新高一數(shù)學(xué)下期中試卷及答案

新高一數(shù)學(xué)下期中試卷及答案一、選擇題1．在長方體中，，與平面所成的角為，則該長方體的體積為（）A． B． C． D．2．已知直線過點，且傾斜角為直線：的傾斜角的2倍，則直線的方程為（）A． B．C． D．3．陀螺是漢族民間最早的娛樂工具之一，也稱陀羅，北方叫做“打老?！?陀螺的主體形狀一般是由上面部分的圓柱和下面部分的圓錐組成.如圖畫出的是某陀螺模型的三視圖，已知網(wǎng)格紙中小正方形的邊長為1，則該陀螺模型的體積為（）A． B．C． D．4．已知三棱錐的所有頂點都在球O的球面上，為球O的直徑，且，，為等邊三角形，三棱錐的體積為，則球O的半徑為()A．3 B．1 C．2 D．45．已知點是直線上一動點，是圓的兩條切線，切點分別為，若四邊形的面積最小值為，則的值為（）A．3 B． C． D．26．已知正四面體中，為棱的中點，設(shè)是（含邊界）內(nèi)的點，若點到平面，平面，平面的距離相等，則符合條件的點（）A．僅有一個 B．有有限多個 C．有無限多個 D．不存在7．在我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑，如圖，在鱉臑中，平面，且，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．8．已知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實數(shù)A．1 B． C．或1 D．2或19．用一個平面去截正方體，則截面不可能是（）A．直角三角形 B．等邊三角形 C．正方形 D．正六邊形10．在三棱錐中，平面，M是線段上一動點，線段長度最小值為，則三棱錐的外接球的表面積是（）A． B． C． D．11．已知實數(shù)滿足，那么的最小值為（）A． B． C． D．12．在長方體中，，點在線段上運動，當(dāng)異面直線與所成的角最大時，則三棱錐的體積為（）A． B． C． D．二、填空題13．已知棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M分別是線段AB、AD、AA1的中點，又P、Q分別在線段A1B1、A1D1上，且A1P＝A1Q＝x(0<x<1).設(shè)平面MEF∩平面MPQ＝l，現(xiàn)有下列結(jié)論：①l∥平面ABCD；②l⊥AC；③直線l與平面BCC1B1不垂直；④當(dāng)x變化時，l不是定直線.其中不成立的結(jié)論是________.(寫出所有不成立結(jié)論的序號)14．已知圓截直線所得線段的長度是，則圓M與圓的位置關(guān)系是_________．15．已知直線與圓O：交于M，N兩點，則線段MN中點G的軌跡方程為______．16．已知平面α，β，γ是空間中三個不同的平面，直線l，m是空間中兩條不同的直線，若α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m，則①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述條件可推出的結(jié)論有________(請將你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號都填上)．17．將正方形沿對角線折成直二面角，①與平面所成角的大小為②是等邊三角形③與所成的角為④⑤二面角為則上面結(jié)論正確的為_______．18．已知圓，是軸上的動點，，分別切圓于，兩點，則動弦的中點的軌跡方程為__________.19．圓臺的兩個底面面積之比為4：9，母線與底面的夾角是60°，軸截面的面積為，則圓臺的側(cè)面積為_____．20．若圓C：，關(guān)于直線對稱，則由點向圓所作的切線長的最小值為______．三、解答題21．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知兩直線和，定點.（1）若與相交于點P，求直線AP的方程；（2）若恰好是△ABC的角平分線BD所在的直線，是中線CM所在的直線，求△ABC的邊BC所在直線的方程.22．如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，，，，，為的中點．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的大小．