全等三角形經典編輯題型

.\全等三角形的提高拓展訓練知識點睛全等三角形的性質：對應角相等，對應邊相等，對應邊上的中線相等，對應邊上的高相等，謝謝閱讀對應角的角平分線相等，面積相等．尋找對應邊和對應角，常用到以下方法：(1)全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊．謝謝閱讀(2)全等三角形對應邊所對的角是對應角，兩條對應邊所夾的角是對應角．感謝閱讀(3)有公共邊的，公共邊常是對應邊．(4)有公共角的，公共角常是對應角．(5)有對頂角的，對頂角常是對應角．(6)兩個全等的不等邊三角形中一對最長邊(或最大角)是對應邊(或對應角)，一對最短邊(或最小角)是對應邊(或對應角)．精品文檔放心下載要想正確地表示兩個三角形全等，找出對應的元素是關鍵．謝謝閱讀全等三角形的判定方法：(1)邊角邊定理(SAS)：兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等．感謝閱讀(2)角邊角定理(ASA)：兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等．精品文檔放心下載(3)邊邊邊定理(SSS)：三邊對應相等的兩個三角形全等．精品文檔放心下載(4)角角邊定理(AAS)：兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等．謝謝閱讀(5)斜邊、直角邊定理(HL)：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等．精品文檔放心下載全等三角形的應用：運用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直等問題，在證明的過程中，注意有時會添加輔助線．感謝閱讀拓展關鍵點：能通過判定兩個三角形全等進而證明兩條線段間的位置關系和大小關系．而證精品文檔放心下載明兩條線段或兩個角的和、差、倍、分相等是幾何證明的基礎．精品文檔放心下載例題精講板塊一、截長補短【例1】(06年北京中考題)已知ABC中，A60o，BD、CE分別平分ABC和.ACB，BD、CE交于點O，試判斷BE、CD、BC的數量關系，并加以證明．謝謝閱讀

E

AO DB C【例2】如圖，點M為正三角形ABD的邊AB所在直線上的任意一點(點B除外)，作DMN60，射線MN與∠DBA外角的平分線交于點N，DM與MN有怎樣的數量關系?感謝閱讀DNA M B E.\【變式拓展訓練】如圖，點M為正方形ABCD的邊AB上任意一點，MNDM且與∠ABC外角的平分線交于點N，MD與MN有怎樣的數量關系？感謝閱讀D CNA M B E【例3】已知：如圖，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求證：BE+DF=AE.精品文檔放心下載A DFB E C【例4】以ABC的AB、AC為邊向三角形外作等邊ABD、ACE，連結CD、BE相交于點O．求證：OA平分DOE．謝謝閱讀D A D AE EFO OB C B C.\【例5】(北京市、天津市數學競賽試題)如圖所示，ABC是邊長為1的正三角形，BDC是頂角為120的等腰三角形，以D為頂點作一個60的MDN，點M、N分別在AB、AC上，求AMN的周長．謝謝閱讀ANMB CD【例6】五邊形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，感謝閱讀求證：AD平分∠CDEAB EC D板塊二、全等與角度【例7】如圖，在ABC中，BAC60，AD是BAC的平分線，且ACABBD，精品文檔放心下載求ABC的度數.AB D CA.\【例8】在等腰ABC中，ABAC，頂角A20，在邊AB上取點D，使ADBC，精品文檔放心下載BDC.【例9】(“勤奮杯”數學邀請賽試題)如圖所示，在ABC中，ACBC，C20，精品文檔放心下載M在AC上，N在BC上，且滿足BAN50，ABM60，求NMB.感謝閱讀CMN【例10】在四邊形ABCD中，已知ABAC，ABD60，ADB76，BDC28，求DBC的度數.感謝閱讀DCA B【例11】(日本算術奧林匹克試題)如圖所示，在四邊形ABCD中，DAC12，謝謝閱讀CAB36，ABD48，DBC24，求ACD的度數.感謝閱讀D CA B【例12】(河南省數學競賽試題)在正ABC內取一點D，使DADB，在ABC外取一點E，使DBEDBC，且BEBA，求BED.精品文檔放心下載AEDB C.\【例13】(北京市數學競賽試題)如圖所示，在ABC中，BACBCA44，M為ABC內一點，使得MCA30，MAC16，求BMC的度數.精品文檔放心下載BMA C全等三角形證明經典50題（含答案）已知：AB=4，AC=2，D是BC中點，AD是整數，求ADA精品文檔放心下載B CD延長AD到E,使DE=AD,則三角形ADC全等于三角形EBDBE=AC=2在三角形ABE中,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+24<AD<6感謝閱讀又AD是整數,則AD=512. 已知：D是AB中點，∠ACB=90°，求證：CD2AB謝謝閱讀ADC B已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F(xiàn)是CD中點，求證：∠1=∠2精品文檔放心下載A12B EC F D證明：連接BF和EF。因為BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。所以三角形BCF全等于三角形EDF(邊角邊)。感謝閱讀所以BF=EF,∠CBF=∠DEF。連接BE。在三角形BEF中,BF=EF。所以∠EBF=∠BEF。又因為∠ABC=∠AED。所以∠ABE=∠AEB。所以AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。感謝閱讀所以三角形ABF和三角形AEF全等。所以∠BAF=∠EAF(∠1=∠2)。已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求證：EF=AC感謝閱讀證明：過E點，作EG//AC，交AD延長線于G精品文檔放心下載則∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2又∵CD=DE∴⊿ADC≌⊿GDE（AAS） EB

