電感及線性動態(tài)電路

電感及線性動態(tài)電路第1頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月第6章電容、電感及線性動態(tài)電路

在電路模型中往往不可避免地要包含電容元件和電感元件。這些元件要用微分的u~i關系來表征，因此有時稱為動態(tài)元件（dynamicelement）。

含有動態(tài)元件的電路稱為動態(tài)電路。

動態(tài)電路在任一時刻的響應（response，由激勵產(chǎn)生的電流和電壓稱為響應）與激勵（excitation，在電路中產(chǎn)生電壓和電流的起因稱為激勵）的全部過去歷史有關，這主要是由動態(tài)元件的性能所決定的

。

本章首先介紹動態(tài)元件的電壓—電流關系，動態(tài)元件的儲能性質，最后重點分析包含一個動態(tài)元件的一階線性動態(tài)電路

。

第2頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月6.1電容元件

把兩片金屬極板用介質隔開就可以構成一個簡單的電容器（capacitor）。由于介質是不導電的，在外電源的作用下，極板上便能分別聚集等量的異性電荷。

電容器是一種能聚集電荷的部件。電荷的聚集過程也就是電場的建立過程，在這過程中外力所作的功應等于電容器中所儲藏的能量，因此也可以說電容器是一種能夠儲存電能的部件。電容器的符號下圖所示。

對于一定的電容器，極板上所聚集的電荷與外加的電壓成正比。如果比例系數(shù)是一常數(shù)，這種電容元件就是線性的，其比例系數(shù)就是電容器的電容量（capacitance），簡稱電容，用符號C表示，即

：

電路中使用最多的是平行板電容器，當極板面積為S(m2)，極板間的距離為d（m），極板間介質的介電常數(shù)ε（F/m）時，其電容為：

一個實際的電容器，除了標明它的電容量外，還標明它的額定工作電壓。使用電容器時不應超過它的額定工作電壓。

第3頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月6.1.1電容電壓與電流的關系

設電容元件兩端電壓與電流為關聯(lián)參考方向，如上圖所示。當電容兩端電壓有du變化時，則電容器上的電荷量也必有相應的dq變化，即：dq=Cdu

所以流過電容電路的電流：線性電容元件的電流與電壓的變化率成正比，電容電壓變化越快，即越大，電流就越大。

上式還表明了電容的一個重要性質：如果在任何時刻，通過電容的電流只能為有限值，那么，就必須為有限值，這就意味著電容兩端的電壓不可能躍變，而只能是連續(xù)變化的。電容電壓不能躍變是分析動態(tài)電路時一個很有用的概念。

對上式積分，可得電容的電壓u與i的函數(shù)關系，即：如果只考慮對某一任意選定的初始時刻t０以后電容的情況，上式可寫成：第4頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月【例】

已知加在Ｃ＝１μF電容器上的電壓為一三角形波，如圖(a)所示，求電容電流。

解：已知電容兩端電壓u(t)，求電流i(t)，可用下式。

由于三角波對稱，周期為１ms，只需分析半個周期。

當0≤t≤0.25ms時，u＝４×105t當0.25≤t≤0.5ms時，u＝－４×105t+200故得電流隨時間變化的曲線如圖中(b)所示，可以看出，電流是一個矩形波。

第5頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月6.1.2電容元件的儲能一般來說，電壓、電流都是隨時間變化的，那么，功率也是隨時間變化的。每一瞬間的功率，稱為瞬時功率。以符號p表示，則：p=ui把同一瞬時的電壓和電流相乘，可逐點繪出功率隨時間變化的曲線，稱為功率波形圖。從功率波形圖可以看出，功率有時為正，有時為負。說明電容有時吸收功率，有時卻又放出功率。電容的能量總是正值，但有時增長，有時減少。即在一段時間，電容吸收了能量，在另一段時間，卻又把它釋放出來。因此，電容是一種能儲存能量的元件，不是耗能元件。電容儲存的能量為：例如t=-∞時，電容器上無電荷儲藏，即q(-∞)=0，則u(-∞)=0，那么，電容器上t時刻的儲能：第6頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月【例】定值電流４mA從t=0時開始對電容充電，C=1000μF。10s后電容的儲能是多少？100s后儲能又是多少？設電容初始電壓為零。

