高中必修四三角函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)

高中必修四三角函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)三角函數(shù)知識要點(diǎn)1.角度集合：①與α（0°≤α＜360°）終邊相同的角的集合為：{β|β=k×360°+α,k∈Z}②終邊在x軸上的角的集合為：{β|β=k×180°,k∈Z}③終邊在y軸上的角的集合為：{β|β=k×180°+90,k∈Z}④終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為：{β|β=k×90°,k∈Z}⑤終邊在y=x軸上的角的集合為：{β|β=k×180°+45°,k∈Z}⑥終邊在y=?x軸上的角的集合為：{β|β=k×180°?45°,k∈Z}2.SIN/COS三角函數(shù)值大小關(guān)系圖：1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在區(qū)域。3.角的對稱性：⑦若角α與角β的終邊關(guān)于x軸對稱，則角α與角β的關(guān)系為：α=360°k?β⑧若角α與角β的終邊關(guān)于y軸對稱，則角α與角β的關(guān)系為：α=360°k+180°?β⑨若角α與角β的終邊在一條直線上，則角α與角β的關(guān)系為：α=180°k+β⑩角α與角β的終邊互相垂直，則角α與角β的關(guān)系為：α=360°k+β±90°4.角度與弧度的互換關(guān)系：360°=2π180°=π1°=0.01745≈57.30°=57°18′注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零?；《扰c角度互換公式：1rad＝180°≈57.30°=57°18ˊ．1°＝π≈0.01745（rad）5.弧長公式與扇形面積公式：弧長公式為：l=|α|×r，扇形面積公式為：s=lr=|α|×r26.三角函數(shù)：設(shè)α是一個任意角，在α的終邊上任?。ó愑谠c(diǎn)的）一點(diǎn)P(x,y)，P與原點(diǎn)的距離為r，則：sinα=y/rcosα=x/rtanα=y/xcotα=x/ysecα=r/xcscα=r/y7.三角函數(shù)在各象限的符號：第一象限中正弦、余割為正，余弦、正割、正切、余切為正；第二象限中正弦、正割為正，余弦、余割、正切、余切為負(fù)；第三象限中正弦、余割為負(fù)，余弦、正割、正切、余切為負(fù)；第四象限中正弦、正割為負(fù)，余弦、余割、正切、余切為正。8.三角函數(shù)線：正弦線為MP，余弦線為OM，正切線為AT。9.三角函數(shù)的定義域：三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的一個重要內(nèi)容。在學(xué)習(xí)三角函數(shù)時，我們需要掌握函數(shù)的定義域、值域、基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)等知識。三角函數(shù)包括正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)、正割函數(shù)和余割函數(shù)。它們的定義域和值域各不相同，需要我們仔細(xì)區(qū)分。同時，我們還需要掌握它們之間的基本關(guān)系式，如sinx/cosx=tanx等。在計(jì)算三角函數(shù)時，我們可以利用誘導(dǎo)公式，把一個角的三角函數(shù)化為另一個角的三角函數(shù)，以便進(jìn)行計(jì)算和化簡。此外，我們還需要掌握三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，以便更好地理解和應(yīng)用它們。在學(xué)習(xí)三角函數(shù)時，我們還需要掌握一些常見的公式，如基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、和角公式、差角公式等。這些公式在計(jì)算和證明恒等式時非常有用。最后，我們還需要掌握角度制和弧度制的轉(zhuǎn)換，以及已知三角函數(shù)值求角度的方法。掌握這些知識，可以幫助我們更好地理解和應(yīng)用三角函數(shù)。公式組一：$$\cot(\pi+x)=\cotx$$$$\cot(2\pi-x)=-\cotx$$$$\cot(\pi-x)=-\cotx$$公式組二：$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$$$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$$$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$$$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$$$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$$$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$$$\tan\alpha\pm\tan\beta=\frac{\sin(\alpha\pm\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$$公式組三：$$\frac{1}{\sin\alpha\cos\beta}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sin(\alpha+\beta)}+\frac{1}{\sin(\alpha-\beta)}\right)$$$$\cos(\pi-\alpha)=\sin\alpha$$$$\sin\alpha=\cos\alpha\tan\frac{\alpha}{