情況,應(yīng)尋求變化關(guān)系作為補(bǔ)充方程；比如理想氣體狀態(tài)方程等。對于湍流流動(dòng)：一般認(rèn)為非穩(wěn)態(tài)N-S方程對湍流的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)仍然適用（如直接數(shù)值模擬)，但由于湍流脈動(dòng)的高度隨機(jī)性，湍流的直接模擬還十分困難(湍流場充滿不同尺度的隨機(jī)漩渦，目前的計(jì)算機(jī)內(nèi)存還難以使計(jì)算網(wǎng)格和步長小到足以分辨小尺度湍流漩渦)。因此，通常是將湍流流動(dòng)參數(shù)瞬時(shí)值

分解成時(shí)均值

與隨機(jī)脈動(dòng)值

來處理,即：(如雷諾平均運(yùn)動(dòng)方程)，但的引入又導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)方程不封閉,從而使得人們力圖通過推理和實(shí)驗(yàn)尋求

與

的關(guān)系,以作為使方程封閉的補(bǔ)充方程,即所謂湍流模型問題。6.4流體流動(dòng)微分方程的應(yīng)用——6.4.1N-S方程應(yīng)用6.4流體流動(dòng)微分方程的應(yīng)用——6.4.1N-S方程應(yīng)用概述(續(xù)1)

N-S方程的求解：

N-S方程雖然封閉但還無普遍解。對工程實(shí)際問題，必須根據(jù)其特殊性對N-S方程進(jìn)行簡化,獲得針對具體問題的微分方程(組),并確定適宜的初始條件和邊界條件;這其中關(guān)鍵的是對問題的正確理解和合理簡化。至于簡化后獲得的模型方程,可能有解,也可能求不出解，也許只能得到近似解，或通過數(shù)值計(jì)算方法獲得離散解。例6-1

圓管內(nèi)的一維穩(wěn)態(tài)流動(dòng)分析

例6-2

同心圓筒壁面間的切向流動(dòng)分析

例6-3

突然啟動(dòng)平板引起的流動(dòng)問題例6-4

沿流線的伯努利方程第6章作業(yè)：6-3，6-4，6-7，6-96.4.2N-S方程應(yīng)用舉例6.4流體流動(dòng)微分方程的應(yīng)用——6.4.1N-S方程應(yīng)用強(qiáng)制對流和自然對流的N-S方程：BoussinesqEquationofMotionNavier-StokesEquation(

and

=const,isothermalsystem)6.4流體流動(dòng)微分方程的應(yīng)用——6.4.3N-S方程的擴(kuò)展應(yīng)用

SubstitutionofaboveequationsintotheN-SequationgivesBoussinesqequation:Foranon-isothermalsystem,

=

(T3).Expand

inTaylorseriesaboutthereferencetemperatureasfollowsByintroducingthecoefficientofvolumeexpansionthedensity,

,maybeexpressedasItappliestoforcedconvection,freeconvection,andtheregionbetweenthesetwoextremesaswell.強(qiáng)制對流和自然對流的N-S方程：BoussinesqEquBoussinesq運(yùn)動(dòng)方程在自然對流與強(qiáng)制對流問題中的應(yīng)用：

6.4流體流動(dòng)微分方程的應(yīng)用——6.4.3N-S方程的擴(kuò)展應(yīng)用(續(xù)1)

isparticularlytrueforvertical,rectilinearflow;fortheflownearsubmergedobjectsinlargebodiesoffluid.①Forfreeconvectionuptomoderate

,thefluidmotionisslow.Moderate

=?

Forair:Forwater:Boussinesq運(yùn)動(dòng)方程在自然對流與強(qiáng)制對流問題中的應(yīng)Boussinesq運(yùn)動(dòng)方程在自然對流與強(qiáng)制對流問題中的應(yīng)用：

Thisisparticularlytrue,forexample,ingasturbinesandnearhypersonicmissiles.6.4流體流動(dòng)微分方程的應(yīng)用——6.4.3N-S方程的擴(kuò)展應(yīng)用(續(xù)2)

Inconclusion,forthecommonlyencounteredsituationswithmoderate

andDv/Dt,themotionequationcanbegenerallywrittenas

②Inforcedconvection,thebuoyancyissmallcomparedtoinertialforce.IfIfBoussinesq運(yùn)動(dòng)方程在自然對流與強(qiáng)制對流問題中的應(yīng)6.4流體流動(dòng)微分方程的應(yīng)用——6.4.3N-S方程的擴(kuò)展應(yīng)用(續(xù)2)

湍流時(shí)均化N-S方程——雷諾平均運(yùn)動(dòng)方程(雷諾方程)：由此可得時(shí)間平均運(yùn)算(時(shí)均化)的基本法則為：

(1)瞬時(shí)值之和的平均值等于其平均值之和，即：(2)平均值的平均等于其本身，即：(3)平均值與瞬時(shí)值乘積的平均值等于兩者平均值之積,即：(4)兩脈動(dòng)值乘積的平均值一般不等于0，即：(5)導(dǎo)數(shù)的平均值等于平均值的導(dǎo)數(shù)，即：瞬時(shí)參數(shù)時(shí)均化法則：設(shè)瞬時(shí)速度，其中為時(shí)均速度，為脈動(dòng)速度,且基于非穩(wěn)態(tài)N-S方程對湍流瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)仍然適用的觀點(diǎn),雷諾將湍流運(yùn)動(dòng)參數(shù)表示為時(shí)均值與隨機(jī)脈動(dòng)值之和，