解：已知i=4mAu(0)=0V，當t=10s時

當t=100s時

或

：

作業(yè)：P1121，2，3

第7頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月6.2電感元件

將一導線繞成螺旋狀或將導線繞在鐵心或磁心上就構成常用的電感器或電感線圈。當電感線圈中有電流通過時，線圈周圍就建立了磁場，即有磁感線穿過線圈，經(jīng)過空間，形成封閉的線。磁感線的方向與電流的方向有關，由右手螺旋法則確定，如圖所示。

磁場也儲存能量，因此電感線圈是一種能夠儲存磁能的部件。

當線圈中間和周圍沒有鐵磁物質時，通過線圈的電流變化，穿過線圈的磁通也將發(fā)生變化，且磁通φ的變化與電流i的變化成正比關系。

ψ=Nφ=Li或

長直螺旋管的電感量為

:實際的電感線圈可用一個理想電感元件作為它的模型，如下圖所示。

第8頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月6.2.1電感電壓與電流的關系

當通過電感的電流發(fā)生變化時，磁鏈也相應地發(fā)生變化，根據(jù)電磁感應定律，電感兩端出現(xiàn)（感應）電壓，當感應電壓的參考方向與電流參考方向一致時，感應電壓等于磁鏈的變化率，即

:以線性電感ψ-i關系式代入得:上式說明：在某一時刻電感電壓取決于該時刻電流的變化率，而與該時刻的電流過去的歷史無關。

上式還表明電感的一個重要性質：如果電感的電壓只能為有限值，那么電感的電流是不能突變的，這和電容電壓不能躍變的道理是類似的，也是分析動態(tài)電路時一個很有用的概念。

也可以把電感的電流i表示為電壓u的函數(shù)，可得：

在任選初始時刻t0以后，上式可表示為：上式說明。在某一時刻t的電感電流值取決于其初始值i(t0)以及在［t0，t］區(qū)間所有的電壓值。

下面通過例題來說明。

第9頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)

當0≤t≤1s時，i=5tA 解：

（１）uab為電阻的電壓，應與i成正比，據(jù)此可繪出uab的波形圖。ubc的為電感電壓，應與i對t的導數(shù)成正比，也就是與i~t曲線的斜率成正比，據(jù)此可繪出ubc的的波形圖。各波形圖如圖所示。

【例】電路如圖(a)所示，Ｒ＝５Ω，Ｌ＝２Ｈ，電流源的電流波形如圖(b)所示。

(1)、繪出uab與ubc的波形圖。(2)、寫出uab與ubc的表示式。

當1≤t≤3s時，i=-5t+10

A當3≤t≤4s時，i=5t-20

A第10頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月6.2.2電感的儲能

電感是儲存磁能的元件，儲能公式的推導與電容儲能公式一樣。

電感的功率為：因此，電感元件上儲存的能量為：對于線性電感：假設t=-∞時，電感上電流為零，則上式可寫為：可見，電感在某一時刻的儲能只與該時刻的電流值有關，電流增加時，吸收能量，電流下降時，釋放能量，電感元件并不消耗能量，是一個儲能元件。

第11頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月【例】有一Ｌ=3H的理想電感元件，已知流過它的電流是梯形波，如圖所示。求電壓的波形，分析能量儲放情況。