23．如圖，直角梯形中，，等腰梯形中，，且平面平面．（1）求證：平面；（2）若與平面所成角為，求二面角的余弦值．24．已知圓外有一點，過點作直線．(1)當(dāng)直線與圓相切時，求直線的方程；(2)當(dāng)直線的傾斜角為時，求直線被圓所截得的弦長．25．如圖，在中，，斜邊，可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且平面平面．動點在斜邊上．（1）求證：平面平面；（2）當(dāng)為的中點時，求異面直線與所成角的正切值．26．如圖，三棱柱中，平面平面,平面平面，,點、分別為棱、的中點，過點、的平面交棱于點,使得∥平面.（1）求證：平面;（2）若四棱錐的體積為，求的正弦值.【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要刪除一、選擇題1．C解析：C【解析】【分析】首先畫出長方體，利用題中條件，得到，根據(jù)，求得，可以確定，之后利用長方體的體積公式求出長方體的體積.【詳解】在長方體中，連接，根據(jù)線面角的定義可知，因為，所以，從而求得，所以該長方體的體積為，故選C.【點睛】該題考查的是長方體的體積的求解問題，在解題的過程中，需要明確長方體的體積公式為長寬高的乘積，而題中的條件只有兩個值，所以利用題中的條件求解另一條邊的長就顯得尤為重要，此時就需要明確線面角的定義，從而得到量之間的關(guān)系，從而求得結(jié)果.2．D解析：D【解析】設(shè)直線的傾斜角為，則斜率，所以直線的傾斜角為，斜率，又經(jīng)過點（1,0），所以直線方程為，即，選D.3．D解析：D【解析】【分析】由三視圖可知，該陀螺模型是由一個正四棱錐、一個圓柱、一個圓錐組合而成.根據(jù)柱體、錐體的體積計算公式即得該陀螺模型的體積.【詳解】由三視圖可知，該陀螺模型是由一個正四棱錐、一個圓柱、一個圓錐組合而成.所以該陀螺模型的體積.故選：.【點睛】本題考查三視圖，考查學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.4．C解析：C【解析】【分析】根據(jù)題意作出圖形，欲求球的半徑．利用截面的性質(zhì)即可得到三棱錐的體積可看成是兩個小三棱錐和的體積和，即可計算出三棱錐的體積，從而建立關(guān)于的方程，即可求出，從而解決問題．【詳解】解：根據(jù)題意作出圖形：設(shè)球心為，球的半徑．，，平面，三棱錐的體積可看成是兩個小三棱錐和的體積和．，．故選：C．【點睛】本題考查棱錐的體積，考查球內(nèi)接多面體，解題的關(guān)鍵是確定將三棱錐的體積看成是兩個小三棱錐和的體積和，屬于中檔題．5．D解析：D【解析】【分析】當(dāng)且僅當(dāng)垂直于時，四邊形的面積最小，求出后可得最小面積，從而可求的值.【詳解】圓方程為，圓心，半徑為1．因為，為切線，且．當(dāng)最小時，最小，此時最小且垂直于．又，，，故選D.【點睛】圓中的最值問題，往往可以轉(zhuǎn)化圓心到幾何對象的距離的最值來處理，這類問題屬于中檔題.6．A解析：A【解析】【分析】根據(jù)正四面體的對稱性分析到平面，平面，平面的距離相等的點的軌跡，與所在平面的公共部分即符合條件的點.【詳解】在正四面體中，取正三角形中心，連接，根據(jù)正四面體的對稱性，線段上任一點到平面，平面，平面的距離相等，到平面，平面，平面的距離相等的點都在所在直線上，與所在平面相交且交于內(nèi)部，所以符合題意的點只有唯一一個.故選：A【點睛】此題考查正四面體的幾何特征，對稱性，根據(jù)幾何特征解決點到平面距離問題，考查空間想象能力.7．A解析：A【解析】如圖，分別取的中點，連，則，∴即為異面直線和所成的角（或其補角）．又由題意得，.設(shè)，則.又,∴為等邊三角形，∴，∴異面直線AC與BD所成角為，其余弦值為．選A．點睛：用幾何法求空間角時遵循“一找、二證、三計算”的步驟，即首先根據(jù)題意作出所求的角，并給出證明，然后將所求的角轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角．解題時要注意空間角的范圍，并結(jié)合解三角形的知識得到所求角的大小或其三角函數(shù)值．8．D解析：D【解析】【分析】根據(jù)題意討論直線它在兩坐標(biāo)軸上的截距為0和在兩坐標(biāo)軸上的截距不為0時，求出對應(yīng)的值，即可得到答案．