新教材高中數(shù)學(xué)第4章冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)21指數(shù)爆炸和指數(shù)衰減22指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)課件湘教版必修第一冊

4.2.1指數(shù)爆炸和指數(shù)衰減4.2.2指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)第4章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標(biāo)闡釋1.通過具體實(shí)例,了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義,理解指數(shù)函數(shù)的概念.(數(shù)學(xué)抽象)2.運(yùn)用指數(shù)爆炸和指數(shù)衰減類的函數(shù)模型解決簡單的實(shí)際問題,理解該模型所蘊(yùn)含的運(yùn)算規(guī)律.(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象,探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).(直觀想象)4.能夠應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決問題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)思維脈絡(luò)課前篇自主預(yù)習(xí)情境導(dǎo)入杰米是千萬富翁,一天,他碰到一件奇怪的事,一個(gè)叫韋伯的人對他說:“我想和你訂個(gè)合同,我將在整整一個(gè)月中(這個(gè)月有31天),每天給你10萬元,而你第一天只需給我1分錢,以后你每天給我的錢是前一天的兩倍.”杰米說:“真的?你說話算數(shù)?”合同開始生效了,杰米欣喜若狂.第一天杰米支出1分錢,收入10萬元.第二天杰米支出2分錢,收入10萬元,到了第10天,杰米共得100萬元,而總共才付出10元2角3分.到了第20天,杰米共得200萬元,而韋伯才得1萬多元.杰米想:要是合同訂二三個(gè)月該多好!可從第21天起,情況發(fā)生了轉(zhuǎn)變.第22天杰米支出2萬多,收入10萬,到第28天,杰米支出134萬多,收入10萬.結(jié)果,杰米在一個(gè)月(31天)內(nèi)得到310萬元的同時(shí),共付給韋伯2100多萬元.問題1:寫出杰米每天的收入y(單位:分)與天數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式.問題2:寫出杰米每天的支出y(單位:分)與天數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式.知識梳理知識點(diǎn)一:指數(shù)函數(shù)的概念1.在冪的表達(dá)式au中,讓底數(shù)為常數(shù)而取指數(shù)為自變量x,則得到一類新的函數(shù)y=ax(x∈R),這叫作指數(shù)函數(shù),其中a>0,且a≠1.2.指數(shù)函數(shù)的特征:(1)底數(shù)a>0,且a≠1;(2)ax的系數(shù)是1.微思考指數(shù)函數(shù)為什么要規(guī)定a>0,且a≠1?如果a=0,那么當(dāng)x>0時(shí),ax=0,當(dāng)x≤0時(shí),ax無意義;如果a=1,y=1x=1是個(gè)常數(shù)函數(shù),沒有研究的必要.所以規(guī)定a>0,且a≠1,此時(shí)x可以是任意實(shí)數(shù).知識點(diǎn)二:指數(shù)爆炸和指數(shù)衰減1.當(dāng)?shù)讛?shù)a>1時(shí),指數(shù)函數(shù)值隨自變量的增長而增大,底數(shù)a較大時(shí)指數(shù)函數(shù)值增長速度驚人,被稱為指數(shù)爆炸.2.當(dāng)?shù)讛?shù)0<a<1時(shí),指數(shù)函數(shù)值隨自變量的增長而縮小以至無限接近于0,叫作指數(shù)衰減.3.指數(shù)增長(縮小)百分比把自變量x看成時(shí)間,在長為T的時(shí)間周期[u,u+T]中,指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的值從au變化到au+T,變化率為(au+T-au)÷au=aT-1,增長(縮小)百分比是一個(gè)常量,當(dāng)a>1時(shí),這個(gè)量就被描述為指數(shù)式增長,也稱指數(shù)增長.微練習(xí)(1)下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的是

.