解：此電流的周期為16s。在t=2、6、10、14s各點上不連續(xù)。由于對稱，可以只分析前半個周期的三段（oa、ab、bc）當0≤t≤2s時i=2t當2≤t≤6s時i=4當6≤t≤8s時

i=4-2(t-6)=16-2t

由此可見，電壓是一矩形波。

第12頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月6.3線性動態(tài)電路的分析

不論是電阻性電路還是動態(tài)電路，各支路電流和各支路電壓都受基爾霍夫定律的約束，只是在動態(tài)電路中，來自元件性質的約束，除了電阻元件的歐姆定律，還有電容、電感的電壓－電流關系，需用微分（或積分）的形式來表示，因此，線性動態(tài)電路不能用線性代數(shù)方程，而要用線性微分方程來描述。

在實際工作中，經(jīng)常遇到只包含一個動態(tài)元件的線性動態(tài)電路，這種動態(tài)電路是用線性常系數(shù)一階微分方程來描述的，故稱為一階動態(tài)電路。以電容元件為例，這類電路可以用上圖(式(a)來概括。圖中所示的方框部分只由電阻和電源組成，可以用戴維南等效電路代替，因此，這類動態(tài)電路的分析問題可歸結為圖(b)所示電路的分析問題。第13頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月6.3.1穩(wěn)態(tài)與暫態(tài)在自然界中，事物的運動規(guī)律通常是：在特定條件下處于一種穩(wěn)定狀態(tài)，一旦條件改變，就要過渡到另一種新的穩(wěn)定狀態(tài)。事物從一種穩(wěn)態(tài)進到另一種新的穩(wěn)定狀態(tài)往往需要一定的時間（一個過程）的，這段時間或這個過程稱為過渡過程或暫態(tài)過程。引起過渡過程的原因有二：一是換路（如：電路的接通、斷開，電路接線的改變或是電路參數(shù)、電源的突然變化等都稱為“換路”）；二是具有儲能元件，即動態(tài)元件。

在電子技術中常利用RC電路的過渡過程，即暫態(tài)過程來產(chǎn)生所需波形或產(chǎn)生延時作成電子式時間繼電器等。電路在暫態(tài)過程中也會出現(xiàn)過電壓或過電流現(xiàn)象，有時會損壞電氣設備，造成嚴重事故。

因此，我們必須認識和掌握過渡過程這一物理現(xiàn)象的規(guī)律，以便在工程實際上既能充分地利用它，又能設法防止它的危害。第14頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月6.3.2換路定則及初始值的確定設t=0為換路瞬間，以t=0-表示換路前的終了瞬間，t=0+表示換路后的初始瞬間。0-和0+在數(shù)值上都等于0，但是前者是指從負值趨于零，后者是從正值趨于零。從t=0-到t=0+瞬間，由電容元件，電感元件的性質可知，電容元件上的電壓不能躍變，電感元件中的電流不能躍變，這就是換路定則。用公式表示，則為：

注意：換路定則只能確定換路瞬時t=0+時的不能躍變的uc和iL的初始值，而ic和uL以及電路中其它元件的電壓、電流初始值是可以躍變的（是否躍變，由具體電路結構而定）。由換路定則確定了uc(0+)或iL(0+)初始值后，電路中其它元件的電壓、電流的初始值可按以下原則計算確定：

1．換路瞬間，電容元件當作恒壓源。如果uc(0-)=0，則uc(0+)=0，電容元件在換路瞬間相當于短路。

2．換路瞬間，電感元件當作恒流源。如果iL(0-)=0。則iL(0+)=0，電感元件在換路瞬間相當于開路。

3．運用KCL、KVL及直流電路中的分析方法，可計算電路在換路瞬間元件的電壓、電流的初始值。第15頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月【例】確定下圖所示電路在換路后（開關閉合）各電流和電壓的初始值。設開關在閉合前（換路前）電容元件和電感元件均未儲存能量。