.\A2FCD.\∴EG=AC∵EF//AB∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE∴EF=EG∴EF=AC已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求證：∠B=2∠CA謝謝閱讀B D證明：

CAC上截取AE=AB，連接ED∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠BAD謝謝閱讀又∵AE=AB，AD=AD∴⊿AED≌⊿ABD（SAS）∴∠AED=∠B，DE=DB∵AC=AB+BD感謝閱讀AC=AE+CE∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C∴∠B=2∠C精品文檔放心下載已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求證：AE=AD+BE謝謝閱讀證明：在AE上取F，使EF＝EB，連接CF因為CE⊥AB所以∠CEB＝∠CEF＝90°因為EB＝EF，CE＝CE，所以△CEB≌△CEF感謝閱讀所以∠B＝∠CFE因為∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°所以∠D＝∠CFA謝謝閱讀因為AC平分∠BAD所以∠DAC＝∠FAC又因為AC＝AC所以△ADC≌△AFC（SAS）所以AD＝AF.\所以AE＝AF＋FE＝AD＋BE如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分別平分∠ABC、∠BCD，且點E在AD謝謝閱讀上。求證：BC=AB+DC。證明:在BC上截取BF=BA,連接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,則⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;謝謝閱讀AB平行于CD,則:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,則∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.精品文檔放心下載所以,BC=BF+FC=AB+CD.13.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求證：∠F=∠C感謝閱讀EDAB//ED,AE//BD推出AE=BD,又有AF=CD,EF=BCC所以三角形AEF全等于三角形FDCB，所以:∠C=∠FAB14.已知：AB=CD，∠A=∠D，求證：∠B=∠CAD證明：設線段AB,CD所在的直線交于E，（當AD<BC時，E點是射線BA,CD的交點，當AD>BC時，E點是射線AB,DC的交點）。BC則：△AED是等腰三角形。所以：AE=DE而AB=CD所以：BE=CE(等量加等量，或等量減等量）所以：△BEC是等腰三角形所以：角B=角C.15.P是∠BAC平分線AD上一點，AC>AB，求證：PC-PB<AC-AB感謝閱讀作B關于AD的對稱點B‘，因為AD是角BAC的平分線，B'在線段AC上（在AC中間，精品文檔放心下載.\C因為AB較短）因為PC<PB’+B‘C,PC-PB’<B‘C,而B'C=AC-AB'=AC-AB,所以PC-PB<AC-ABADPB16.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求證：AC-AB=2BE∠BAC=180-（∠ABC+∠C=180-4∠C∠1=∠BAC/2=90-2∠C∠ABE=90-∠1=2∠C延長BE交AC于F因為，∠1=∠2，BE⊥AE所以，△ABF是等腰三角形AB=AF,BF=2BE∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠CBF=CFAC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE17.已知，E是AB中點，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC感謝閱讀AG∥BD交DE延長線于GAGE全等BDEAG=BD=5FCAGF∽CDFABAF=AG=5E所以DC=CF=218．（5分）如圖，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求證：AD⊥BC．感謝閱讀延長AD至H交BC于H;BD=DC;所以:∠DBC=∠角DCB;∠1=∠2;∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2;∠ABC=∠ACB;所以:AB=AC;三角形ABD全等于三角形ACD;∠BAD=∠CAD;.