【詳解】由題意，當(dāng)，即時，直線化為，此時直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0，滿足題意；當(dāng)，即時，直線化為，由直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，可得，解得；綜上所述，實數(shù)或．故選：D．【點睛】本題主要考查了直線方程的應(yīng)用，以及直線在坐標(biāo)軸上的截距的應(yīng)用，其中解答中熟記直線在坐標(biāo)軸上的截距定義，合理分類討論求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.9．A解析：A【解析】【分析】【詳解】畫出截面圖形如圖顯然A正三角形C正方形：D正六邊形可以畫出三角形但不是直角三角形；故選A．用一個平面去截正方體，則截面的情況為：①截面為三角形時，可以是銳角三角形、等腰三角形、等邊三角形，但不可能是鈍角三角形、直角三角形；②截面為四邊形時，可以是梯形（等腰梯形）、平行四邊形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；③截面為五邊形時，不可能是正五邊形；④截面為六邊形時，可以是正六邊形．故可選A．10．C解析：C【解析】【分析】首先確定三角形為等腰三角形，進一步確定球的球心，再求出球的半徑，最后確定球的表面積．【詳解】解：如圖所示：三棱錐中，平面，M是線段上一動點，線段長度最小值為，則：當(dāng)時，線段達(dá)到最小值，由于：平面，所以：，解得：，所以：，則：，由于：，所以：則：為等腰三角形．所以：，在中，設(shè)外接圓的直徑為，則：，所以：外接球的半徑，則：，故選：C．【點睛】本題考查的知識要點：三棱錐的外接球的球心的確定及球的表面積公式的應(yīng)用．11．A解析：A【解析】由題意知，表示點到坐標(biāo)原點的距離，又原點到直線的距離為，所以的距離的最小值為，故選A.12．B解析：B【解析】【分析】當(dāng)P與A重合時，異面直線CP與BA1所成的角最大，由此能求出當(dāng)異面直線CP與BA1所成的角最大時，三棱錐C﹣PA1D1的體積．【詳解】如圖，當(dāng)P與A重合時，異面直線CP與BA1所成的角最大，∴當(dāng)異面直線CP與BA1所成的角最大時，三棱錐C﹣PA1D1的體積：=====．故選:B．【點睛】求錐體的體積要充分利用多面體的截面和旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解，注意求體積的一些特殊方法——分割法、補形法、等體積法.①割補法：求一些不規(guī)則幾何體的體積時，常用割補法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進行解決．②等積法：等積法包括等面積法和等體積法．等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高時，這一方法回避了通過具體作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過直接計算得到高的數(shù)值．二、填空題13．④【解析】【詳解】連接BDB1D1∵A1P＝A1Q＝x∴PQ∥B1D1∥BD∥EF則PQ∥平面MEF又平面MEF∩平面MPQ＝l∴PQ∥ll∥EF∴l(xiāng)∥平面ABCD故①成立；又EF⊥AC∴l(xiāng)⊥AC故解析：④【解析】【詳解】連接BD，B1D1，∵A1P＝A1Q＝x，∴PQ∥B1D1∥BD∥EF，則PQ∥平面MEF，又平面MEF∩平面MPQ＝l，∴PQ∥l，l∥EF，∴l(xiāng)∥平面ABCD，故①成立；又EF⊥AC，∴l(xiāng)⊥AC，故②成立；∵l∥EF∥BD，故直線l與平面BCC1B1不垂直，故③成立；當(dāng)x變化時，l是過點M且與直線EF平行的定直線，故④不成立．即不成立的結(jié)論是④.14．相交【解析】【分析】根據(jù)直線與圓相交的弦長公式求出的值結(jié)合兩圓的位置關(guān)系進行判斷即可【詳解】解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為則圓心為半徑圓心到直線的距離圓截直線所得線段的長度是即則圓心為半徑圓的圓心為半徑則即兩個解析：相交【解析】【分析】根據(jù)直線與圓相交的弦長公式，求出的值，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系進行判斷即可．