解：（1）求t=0-時電容電壓uc(0-)和電感電流iL(0-)。由已知條件可知：

uc(0-)=0iL(0-)=0（2）作出t=0+時的等效電路。由電路可知：

uc(0+)=uc(0-)=0iL(0+)=iL(0-)=0（3）根據(jù)t=0+的等效電路，運用直流電路中的分析方法，即可求出各電壓、電流的初始值為：

iL(0+)=0iC(0+)=i1(0+)=Us/R1uc(0+)=0uR1(0+)=UsuR2(0+)=0uL(0+)=uR1(0+)=Us

第16頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月

【例】如圖（a）所示電路中,已知US=18V,R1=1Ω,R2=2Ω,R3=3Ω,L=0.5H,C=4.7μF,－開關S在t=0時合上,設S合上前電路已進入穩(wěn)態(tài)。試求i1(0+)、i2(0+)、i3(0+)、uL(0+)、uC(0+)。

解：第一步,作t=0—等效電路如圖（b）所示,這時電感相當于短路,電容相當于開路。第二步,根據(jù)t=0—等效電路,計算換路前的電感電流和電容電壓:根據(jù)換路定律,可得：第三步,作t=0+等效電路如圖（c）所示,這時電感L相當于一個12A的電流源,電容C相當于一個12V的電壓源。第17頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月

第四步,根據(jù)t=0+等效電路,計算其它的相關初始值:第18頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月【例】如圖（a）所示電路在t=0時換路,即開關S由位置1合到位置2。設換路前電路已經(jīng)穩(wěn)定,求換路后的初始值i1(0+)、i2(0+)和uL(0+)。

解

(1）作t=0—等效電路如圖（b）所示。則有：（2）作t=0+等效電路如圖（c）所示。由此可得：

第19頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月

【例】如圖（a）所示電路,t=0時刻開關S閉合,換路前電路無儲能。試求開關閉合后各電壓、電流的初始值。

解（1）根據(jù)題中所給定條件,換路前電路無儲能,故得出：（2）作t=0+等效電路如圖（b）所示,這時電容相當于短路,電感相當于開路。則有：作業(yè)：P1136、7、8第20頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月6.3.3RC串聯(lián)電路的零輸入響應

下圖(a)為ＲＣ串聯(lián)電路，換路前，開關Ｓ在“１”位置，電路已處于穩(wěn)態(tài)，電容器Ｃ兩端已被充電到uc=E。在t=0瞬間進行換路，即將開關Ｓ由“１”切換到“２”位置上。根據(jù)換路定則，換路瞬間電容兩端電壓uc不能躍變，因此有：在t≥0時，電路中并無電源作用，這種沒有外施激勵，僅有初始儲能的電路稱為零輸入電路。由儲能元件的初始儲能的作用在電路中產(chǎn)生的響應稱為零輸入響應。換路后，根據(jù)基爾霍夫電壓定律，可得：icR+uc=０（t≥0）式中：代入上式，得：上式是一個一階線性常系數(shù)齊次微分方程，它的通解為：其中τ=RC稱為時間常數(shù)第21頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月于是零輸入電路的微分方程的解為：此解是輸入激勵為零時所得，即為零輸入響應，它表明電容器在放電時電壓uc隨時間變化的規(guī)律。

電阻電壓和放電電流隨時間變化的規(guī)律為：

uc、ic、uR同是RC一階電路的零輸入響應，它們都是隨時間按指數(shù)規(guī)律衰減的，如上圖

(b)所示。電壓、電流衰減的快慢，取決于時間常數(shù)τ的大小。

RC電路中的時間常數(shù)τ正比于R和C的乘積。適當調(diào)節(jié)RC電路中的參數(shù)R或C，就可以控制RC放電過程的快慢。右圖為具有不同時間常數(shù)τ時uc衰減曲線。