\AD是等腰三角形的頂角平分線所以:AD垂直BC19．（5分）如圖，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B為垂足，AB交OM于點N．求證：∠OAB=∠OBA精品文檔放心下載因為AOM與MOB都為直角三角形、共用OM，且∠MOA=∠MOB所以MA=MB感謝閱讀所以∠MAB=∠MBA因為∠OAM=∠OBM=90度所以∠OAB=90-∠MAB∠OBA=90-∠MBA所以∠OAB=∠OBA謝謝閱讀20．（5分）如圖，已知AD∥BC，∠PAB的平分線與∠CBA的平分線相交于E，CE的連線感謝閱讀AP于D．求證：AD+BC=AB．證明：PC做BE的延長線，與AP相交于F點，E∵PA//BCD∴∠PAB+∠CBA=180°，又∵，AE，BE均為∠PAB和∠CBA的角平分線AB∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB為直角三角形在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE為∠FAB的角平分線精品文檔放心下載∴三角形FAB為等腰三角形，AB=AF,BE=EF感謝閱讀在三角形DEF與三角形BEC中，∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，∴三角形DEF與三角形BEC為全等三角形，∴DF=BC∴AB=AF=AD+DF=AD+BC感謝閱讀21．（6分）如圖，△ABC中，AD是∠CAB的平分線，且AB=AC+CD，求證：∠C=2∠B證明：在AB上找點E，使AE=AC精品文檔放心下載A ∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD∴△ADE≌△ADC。DE=CD，∠AED=∠C∵AB=AC+CD，∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE感謝閱讀∠B=∠EDBCB∠C=∠B+∠EDB=2∠BD22．（6分）如圖①，E、F分別為線段AC上的兩個動點，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，謝謝閱讀AB=CD，AF=CE，BD交AC于點M．（1）求證：MB=MD，ME=MF謝謝閱讀（2）當E、F兩點移動到如圖②的位置時，其余條件不變，上述結論能否成立？若成立請給予證明；若不成立請說明理由．感謝閱讀.\分析：通過證明兩個直角三角形全等，即Rt△DEC≌Rt△BFABEDF是平行四邊形．再根據平行四邊形的性質得出結論．解答：解：（1）連接BE，DF．∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，謝謝閱讀∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，Rt△DEC和Rt△BFA中，∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA，∴DE=BF．感謝閱讀∴四邊形BEDF是平行四邊形．∴MB=MD，ME=MF；精品文檔放心下載（2）連接BE，DF．∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，E在Rt△DEC和Rt△BFA中，∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA，B∴DE=BF．∴四邊形BEDF是平行四邊形．∴MB=MD，ME=MF．

以及垂線的性質得出四邊形ADC23．（7分）已知：如圖，DC∥AB，且DC=AE，E為AB的中點，謝謝閱讀（1）求證：△AED≌△EBC．（2）觀看圖前，在不添輔助線的情況下，除△EBC外，請再寫出兩個與△AED的面積相等的三角形．（直接寫出結果，不要求證明）：精品文檔放心下載(1)DC∥AE，且DC=AE，所以四邊形AECD是平行四邊形。于是知AD=EC，且∠EAD=∠感謝閱讀BEC。由AE=BE，所以△AED≌△EBC。（2）△AEC、△ACD、△ECD都面積相等。24．（7分）如圖，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，BD的延長線垂直于過C點的直線于E，直線CE交BA的延長線于F．感謝閱讀求證：BD=2CE．證明：延長BA、CE，兩線相交于點F∵BE⊥CE∴∠BEF=∠BEC=90°在△BEF和△BEC中∠FBE=∠CBE,BE=BE,∠BEF=∠BEC精品文檔放心下載