①y=x;②y=2x+1;③y=3·2x;④y=2-x;⑤y=x2;⑥y=-2x.(2)若函數(shù)y=2x,求其在區(qū)間[2,6]上的增長百分比.(1)答案

①④(2)解

增長百分比為(au+T-au)÷au=aT-1=24-1=15.知識點(diǎn)三:指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

表達(dá)式y(tǒng)=ax(0<a<1)y=ax(a>1)圖象定義域(-∞,+∞)表達(dá)式y(tǒng)=ax(0<a<1)y=ax(a>1)值域(0,+∞)性質(zhì)函數(shù)圖象過定點(diǎn)(0,1),即a0=1在R上遞減

可用冪運(yùn)算基本不等式加以論證在R上遞增微判斷(1)指數(shù)函數(shù)y=mx(m>0,且m≠1)是R上的增函數(shù).(

)(2)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).(

)(3)所有的指數(shù)函數(shù)圖象過定點(diǎn)(0,1).(

)(4)函數(shù)y=a|x|與函數(shù)y=|ax|(a>0,且a≠1)的圖象是相同的.(

)答案

(1)×

(2)√

(3)√

(4)×微思考指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象“升”“降”主要取決于什么?具體變化特征是什么?提示

指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)的圖象“升”“降”主要取決于字母a.當(dāng)a>1時(shí),圖象具有上升趨勢,且當(dāng)x>0時(shí)底數(shù)a的值越大,函數(shù)圖象“越陡”,函數(shù)值增長得越快;當(dāng)0<a<1時(shí),圖象具有下降趨勢,且當(dāng)x<0時(shí),底數(shù)a的值越小,函數(shù)減少得越快.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一指數(shù)函數(shù)的概念(2)已知函數(shù)y=(a2-3a+3)ax是指數(shù)函數(shù),求a的值.(1)答案

64要點(diǎn)筆記指數(shù)函數(shù)是一個(gè)形式定義,其特征如下:變式訓(xùn)練1下列以x為自變量的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的為(

)A.y=(π-1)x

B.y=(1-π)xC.y=3x+1

D.y=x2答案

A解析

π-1為正實(shí)數(shù),A是指數(shù)函數(shù);B式中,1-π<0,B不是指數(shù)函數(shù);C式中,指數(shù)位置不是x,C不是指數(shù)函數(shù);D式中,自變量不在指數(shù)上,D不是指數(shù)函數(shù).探究二指數(shù)爆炸和指數(shù)衰減例2(1)將一張足夠大的紙進(jìn)行對折,如果不考慮折疊過程中的阻力,那么對折100次之后,紙的厚度約為

km(假設(shè)一張紙的厚度大約是0.08mm).

(2)一種放射性物質(zhì)不斷變化成其他物質(zhì),每經(jīng)過一年的殘留量是原來的76%,則經(jīng)過12年后,殘留量約為原來的

.

答案

(1)1.02×1023

(2)3.7%解析

(1)2100×0.08≈1.27×1030×0.08(mm)≈1.02×1023(km).(2)0.7612≈0.037,即殘留量約為原來的3.7%.反思感悟

1.通過例2(1)我們可以體會出指數(shù)爆炸的威力,它反映了當(dāng)a>1時(shí),指數(shù)函數(shù)的值的增長速度是非常大的,另外“人口增長”“病毒繁殖”都是這一模型.2.例2(2)是一個(gè)指數(shù)衰減問題,它是0<a<1的指數(shù)函數(shù)模型,隨著自變量x的增大,函數(shù)值y無限接近于0,關(guān)于“能量衰退”的相關(guān)問題都是這一模型.變式訓(xùn)練2(1)某種細(xì)胞每小時(shí)分裂一次,即第一次由1個(gè)分裂成2個(gè),第2次由2個(gè)分裂成4個(gè),第3次由4個(gè)分裂成8個(gè),如此下去,則24小時(shí)后得到

個(gè)細(xì)胞(不需算出具體數(shù)字).

(2)清洗衣服,若每次能洗去污垢的,要使存留的污垢不超過原有污垢的1%,則至少要清洗

次.

答案

(1)224

(2)4探究三指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用1.指數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題例3已知函數(shù)f(x)=ax+1+3(a>0,且a≠1)的圖象一定過點(diǎn)P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是

.