或：

第22頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月【例】

在下圖中，一個已充電的電容器經(jīng)電阻R放電，已知C=100μF，R=5KΩ，電容的初始儲能為5×103J。求：（1）零輸入響應uc和ic；（2）電容電壓衰減到3.68V時所需時間；（3）欲使在t=2s時電容器電壓減到7.5V，放電電阻R應為多大？解：(1)由已知初始儲能求出電容器的初始電壓uc(0+)，則：零輸入響應：（2）由于電容電壓從初始值10V下降到3.68V，即衰減到初始值的36.8%，由前面分析可知，正好經(jīng)過了一個時間常數(shù)τ，則t=τ=0.5s（3）由得：第23頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月6.3.4直流激勵下RC串聯(lián)電路的零狀態(tài)響應

下圖所示RC充電電路，開關S閉合前，如電容上電壓為零，我們稱儲能元件沒有初始儲能的電路為零狀態(tài)電路。開關S閉合后，電容開始充電，在充電過程中電壓uc和電流i的變化顯然僅僅是由外施激勵引起的，這種僅由外施激勵引起的響應稱為零狀態(tài)響應。開關S閉合后，由KVL可得：或：上式是一個一階常系數(shù)線性非齊次微分方程。

RC電路零狀態(tài)uc響應的全解：RC零狀態(tài)電流響應為：RC零狀態(tài)電阻上的電壓為：RC零狀態(tài)電路中，uc、i、uR的變化曲線如右圖所示。第24頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月【例】在下圖電路中，已知Ｕs=12V，Ｒ1=R2=10KΩ，Ｃ=1000pF，開關S閉合前電路處于零狀態(tài)。t=0時，開關閉合，求開關閉合后的uc、ic、iR及i。解：（１）運用戴維南定理得t≥0時的電路就電容支路兩端看進去的部分進行化簡，得如圖（b）所示。

（2）電阻R1支路與C并聯(lián)，R1兩端電壓的響應，就是uc電壓的響應，因此iR的響應可按歐姆定律求得，為：(3)由KCL，所以：作業(yè)：P114：10，11，12第25頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月6.3.5RL串聯(lián)電路的動態(tài)分析

RL電路中因為儲能元件L的存在，因此在換路后，電路要有一個暫態(tài)過程才能進入新的穩(wěn)定狀態(tài)。根據(jù)換路定則，線圈中的電流在換路瞬間是不能突變的。RL電路的暫態(tài)過程與RC電路的暫態(tài)過程的分析方法是相同的。1.RL串聯(lián)電路的零輸入響應右圖為RL串聯(lián)電路，S閉合前，電路已處于穩(wěn)態(tài)，電感中的電流為：電感中儲存的磁場能為：

t=0瞬間開關S閉合，將RL支路短接。由于電感電流不能躍變，這一電流在t=0瞬間仍在右邊RL回路中繼續(xù)流動，以后逐漸下降到零。因此S閉合后電路的響應為零輸入響應。換路后，由KVL列出電路方程為：uR+uL=0或：第26頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月上式是一個一階常系數(shù)線性齊次微分方程。其解法與RC串聯(lián)電路零輸入響應相同。iL的零輸入響應為：其中：τ為電路時間常數(shù)電阻R兩端電壓的零輸入響應為：電感電壓uL為：負號表示電感線圈兩端電壓的實際極性與參考方向相反。

iL、uR、uL同是RL電路的零輸入響應，它們都按指數(shù)規(guī)律衰減，如上圖所示，電壓、電流衰減的快慢，同樣是取決于時間常數(shù)τ的大小。第27頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月

【例】如圖（a）所示為一測量電路,已知L=0.4H,R=1Ω,US=12V,電壓表的內(nèi)阻RV=10kΩ,量程為50V。開關S原來閉合,電路已處于穩(wěn)態(tài)。在t=0時,將開關打開,試求:（1）電流i(t)和電壓表兩端的電壓uV(t);

（2）t=0時（S剛打開）電壓表兩端的電壓。解：（1）t≥0電路如圖（b）所示,為一RL電路。電路的時間常數(shù)為：電感中電流的初始值為：電感電流的表達式為：