FAEDB C.\∴△BEF≌△BEC(ASA)∴EF=EC∴CF=2CE∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90°謝謝閱讀又∵∠ADB=∠CDE∴∠ABD=∠ACF在△ABD和△ACF中∠ABD=∠ACF,AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°精品文檔放心下載∴△ABD≌△ACF(ASA)∴BD=CF∴BD=2CE26、（10分）如圖：AE、BC交于點M，F(xiàn)點在AM上，BE∥ACF，BE=CF。求證：AM是△ABC的中線。F證明：∵BE‖CFBMC∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCME∵BE=CFA∴△BEM≌△CFM∴BM=CMDBC∴AM是△ABC的中線.27、（10分）如圖：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中點。求證：BD⊥AC。感謝閱讀三角形ABD和三角形BCD的三條邊都相等，它們全等，所以角ADB和角CDB相等，它們的和是180度，所以都是90度，BD垂直AC精品文檔放心下載28、（10分）AB=AC，DB=DC，F(xiàn)是AD的延長線上的一點。求證：BF=CF謝謝閱讀證明：在△ABD與△ACD中AB=ACABD=DCAD=AD∴△ABD≌△ACD∴∠ADB=∠ADC

DB CF.\∴∠BDF=∠FDC在△BDF與△FDC中BD=DC∠BDF=∠FDCDF=DF∴△FBD≌△FCD∴BF=FC29、（12分）如圖：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求證：AF=DE。感謝閱讀AB因為AB=DCAE=DF,FCE=FBCE+EF=EF+FBE所以三角形ABE=三角形CDFCD因為角DCB=角ABFAB=DCBF=CE三角形ABF=三角形CDE所以AF=DE30.公園里有一條“Z”字形道路ABCD，如圖所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路謝謝閱讀旁各有一只小石凳E，F(xiàn)，M，且BE＝CF，M在BC的中點，試說明三只石凳E，F(xiàn)，M恰謝謝閱讀好在一條直線上.證：∵AB平行CD（已知）∴∠B=∠C（兩直線平行，內錯角相等）∵M在BC的中點（已知）∴EM=FM（中點定義）在△BME和△CMF中BE=CF（已知）∠B=∠C（已證）EM=FM（已證）∴△BME全等與△CMF（SAS）∴∠EMB=∠FMC（全等三角形的對應角相等）∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°（等式的性質）感謝閱讀∴E，M，F(xiàn)在同一直線上.\31．已知：點A、F、E、C在同一條直線上，AF＝CE，BE∥DF，感謝閱讀BE＝DF．求證：△ABE≌△CDF．證明：∵AF=CE∴AF+EF=CE+EF∴AE=CF∵BE//DF∴∠BEA=∠DFC又∵BE=DF∴⊿ABE≌⊿CDF（SAS）32.已知：如圖所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分別是DC、BC的中點，求證：AE＝AF。精品文檔放心下載連結BD，得到等腰三角形ABD和等腰三角形BDC，由等DE腰△兩底角相等得：角ABC=角ADC在結合已知條件證得：△ADE≌△ABFAC得AE=AFFB33．如圖，在四邊形ABCD中，E是AC上的一點，∠1=∠2，∠3=∠4，求證:∠5=∠6．感謝閱讀因為角1=角2∠3=∠4所以角ADC=角ABC.感謝閱讀D又因為AC是公共邊，所以AAS==>三角形ADC全等于三感謝閱讀角形ABC.A153C2E64所以BC等于DC，角3等于角4,EC=ECB三角形DEC全等于三角形BEC所以∠5=∠634．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求證：△ABC≌△DEF．感謝閱讀因為D,C在AF上且AD=CF所以AC=DF又因為AB平行DE，BC平行EF所以角A+角EDF，角BCA=角F（兩直線平行，內錯角相等）謝謝閱讀然后SSA（角角邊）三角形全等.\35．已知：如圖，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分別為D、E，BD、CE相交于點F，求精品文檔放心下載證：BE=CD．證明：因為AB=AC，所以∠EBC=∠DCB因為BD⊥AC，CE⊥AB所以∠BEC=∠CDBBC=CB(公共邊)

