2022-2023學(xué)年江蘇省南京市華夏實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2022-2023學(xué)年江蘇省南京市華夏實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如果命題“非p為真”，命題“p且q為假”，那么下列選項(xiàng)一定正確的是（

）

A．q為真

B．q為假

C．p或q為真

D．p或q不一定為真參考答案：D2.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則（）A.0.16 B.0.32 C.0.68D.0.84參考答案：A由正態(tài)分布的特征得＝，選A.3.在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)的和為256，把展開(kāi)式中所有的項(xiàng)重新排成一列，有理項(xiàng)都互不相鄰的概率為(

)A. B. C. D.參考答案：D【分析】先由二項(xiàng)式系數(shù)的和為解出n，然后利用二項(xiàng)式展開(kāi)通項(xiàng)式確定有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，然后利用插空法求出有理項(xiàng)互不相鄰的排法數(shù)，除以排列總數(shù)即為所求概率.【詳解】解：因?yàn)槎?xiàng)式系數(shù)的和為解得n=8二項(xiàng)式的展開(kāi)通項(xiàng)式為其中當(dāng)k=0、3、6時(shí)為有理項(xiàng)因?yàn)槎?xiàng)式的展開(kāi)式中共有9項(xiàng)，全排列有種排法，其中3項(xiàng)為有理項(xiàng)，6項(xiàng)為非有理項(xiàng)，且有理項(xiàng)要求互不相鄰可先將6項(xiàng)非有理項(xiàng)全排列共種然后將3項(xiàng)有理項(xiàng)插入6項(xiàng)非有理項(xiàng)產(chǎn)生的7個(gè)空隙中共種所以有理項(xiàng)都互不相鄰的概率為故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式系數(shù)和，以及排列中的不相鄰問(wèn)題。二項(xiàng)式系數(shù)和為，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于；相鄰捆綁法，不相鄰插空法是解決排列中相鄰與不相鄰問(wèn)題的兩種基礎(chǔ)方法.

4.設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，=f′(x)的圖象如圖所示，則y=f(x)的圖象最有可能的是(

)參考答案：C5.下列有關(guān)命題的說(shuō)法正確的是 A．命題“”的否命題是“”． B．“？”是一個(gè)命題． C．命題“使得”的否定是：“均有”． D．命題“若，則”的逆否命題為真命題．參考答案：D略6.已知z是純虛數(shù)，是實(shí)數(shù)，那么z等于

A．2i

B．i

C．－i

D．－2i參考答案：D7.設(shè)為兩個(gè)隨機(jī)事件，給出以下命題：（1）若為互斥事件，且，，則；（2）若，，，則為相互獨(dú)立事件；（3）若，，，則為相互獨(dú)立事件；（4）若，，，則為相互獨(dú)立事件；（5）若，，，則為相互獨(dú)立事件；其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A.1 B.2 C.3 D.4參考答案：D【分析】根據(jù)互斥事件的加法公式，易判斷（1）的正誤；根據(jù)相互對(duì)立事件的概率和為1，結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率滿足，可判斷（2）、（3）、（4）、（5）的正誤.【詳解】若為互斥事件，且，則，故（1）正確；若則由相互獨(dú)立事件乘法公式知為相互獨(dú)立事件，故（2）正確；若，則由對(duì)立事件概率計(jì)算公式和相互獨(dú)立事件乘法公式知為相互獨(dú)立事件，故（3）正確；若，當(dāng)為相互獨(dú)立事件時(shí)，故（4）錯(cuò)誤；若則由對(duì)立事件概率計(jì)算公式和相互獨(dú)立事件乘法公式知為相互獨(dú)立事件，故（5）正確.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查互斥事件、對(duì)立事件和獨(dú)立事件的概率，屬于基礎(chǔ)題.8.下列命題中為真命題的是（

）A．命題“若，則”的逆命題B．命題“若，則”的否命題C.命題“若，則”的逆命題D．命題“若，則”的逆否命題參考答案：B對(duì)于A，逆命題為“若，則”，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，逆命題為“若，則”，正確；對(duì)于C，逆命題為“若，則”，等價(jià)于或，顯然錯(cuò)誤；對(duì)于D，逆否命題與原命題同真同假，原命題為假命題，如，,故D錯(cuò)誤.故選：B

9.命題“對(duì),都有”的否定為（

）A．對(duì),都有 B．不存在,都有C．,使得 D．,使得參考答案：D略10.若函數(shù)在區(qū)間（0，2）內(nèi)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，則m的取值范圍（

）A. B.C. D.參考答案：B由，得（），∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由于，∴要使函數(shù)在區(qū)間（0，2）內(nèi)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，需滿足，即，解得或，又，∴或．選B．

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.直線與圓的位置關(guān)系是

.參考答案：略12.四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共有10個(gè)點(diǎn)，取其中不共面的4點(diǎn)，不同的取法共有

種．參考答案：141【考點(diǎn)】D9：排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題．【分析】由題意知從10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)有C104種取法，減去不合題意的結(jié)果，4點(diǎn)共面的情況有三類(lèi)，取出的4個(gè)點(diǎn)位于四面體的同一個(gè)面上；取任一條棱上的3個(gè)點(diǎn)及該棱對(duì)棱的中點(diǎn)；由中位線構(gòu)成的平行四邊形，用所有的結(jié)果減去補(bǔ)合題意的結(jié)果．【解答】解：從10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)有C104種取法，其中4點(diǎn)共面的情況有三類(lèi)．第一類(lèi)，取出的4個(gè)點(diǎn)位于四面體的同一個(gè)面上，有4C64種；第二類(lèi)，取任一條棱上的3個(gè)點(diǎn)及該棱對(duì)棱的中點(diǎn)，這4點(diǎn)共面，有6種；第三類(lèi)，由中位線構(gòu)成的平行四邊形（其兩組對(duì)邊分別平行于四面體相對(duì)的兩條棱），它的4頂點(diǎn)共面，有3種．以上三類(lèi)情況不合要求應(yīng)減掉，∴不同的取法共有C104﹣4C64﹣6﹣3=141種．故答案為141．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，是一個(gè)排列組合同立體幾何結(jié)合的題目，解題時(shí)注意做到不重不漏．13.已知△ABC的直觀圖是邊長(zhǎng)為2a的正三角形，則△ABC的面積是