答案

(-1,4)解析

∵當(dāng)x+1=0,即x=-1時(shí),f(-1)=a0+3=4恒成立,故函數(shù)f(x)=ax+1+3的圖象恒過點(diǎn)(-1,4).要點(diǎn)筆記指數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題的解法因?yàn)楹瘮?shù)y=ax的圖象恒過定點(diǎn)(0,1),所以對于函數(shù)f(x)=kag(x)+b(k,a,b均為常數(shù),且k≠0,a>0,且a≠1).若g(m)=0,則f(x)的圖象過定點(diǎn)(m,k+b).即令指數(shù)等于0,解出相應(yīng)的x,f(x),則點(diǎn)(x,f(x))為所求點(diǎn).延伸探究若將本例中的函數(shù)改為f(x)=5a3x-2+3呢?2.指數(shù)函數(shù)圖象的識別

例4函數(shù)f(x)=ax-b的圖象如圖所示,其中a,b為常數(shù),則下列結(jié)論正確的是(

)A.a>1,b<0B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0D.0<a<1,b<0答案

D解析

由于f(x)的圖象單調(diào)遞減,所以0<a<1,又0<f(0)<1,所以0<a-b<1=a0,即-b>0,b<0,故選D.反思感悟

指數(shù)函數(shù)圖象問題的處理技巧(1)抓住圖象上的特殊點(diǎn),如指數(shù)函數(shù)的圖象過定點(diǎn)、特殊點(diǎn)的函數(shù)的值的符號等;(2)利用圖象變換,如函數(shù)圖象的平移變換(左右平移、上下平移);(3)利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性,奇偶性確定函數(shù)的對稱情況,單調(diào)性決定函數(shù)圖象的走勢.變式訓(xùn)練3已知1>n>m>0,則指數(shù)函數(shù)①y=mx,②y=nx的圖象為(

)答案

C解析

由于0<m<n<1,所以y=mx和y=nx都是減函數(shù),故排除A,B;作直線x=1與兩個(gè)圖象相交(圖略),交點(diǎn)在下面的是函數(shù)y=mx的圖象.C符合題意.3.畫指數(shù)函數(shù)的圖象例5畫出函數(shù)y=的圖象,這個(gè)圖象有什么特征?你能根據(jù)圖象指出它的值域和單調(diào)區(qū)間嗎?∵y=

(x>0)和y=2x(x<0)的圖象關(guān)于y軸對稱,∴原函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱.由圖象可知值域是(0,1],單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,+∞).要點(diǎn)筆記指數(shù)函數(shù)y=ax與y=

(a>0,且a≠1)的圖象關(guān)于y軸對稱.處理函數(shù)圖象問題的常用方法:一是抓住圖象上的特殊點(diǎn);二是利用圖象的變換;三是利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性.變式訓(xùn)練4畫出下列函數(shù)的圖象,并說明它們是由函數(shù)f(x)=2x的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的.(1)y=2x-1;(2)y=2x+1;(3)y=-2x;(4)y=2|x|.解

(1)如圖1,y=2x-1的圖象是由y=2x的圖象向右平移1個(gè)單位長度得到的.(2)如圖1,y=2x+1的圖象是由y=2x的圖象向上平移1個(gè)單位長度得到的.(3)如圖1,y=-2x的圖象與y=2x的圖象關(guān)于x軸對稱.(4)函數(shù)y=2|x|為偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對稱,且其在x≥0上的圖象與y=2x的圖象一致,可得y=2|x|的圖象如圖2所示.圖1圖2探究四利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較冪值大小例6比較下列各題中兩個(gè)值的大小:(1)2.53,2.55.7;(3)2.3-0.28,0.67-3.1;(4)(a-1)1.3,(a-1)2.4(a>1,且a≠2).解

(1)(單調(diào)性法)由于2.53與2.55.7的底數(shù)是2.5,故構(gòu)造函數(shù)y=2.5x,而函數(shù)y=2.5x在R上是增函數(shù).又3<5.7,∴2.53<2.55.7.(3)(中間量法)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),知2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1,則2.3-0.28<0.67-3.1.(4)∵a>1,且a≠2,∴a-1>0,且a-1≠1.若a-1>1,即a>2,則y=(a-1)x是增函數(shù),∴(a-1)1.3<(a-1)2.4.若0<a-1<1,即1<a<2,則y=(a-1)x是減函數(shù),∴(a-1)1.3>(a-1)2.4.故當(dāng)a>2時(shí),(a-1)1.3<(a-1)2.4;當(dāng)1<a<2時(shí),(a-1)1.3>(a-1)2.4.反思感悟

比較冪的大小的常用方法

變式訓(xùn)練5(多選題)(2021福建漳州龍海二中高一期中)下列式子不正確的是(