CDFBE A則有三角形EBC全等于三角形DCB所以BE＝CD36、如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。精品文檔放心下載求證：DE=DF． AAAS證△ＡＤＥ≌△ADFEFB D C37.已知：如圖,ACBC于C,DEAC于E,ADAB于A,BC=AE．若AB=5,求AD的感謝閱讀長？AC=角E=90度角B=角EAD=90度-角BACEDBC=AEBC△ABC≌△DAEAD=AB=5A38．如圖：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分別為E、F，ME=MF。精品文檔放心下載求證：MB=MC證明∵AB=AC E F∴△ABC是等腰三角形∴∠B=∠C又∵ME=MF，△BEM和△CEM是直角三角形∴△BEM全等于△CEM∴MB=MC

B M C.\39.如圖，給出五個等量關系：①ADBC②ACBD③CEDE④DC⑤精品文檔放心下載DABCBA．請你以其中兩個為條件，另三個中的一個為結論，推出一個正確的結論（只需寫出一種情況），并加以證明．精品文檔放心下載已知：Ｄ C求證：Ｅ證明：A B已知1,2求證4因為AD=BCAC=BD，在四邊形ADBC中，連AB感謝閱讀所以△ADB全等于△BCA所以角D=角C以4,5為條件，1為結論。即：在四邊形ABCD中，∠D=∠C，∠A=∠B，求證：AD=BC因為∠A+∠B+∠C+∠D=360精品文檔放心下載∠D=∠C，∠A=∠B，所以2(∠A+∠D)=360°，∠A+∠D=180°，所以AB//DC40．在△ABC中，ACB90，ACBC，直線MN經過點C，且ADMN于D，BEMN于E.(1)當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時，求證：①ADC≌CEB；感謝閱讀DEADBE；(2)當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，說明理由.感謝閱讀（1）證明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，精品文檔放心下載∴∠ACD=∠CBE．Rt△ADC和Rt△CEB中，{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBEAC=CB，精品文檔放心下載.\∴Rt△ADC≌Rt△CEB（AAS），∴AD=CE，DC=BE，∴DE=DC+CE=BE+AD；（2）不成立，證明：在△ADC和△CEB中，{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBEAC=CB，感謝閱讀∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CE-CD=AD-BE；41．如圖所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求證：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF謝謝閱讀F（1）證明;因為AE垂直AB所以角EAB=角EAC+角CAB=90度因為AF垂直ACEA所以角CAF=角CAB+角BAF=90度所以角EAC=角BAFM因為AE=ABAF=ACBC所以三角形EAC和三角形FAB全等所以EC=BFECA=角F（2）(2)延長FB與EC的延長線交于點G精品文檔放心下載因為角ECA=角F(已證）所以角G=角CAF因為角CAF=90度所以EC垂直BF42．如圖：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求證：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。精品文檔放心下載N A43

證明：（1）∵BE⊥AC，CF⊥ABF ∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°精品文檔放心下載∴∠ABM=∠ACN1M2BC

∵BM=AC，CN=AB∴△ABM≌△NAC∴AM=AN（2）∵△ABM≌△NAC∴∠BAM=∠N∵∠N+∠BAN=90°∴∠BAM+∠BAN=90°即∠MAN=90°∴AM⊥AN.\43．如圖,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求證:BC∥EF連接BF、CE，感謝閱讀證明△ABF全等于△DEC（SAS），然后通過四邊形BCEF對邊相等的證得平行四邊形BCEF從而求得BC平行于EF謝謝閱讀44．如圖,已知AC∥BD，EA、EB分別平分∠CAB和∠DBA，CD過點E，則AB與AC+BD相等嗎？請說明理由精品文檔放心下載AB上取點N,使得AN=AC∠CAE=∠EAN,AE為公共邊,所以三角形CAE全等三角形謝謝閱讀EAN所以∠ANE=∠ACEAC平行BD所以∠ACE+∠BDE=180而∠ANE+∠ENB=180所以∠ENB=∠BDE∠NBE=∠EBNBE為公共邊,所以三角形EBN全等三角形EBD所以BD=BN所以AB=AN+BN