突破中考角平分線類型題之策略研究(全文)

精品文檔-下載后可編輯突破中考角平分線類型題之策略研究(全文)角平分線在幾何中占有重要地位,是解決許多問題的橋梁和紐帶.角平分線把一個(gè)角分成相等的兩個(gè)部分,其“軸對(duì)稱功能”衍生出“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”以及“等腰三角形三線合一”、“三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等”等性質(zhì),而角平分線與平行線相結(jié)合構(gòu)造出等腰三角形,也常在解題中給我們帶來方便.[TPxm-1.tif,Y,PZ][TS(][JZ]圖1[TS)]

例1如圖1,在平行四邊形ABCD中,線段AE,BF分別平分∠DAB和∠ABC,交CD于點(diǎn)E,F,線段AE,BF相交于點(diǎn)M.

(1)試說明：AEBF；

(2)判斷線段DF與CE的大小關(guān)系,并予以說明.

(2)有結(jié)論：DF=CE,理由如下：

在DAE中,∠DAE=∠BAE=∠DEA,所以DE=DA．

同理有CF=CB.而AD=BC,所以DE=CF,從而：DF=CE．

評(píng)析本題利用角平分線與平行線結(jié)合構(gòu)造出等腰三角形解決問題.

例2已知拋物線y=ax2+bx與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B,頂點(diǎn)A在直線y=3x上,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若OAB的內(nèi)切圓半徑為1,求拋物線的解析式.

解不妨先研究a

因?yàn)辄c(diǎn)A在直線y=3x上,所以設(shè)A(x,3x),在RtACO中,tan∠AOC=AC[]CO=3|x|[]|x|=3,所以∠AOC=60°．

設(shè)AOB的內(nèi)心為I,連接IO．

在RtICO中,IC=1,而∠IOC=30°,所以O(shè)C=3,AC=3,即A(3,3),設(shè)y=a(x-3)2+3,過原點(diǎn)(0,0),解得a=-1,即：y=-x2+23x；當(dāng)a>0時(shí),同理可求另一條拋物線的解析式為：y=x2+23x．

評(píng)析本題利用三角形的內(nèi)心是角平分線的交點(diǎn),再利用角平分線的定義,轉(zhuǎn)化到直角三角形殊角解決問題.

評(píng)析由于題中有角平分線CD,用定義不能直接突破,但可聯(lián)想到“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等”這一性質(zhì),所以通過添加輔助線就解決了這一綜合性問題.

例4在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(12,0),ACx軸,直線y=2[]4x+32,與x交于點(diǎn)B,與直線AC交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)D.如果M分別與直線AC、BC相切,并且與線段AD也相切,求點(diǎn)M的坐標(biāo).

解當(dāng)x=0時(shí),y=32,即OD=32．當(dāng)y=0時(shí),x=-12,即OB=12．因?yàn)锳O=BO=12,AC∥y軸,所以BD=CD=AD,即：ADC是等腰三角形．

作DE∥x軸,作∠ACB的角平分線CF,分別交DE、y軸于點(diǎn)M1、M2,M1、M2就是所求M的圓心．當(dāng)x=12時(shí),y=2[]4×12+32=62,即AC=62,因?yàn)锳C∥y軸,CM2平分∠ACB,所以DM2=CD=1[]2BC=1[]2242+(62)2=92,所以O(shè)M2=AC=62,即M2(0,-62)．由OFM2與AFC全等知：OM=AM=6,BM=18,因?yàn)镈E∥x軸所以DM1[]BM=CD[]BC,即：DM1[]18=1[]2,所以DM1=9,故M1(9,32)．

所以M分別與直線AC、BC相切,并且與線段AD也相切,圓心坐標(biāo)為M1(9,32),M2(0,-62)．

評(píng)析本題的關(guān)鍵在于掌握與三邊相切的圓的圓心是三角形三個(gè)內(nèi)角或外角平分線的交點(diǎn),這樣就確定了圓心的位置,然后利用相似或全等的知識(shí),問題就迎刃而解了.

基于以上思考與分析,大家對(duì)角平分線解決綜合應(yīng)用問題應(yīng)有一定的認(rèn)識(shí),對(duì)角平分線的定義及性質(zhì)的應(yīng)用進(jìn)行靈活、多途徑整合,不僅能構(gòu)造出一些有價(jià)值的結(jié)論或新題,更有利于完善學(xué)生的思維結(jié)構(gòu),培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.

簡介:

熊猛,四川巴中人,1972年10月