【詳解】解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心為，半徑，圓心到直線的距離，圓截直線所得線段的長度是，即，，則圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，則，，，，即兩個圓相交．故答案為：相交．【點睛】本題主要考查直線和圓相交的應(yīng)用，以及兩圓位置關(guān)系的判斷，根據(jù)相交弦長公式求出的值是解決本題的關(guān)鍵．15．【解析】【分析】直線過定點設(shè)代入方程利用點差法計算得到答案【詳解】直線過定點設(shè)則兩式相減得到即故整理得到：故答案為：【點睛】本題考查了軌跡方程意在考查學(xué)生對于點差法的理解和掌握解析：【解析】【分析】直線過定點，設(shè)，，代入方程利用點差法計算得到答案.【詳解】直線過定點，設(shè)，，則，，兩式相減得到，即.故，整理得到：.故答案為：.【點睛】本題考查了軌跡方程，意在考查學(xué)生對于點差法的理解和掌握.16．②④【解析】【分析】對每一個選項分析判斷得解【詳解】根據(jù)已知可得面β和面γ可成任意角度和面α必垂直所以直線m可以和面β成任意角度①不正確；l?γl⊥m所以l⊥α②正確；③顯然不對；④因為l?βl⊥α解析：②④【解析】【分析】對每一個選項分析判斷得解.【詳解】根據(jù)已知可得面β和面γ可成任意角度，和面α必垂直．所以直線m可以和面β成任意角度，①不正確；l?γ，l⊥m，所以l⊥α，②正確；③顯然不對；④因為l?β，l⊥α，所以α⊥β，④正確．故答案為②④【點睛】本題主要考查空間線面垂直和面面垂直的證明，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.17．②③④【解析】【分析】作出此直二面角的圖象由圖形中所給的位置關(guān)系對命題逐一判斷即可得出正確結(jié)論【詳解】作出如圖的圖象E是BD的中點易得∠AED＝90°即為此直二面角的平面角對于命題①AB與平面BCD解析：②③④【解析】【分析】作出此直二面角的圖象，由圖形中所給的位置關(guān)系對命題逐一判斷，即可得出正確結(jié)論．【詳解】作出如圖的圖象，E是BD的中點，易得∠AED＝90°即為此直二面角的平面角對于命題①AB與平面BCD所成的線面角的平面角是∠ABE＝45°，故AB與平面BCD成60°的角不正確；對于命題②，在等腰直角三角形AEC中AC等于正方形的邊長，故△ACD是等邊三角形，此命題正確；對于命題③可取AD中點F，AC的中點H，連接EF，EH，F(xiàn)H，則EF，F(xiàn)H是中位線，故∠EFH或其補角為異面直線AB與CD所成角，又EF,FH其長度為正方形邊長的一半，而EH是直角三角形AEC的中線，其長度是AC的一半即正方形邊長的一半，故△EFH是等邊三角形，由此AB與CD所成的角為60°，此命題正確；對于命題④，BD⊥面AEC，故AC⊥BD，此命題正確；對于命題⑤，連接BH，HD,則BH⊥AC,DH⊥AC,則∠BHD為二面角的平面角，又BH=DH=AC,BD=∠BHD=-故二面角不是綜上知②③④是正確的故答案為②③④【點睛】本題考查與二面角有關(guān)立體幾何中線線之間的角的求法，線面之間的角的求法，以及線線之間位置關(guān)系的證明方法．綜合性較強，對空間立體感要求較高．18．【解析】【分析】轉(zhuǎn)化條件點三點共線即可得到點滿足的條件化簡即可得解【詳解】由圓的方程可知圓心半徑為設(shè)點點三點共線可得由相似可得即聯(lián)立消去并由圖可知可得故答案為：【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)和軌跡方程的解析：【解析】【分析】轉(zhuǎn)化條件點、、三點共線、即可得到點滿足的條件，化簡即可得解.【詳解】由圓的方程可知圓心，半徑為.設(shè)點，，點、、三點共線，可得，由相似可得即，聯(lián)立消去并由圖可知，可得.故答案為：【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)和軌跡方程的求法，考查了轉(zhuǎn)化能力和運算能力，屬于中檔題.19．