；

參考答案：14.函數(shù)定義域?yàn)?/p>

參考答案：略15.已知為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上移動(dòng)時(shí)，的內(nèi)心的軌跡方程為

．參考答案：考查更為一般的問(wèn)題：設(shè)P為橢圓C:上的動(dòng)點(diǎn)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為△PF1F2的內(nèi)心，求點(diǎn)I的軌跡方程．解法一：如圖，設(shè)內(nèi)切圓I與F1F2的切點(diǎn)為H，半徑為r，且F1H=y，F(xiàn)2H=z，PF1=x+y，PF2=x+z，，則.直線IF1與IF2的斜率之積：，而根據(jù)海倫公式，有△PF1F2的面積為因此有.再根據(jù)橢圓的斜率積定義，可得I點(diǎn)的軌跡是以F1F2為長(zhǎng)軸，離心率e滿足的橢圓，其標(biāo)準(zhǔn)方程為.解法二：令，則．三角形PF1F2的面積：，其中r為內(nèi)切圓的半徑，解得.另一方面，由內(nèi)切圓的性質(zhì)及焦半徑公式得：從而有．消去θ得到點(diǎn)I的軌跡方程為：.本題中：，代入上式可得軌跡方程為：.16.函數(shù)的最大值為_(kāi)________.參考答案：5略17.若正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，高為4，則異面直線與AD所成角的余弦值是________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x﹣y+=0相切．（1）求橢圓C的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)M（2，0）的直線與橢圓C相交于兩點(diǎn)A，B，設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（1）由離心率公式和直線與圓相切的條件，列出方程組求出a、b的值，代入橢圓方程即可；（2）設(shè)A、B、P的坐標(biāo)，將直線方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)后，利用韋達(dá)定理及向量知識(shí)，即可求t的范圍．【解答】解：（1）由題意知，…1分所以．即a2=2b2．…2分又∵橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x﹣y+=0相切，∴，…3分，則a2=2．…4分故橢圓C的方程為．…6分（2）由題意知直線AB的斜率存在．設(shè)AB：y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），由得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，解得…7分且，．∵足，∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y）．當(dāng)t=0時(shí)，不滿足；當(dāng)t≠0時(shí)，解得x==，y===，∵點(diǎn)P在橢圓上，∴，化簡(jiǎn)得，16k2=t2（1+2k2）…8分∵＜，∴，化簡(jiǎn)得，∴，∴（4k2﹣1）（14k2+13）＞0，解得，即，…10分∵16k2=t2（1+2k2），∴，…11分∴或，∴實(shí)數(shù)取值范圍為…12分19.設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差d＝2，前項(xiàng)和為，(Ⅰ)若成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)證明：,不構(gòu)成等比數(shù)列．

參考答案：19.(Ⅰ)解：因?yàn)?，，?分．由于若成等比數(shù)列；因此，即得．…6分

(Ⅱ)證明：采用反證法．不失一般性，不妨設(shè)對(duì)某個(gè),構(gòu)成等比數(shù)列，即．…7分因此有，化簡(jiǎn)得

………9分

要使數(shù)列的首項(xiàng)存在，上式中的Δ≥0．然而…10分Δ＝(2m)2－8m(m＋1)＝－4m(2＋m)＜0，矛盾．…13分所以，對(duì),不構(gòu)成等比數(shù)列…14分

20.已知兩定點(diǎn)A(－3，0)，B(3，0)，動(dòng)圓M與直線AB相切于點(diǎn)N，且，現(xiàn)分別過(guò)點(diǎn)A、B作動(dòng)圓M的切線（異于直線AB），兩切線相交于點(diǎn)P．⑴求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；⑵若直線x―my―3＝0截動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所得的弦長(zhǎng)為5，求m的值；⑶設(shè)過(guò)軌跡上的點(diǎn)P的直線與兩直線分別交于點(diǎn)P1、P2，且點(diǎn)P分有向線段所成的比為λ(λ＞0)，當(dāng)λ∈時(shí)，求的最值．參考答案：解析：⑴由題設(shè)及平面幾何知識(shí)得∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線右支由，∴，故所求P點(diǎn)的軌跡方程為

3分⑵易知直線x―my―3＝0恒過(guò)雙曲線焦點(diǎn)B(3，0)設(shè)該直線與雙曲線右支相交于D(xD，yD)，E(xE，yE)由雙曲線第二定義知，又a＝2，c＝3，∴e＝則

5分由|DE|＝5，得，從而易知僅當(dāng)時(shí)，滿足|DE|＝5故所求

7分21.已知數(shù)列{的前項(xiàng)和滿足 （1）求k的值；

（2）求；（3）是否存在正整數(shù)使成立？若存在求出這樣的正整數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由．參考答案：于是是等比數(shù)列，公比為，所以（3）不等式，即，整理得假設(shè)存在正整數(shù)使得上面的不等式成立，由于2n為偶數(shù)，為整數(shù)，則只能是

因此，存在正整數(shù)

略22.在三棱錐S-ABC中,△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,,、分別為、