電壓表兩端的電壓為：第28頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月2．RL串聯(lián)電路的零狀態(tài)響應在下圖的電路中，開關S閉合前電路中電流為零。開關閉合后，由KVL得：

uR+uL=U，所以得：上式與RC零狀態(tài)響應電路相似，因此可用相同的方法求出此微分方程的解，即：式中τ=L/RuR的響應為：uＬ的響應為：響應曲線如上圖所示，由曲線可見，iL的按指數(shù)規(guī)律增長，經(jīng)過（3~5）τ時間，暫態(tài)過程結束，iL達到穩(wěn)態(tài)值U/R，而此時電感線圈兩端電壓已趨近為零（在直流電路中，線圈視為短路），則uR(∞)=U。第29頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月

【例】如圖所示電路，已知U=18V，R=1500Ω，L=15H。求：（1）時間常數(shù)；（2）uL和iL的表達式；（3）經(jīng)過10ms后的uL和iL的數(shù)值。解

（1）時間常數(shù)

τ=L/R=15/1500=10-2s=10ms（2）

(3)當t=10ms，即t=τ時作業(yè)：P11413、14第30頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月6.3.6一階動態(tài)電路的全響應在一階動態(tài)電路中，當儲能元件為非零初始狀態(tài)（換路瞬間已具有初始儲能），且有外施激勵時，兩者共同作用下，在電路中產(chǎn)生的響應，稱為一階動態(tài)電路的全響應。下面以在直流激勵下非零狀態(tài)的RC電路為例，說明全響應的分析方法，其電路如下圖所示。開關S動作前，在“1”位置，且處于穩(wěn)態(tài)，即uc(0-)=E0。t=0瞬間，S由“1”切換到“2”位置，此時根據(jù)基爾霍夫電壓定律，可寫出：非零狀態(tài)uc的全響應為：式中τ=ＲC，為換路后的時間常數(shù)。由上式可見，RC一階電路的全響應由兩部分疊加而成，即穩(wěn)態(tài)分量uc(∞)和按指數(shù)規(guī)律衰減的暫態(tài)分量[uc(0+)-uc(∞)]兩部分組成。或由上式可見，全響應又是零輸入響應和零狀態(tài)響應疊加的結果，這體現(xiàn)了線性電路的疊加性。第31頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月上圖電路中uc的響應可分為三種情況：

1．E0=E，uc(t)=E，說明電路無暫態(tài)過程，因為uc的初始值等于uc的穩(wěn)態(tài)值，相當于沒有換路。

2．E0＜E，即uc的初始值小于穩(wěn)態(tài)值。在暫態(tài)過程中，電容繼續(xù)充電，uc將按指數(shù)規(guī)律增長到穩(wěn)態(tài)值，見右圖所示。

3．E0＞E，即uc初始值大于穩(wěn)態(tài)值。電容器在換路后將處于放電狀態(tài)，uc將按指數(shù)規(guī)律衰減到穩(wěn)態(tài)值，見右圖所示。第32頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月6.3.7三要素法由前面分析可知，一階動態(tài)電路的過渡過程通常是：電路中各處的電壓、電流都是按指數(shù)規(guī)律變化的，它們都是從初始值開始，逐漸增長或是逐漸衰減到達穩(wěn)態(tài)值的，并且同一電路各支路電流和電壓的時間常數(shù)都是相同的。由全響應式也可以發(fā)現(xiàn)，只要知道了電容電壓的穩(wěn)態(tài)值uc(∞)，初始值uc(0+)及RC電路的時間常數(shù)τ，就可以直接寫出電容電壓過渡過程的表達式。設f(t)代表電路中任意支路的電壓或電流；f(∞)表示該支路電壓或電流的穩(wěn)態(tài)值；f(0+)表示換路后該支路的電壓或電流的初始值，則有：