【解析】【分析】首先通過兩個底面面積之比為得到半徑比設(shè)出上底半徑為下底半徑為由因為母線與底面的夾角是得到母線長為高為就可以根據(jù)軸截面的面積解出代公式求出側(cè)面積即可【詳解】圓臺的兩個底面面積之比為則半解析：【解析】【分析】首先通過兩個底面面積之比為，得到半徑比，設(shè)出上底半徑為，下底半徑為，由因為母線與底面的夾角是，得到母線長為，高為.就可以根據(jù)軸截面的面積解出，代公式求出側(cè)面積即可.【詳解】圓臺的兩個底面面積之比為，則半徑比為所以設(shè)圓臺的上底半徑為，下底半徑為，由于母線與底面的夾角是，所以母線長為，高為.由于軸截面的面積為，所以，解得.所以圓臺的上底半徑為，下底半徑為.母線長為.所以圓臺的側(cè)面積為.故答案為：【點睛】本題主要考查圓臺的性質(zhì)以及圓臺的側(cè)面積，同時考查了線面成角問題，屬于中檔題.20．4【解析】因為圓=關(guān)于直線=對稱所以圓心在直線=上所以即又圓的半徑為當(dāng)點(ab)與圓心的距離最小時切線長取得最小值又點(ab)與圓心的距離為=所以切線長的最小值為=故答案為4點睛：本題主要考查直線與解析：4【解析】因為圓=關(guān)于直線=對稱,所以圓心在直線=上,所以,即,又圓的半徑為,當(dāng)點(a,b)與圓心的距離最小時,切線長取得最小值,又點(a,b)與圓心的距離為=,所以切線長的最小值為=.故答案為4點睛：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系,考查了轉(zhuǎn)化思想.利用勾股關(guān)系，切線長取得最小值時即為當(dāng)點(a,b)與圓心的距離最小時.三、解答題21．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，聯(lián)立兩直線得其交點坐標(biāo)，進而寫出直線的方程；（2）根據(jù)題意，設(shè)，則，利用點在直線上，得，，再利用到角公式得，即可得到的直線方程.【詳解】（1）由題意，聯(lián)立，解得，即兩直線的交點，所以，直線的斜率，故直線的方程為：.（2）設(shè)點B的坐標(biāo)為，則點，又點在直線上，即，解得，故，所以，直線的斜率，由到角公式得，，即，解得，所以BC所在直線方程為，化簡得.【點睛】本題考查直線方程，兩直線的位置關(guān)系，到角公式，屬于基礎(chǔ)題.22．（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中點，連接、，證明出，，利用直線與平面垂直的判定定理可得出平面，即可證明出；（2）延長，過點作延長線的垂線，垂足記為，說明直線與平面所成的角為，求出三邊邊長，利用余弦定理求出，即可求出直線與平面所成角的大?。驹斀狻浚?）取的中點，連接、，為等邊三角形，為的中點，，、分別為、的中點，，，，，平面，平面，；（2）延長，過點作延長線的垂線，垂足記為，平面，平面，，，，平面，所以，直線與平面所成的角為，由（2）知，，，.是邊長為的等邊三角形，.在中，，，由余弦定理得，.由余弦定理得，，.在中，由余弦定理得.，，因此，直線與平面所成角的大小為.【點睛】本題考查利用線面垂直的性質(zhì)證明線線垂直，同時也考查了直線與平面所成角的計算，涉及到利用余弦定理解三角形，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.23．（1）見解析（2）【解析】【分析】【詳解】試題分析：（1）直接利用面面垂直的性質(zhì)定理可證；（2）設(shè)，計算后可證OF//BE，從而由已知可證OF⊥平面ABCD，因此可以O(shè)A，OB，OF為坐標(biāo)軸建立空要間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角．試題解析：（1）∵平面平面，，平面平面，又平面，∴平面；（2）設(shè)，∵四邊形為等腰梯形，，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，又∵平面，∴平面，∴為與平面所成的角，∴，又∵，∴，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，∵平面，∴平面的法向量為，設(shè)平面的一個法向量為，由得，令得，，，∴二面角的余弦值為．點睛：立體幾何中求“空間角”，一種方法是根據(jù)“空間角”的定義作出它的“平面角”，再