2}$$$$\sin\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)}{2\cos\alpha}$$$$\cos\beta=\frac{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}{2}$$$$\tan(\pi-\alpha)=\cot\alpha$$$$\tan\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$$公式組四：$$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha$$$$\sin(\alpha-\beta)=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$$$$\tan(\pi+\alpha)=-\tan\alpha$$$$\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha$$$$\cos(\alpha+\beta)=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$$$$\cos(\alpha-\beta)=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$$公式組五：$$\sin15^\circ=\cos75^\circ=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$$$\sin75^\circ=\cos15^\circ=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$$$\tan15^\circ=\cot75^\circ=2-\sqrt{3}$$$$\tan75^\circ=\cot15^\circ=2+\sqrt{3}$$小結(jié)：本文介紹了三角函數(shù)中的角與角之間的互換，包括兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式。同時，還給出了一些常見角度的正弦、余弦、正切值。這些公式和數(shù)值對于解決三角函數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)問題非常有用。令$\alpha=\beta\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\sin\alpha\sin\beta\Rightarrow\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\Rightarrow2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha\tan\alpha\pm\tan\beta\frac{1+\cos2\alpha}{1-\cos2\alpha}\Rightarrow\cos^2\alpha=\frac{1}{2}(1+\tan\alpha\tan\beta),\sin^2\alpha=\frac{1}{2}(1-\tan\alpha\tan\beta),\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha},\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\sin(\alpha\pm\beta)}{\cos(\alpha\pm\beta)}$正弦定理：在$\triangleABC$中，$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R$（$R$為$\triangleABC$外接圓半徑）。注意變形應(yīng)用$\begin{cases}b=2R\sinB\\c=2R\sinC\end{cases}$。余弦定理：$\begin{cases}\cosA=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\\cosB=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\\cosC=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\end{cases}$。面積公式：$\begin{aligned}S_{\triangleABC}&=\dfrac{1}{2}ab\sinC=\dfrac{1}{2}ac\sinB=\dfrac{1}{2}bc\sinA\\&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\quad(s=\dfrac{a+b+c}{2})\end{aligned}$。正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖像的性質(zhì)：$\begin{aligned}&\sinx\in[-1,1],\cosx\in[-1,1],\tanx\in(-\infty,+\infty),\cotx\in(-\infty,+\infty)\\&\sinx,\cosx$均為$2\pi$周期函數(shù)，$\tanx,\cotx$均為$\pi$周期函數(shù)\\&$\sin(-x)=-\sinx,\cos(-x)=\cosx,\tan(-x)=-\tanx,\cot(-x)=-\cotx$\\&$\sinx$為奇函數(shù)，$\cosx$為偶函數(shù)，$\tanx,\cotx$均為奇函數(shù)\\&$\sinx,\cosx$在$[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]$上單調(diào)遞增，$\tanx,\cotx$在$(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2})$上單調(diào)遞增\\&$\sinx,\cosx$在$[\pi,2\pi]$上單調(diào)遞減，$\tanx,\cotx$在$(\pi,2\pi)$上單調(diào)遞減\end{aligned}$。上為減函數(shù)（k∈Z）注意：①y=-sinx與y=sinx的單調(diào)性正好相反；y=-cosx與y=cosx的單調(diào)性也同樣相反。一般地，若y=f(x)在[a,b]上遞增（減），則y=-f(x)在[a,b]上遞減（增）。②y=sinx與y=cosx的周期是π。③y=sin(ωx+φ)或y=cos(ωx+φ)（ω≠0）的周期T=2π/ω。y=tanx的周期為2π（T=π/ω，如圖，翻折無效）。④y=sin(ωx+φ)的對稱軸方程是x=kπ+π/2（k∈Z），對稱中心（kπ，0）；y=cos(ωx+φ)的對稱軸方程是x=kπ（k∈Z），對稱中心（kπ+1/2π，0）；y=tan(ωx+φ)的對稱中心（kπ/2，0）。2y=cos2x——原點(diǎn)對稱——→y=-cos(-2x)=?cos2x⑤當(dāng)tanα·tanβ=1，α+β=kπ+π/2（k∈Z）；tanα·tanβ=?1，α?β=kπ+π/2（k∈Z）。⑥函數(shù)y=cosx與y=sin(x+2kπ)是同一函數(shù)，而y=sin(ωx+φ)是偶函數(shù)，則y=sin(ωx+kπ+π/2)=±cos(ωx)/2。⑦函數(shù)y=tanx在R上為增函數(shù)。（×）[只能在某個單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增。若在整個定義域，y=tanx為增函數(shù)，同樣也是錯誤的]⑧定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是f(x)具有奇偶性的必要不充分條件。（奇偶性的兩個條件：一是定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱（奇偶都要），二是滿足奇偶性條件，偶函數(shù)：f(?x)=f(x)，奇函數(shù)：f(?x)=?f(x)）奇偶性的單調(diào)性：奇同偶反。例如：y=tanx是奇函數(shù)，y=tan(x+π)是非奇非偶。（定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱）奇函數(shù)特有性質(zhì)：若∈x的定義域，則f(x)一定有f(?x)=0。（?x的定義域，則無此性質(zhì)）⑨y=sinx不是周期函數(shù)；y=sinx為周期函數(shù)（T=π）；y=cosx為周期函數(shù)（T=π）；y=cosx是周期函數(shù)（如圖）。y=arctan(x)，其定義域?yàn)椋?∞，+∞），值域?yàn)椋?π/2，π/2）。函數(shù)y=ctgx在區(qū)間（0，π）的反函數(shù)稱為反余切函數(shù)，記作y=arcctgx，其定義域?yàn)椋?∞，+∞），值域?yàn)椋?，π）?！靖傎愔R要點(diǎn)】一、反三角函數(shù)1.反三角函數(shù)：⑴反正弦函數(shù)y=arcsinx是奇函數(shù)，因此arcsin(-x)=-arcsinx，其中x∈[-1,1]（需注明定義域）。若x∈(-∞,+∞)，則y=sinx沒有反函數(shù)。注：sin(arcsinx)=x，其中x∈[-1,1]，arcsinx∈[-π/2,π/2]。⑵反余弦函數(shù)y=arccosx既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)，但有arccos(-x)+arccos(x)=π+2kπ，其中x∈[-1,1]。注：①cos(arccosx)=x，其中x∈[-1,1]，arccosx∈[0,π]。②y=cosx是偶函數(shù)，y=arccosx既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)，而y=sinx和y=arcsinx為奇函數(shù)。⑶反正切函數(shù)：y=arctanx，其定義域?yàn)?-∞,+∞)，值域?yàn)?-π/2，π/2)。因此arctan(-x)=-arctanx，其中x∈(-∞,+∞)。注：tan(arctanx)=x，其中x∈(-∞,+∞)。⑷反余切函數(shù)：y=arccotx，其定義域?yàn)?-∞,+∞)，值域?yàn)?0,π)。反余切函數(shù)既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)，但滿足arccot(-x)+arccot(x)=π+2kπ，其中x∈(-∞,+∞)。注：①cot(arccotx)=x，其中x∈(-∞,+∞)。②y=arcsinx與y=arcsin(1-x)互為奇函數(shù)，y=arctanx同理為奇函數(shù)，而y=arccosx與y=arccotx既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)，但滿足arccos(-x)+arccosx=π+2kπ，其中x∈[-1,1]；arccotx+arccot(-x)=π+2kπ，其中x∈[-1,1]。2.正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的解集：a的取值范圍解集a的取值范圍解集①sinx=a的解集②cosx=a的解集a>1?a=1{x|x=2kπ+arcsina,k∈Z}-1<a<1{x|x=kπ+(-1)karcsina,k∈Z}a>1?a=1{x|x=2kπ+arccosa,k∈Z}a<1{x|x=kπ±arccosa,k∈Z}tanx的解集為{x|x=kπ+arctana,k∈Z}，cotx的解集為{x|x=kπ+arccota,k∈Z}。下面是一些三角恒等式：組一：sin(2n+1)α/(n*cosα*cos2α*cos4α*...*cos2nα)=(n+1/2)*sinα