高數(shù)二重積分概念

例3.解:設(shè)水箱長,寬分別為x,ym

,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點某廠要用鐵板做一個體積為2根據(jù)實際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長方體水問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時,才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點就是最小值點.即當(dāng)長、寬均為高為時,水箱所用材料最省.例3.某廠要用鐵板做一個體積為2的有蓋長方體水問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時,才能使用料最省?無條件極值:對自變量只有定義域限制三、條件極值條件極值的求法:方法1代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如,轉(zhuǎn)化方法2拉格朗日乘數(shù)法.如方法1所述,則問題等價于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問題,極值點必滿足設(shè)記例如,故故有引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F

稱為拉格朗日(Lagrange)函數(shù).利用拉格極值點必滿足則極值點滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形.設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點.例如,

求函數(shù)下的極值.在條件例5.要設(shè)計一個容量為則問題為求x,y,令解方程組解:

設(shè)x,y,z分別表示長、寬、高,下水箱表面積最小.z使在條件水箱長、寬、高等于多少時所用材料最??？的長方體開口水箱,試問得唯一駐點由題意可知合理的設(shè)計是存在的,長、寬為高的2倍時，所用材料最省.因此,當(dāng)高為例6：已知平面上兩定點A(1,3),B(4,2),試在橢圓圓周上求一點C,使△ABC

面積S△最大.解答提示:設(shè)C

點坐標(biāo)為(x,y),則設(shè)拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點對應(yīng)面積而比較可知,點C與

E重合時,三角形面積最大.3.求旋轉(zhuǎn)拋物面與平面之間的最短距離.解：設(shè)為拋物面上任一點，則P

的距離為問題歸結(jié)為約束條件:目標(biāo)函數(shù):作拉氏函數(shù)到平面令解此方程組得唯一駐點由實際意義最小值存在,故1.求半徑為R

的圓的內(nèi)接三角形中面積最大者.解:設(shè)內(nèi)接三角形各邊所對的圓心角為x,y,z,則它們所對應(yīng)的三個三角形面積分別為設(shè)拉氏函數(shù)解方程組,得故圓內(nèi)接正三角形面積最大,最大面積為第九章一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)重積分曲線積分曲面積分重積分解法:

類似定積分解決問題的思想:一、引例1.曲頂柱體的體積給定曲頂柱體:底：

xoy

面上的閉區(qū)域D頂:

連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢

的邊界為準(zhǔn)線,母線平行于z軸的柱面求其體積.“大化小,常代變,近似和,求極限”二重積分的概念與性質(zhì)第一節(jié)1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為n

個2)“常代變”在每個3)“近似和”則中任取一點小曲頂柱體4)“取極限”令2.平面薄片的質(zhì)量有一個平面薄片,在xoy

平面上占有區(qū)域

D,計算該薄片的質(zhì)量M.度為設(shè)D的面積為

,則若非常數(shù),仍可用其面密“大化小,常代變,近似和,求極限”解決.1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個小區(qū)域相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域.2)“常代變”中任取一點3)“近似和”4)“取極限”則第

k小塊的質(zhì)量兩個問題的共性：(1)解決問題的步驟相同(2)所求量的結(jié)構(gòu)式相同“大化小,常代變,近似和,取極限”曲頂柱體體積:平面薄片的質(zhì)量:二、二重積分的定義及可積性定義:將區(qū)域D

任意分成n

個小區(qū)域任取一點若存在一個常數(shù)I,使可積,在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作是定義在有界區(qū)域D上的有界函數(shù),如果在D上可積,與劃分D的分割方法無關(guān)也常二重積分記作這時分區(qū)域D,因此面積元素可用平行坐標(biāo)軸的直線來劃記作曲頂柱體體積:平面薄板的質(zhì)量:對二重積分定義的說明：（3）定積分與二重積分都表示某個和式的極限值，且此值只與被積函數(shù)及積分區(qū)域有關(guān)．不同的是定積分的積分區(qū)域為區(qū)間，被積函數(shù)為定義在區(qū)間上的一元函數(shù)，而二重積分的積分區(qū)域為平面區(qū)域，被積函數(shù)為定義在平面區(qū)域上的二元函數(shù)．二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積．當(dāng)被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負(fù)值．三、二重積分的性質(zhì)(k

為常數(shù))

為D的面積,則特別,由于則5.（比較定理）若在D上6.（估值定理）設(shè)D的面積為

,則有7.(二重積分的中值定理)證:

由性質(zhì)6可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理,至少有一點在閉區(qū)域D上

為D的面積,則至少存在一點使使連續(xù),因此例1.比較下列積分的大小:其中解:

積分域D的邊界為圓周它與x軸交于點(1,0),而域D位從而于直線的上方,故在D上例3.估計下列積分之值解:

D

的面積為由于積分性質(zhì)5即:1.96I2D對稱性：1

設(shè)D位于x軸上方的部分為D1,2、當(dāng)區(qū)域關(guān)于y軸對稱,函數(shù)關(guān)于變量x有奇偶性時,仍在D上在閉區(qū)域上連續(xù),域D關(guān)于x軸對稱,則則有類似結(jié)果.在第一象限部分,則有3、當(dāng)區(qū)域關(guān)于原點對稱,函數(shù)關(guān)于變量x、y同時有奇偶性時,仍有類似結(jié)果.4、當(dāng)區(qū)域關(guān)于y=x對稱,則四、曲頂柱體體積的計算設(shè)曲頂柱的底為任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體的同樣,曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計算第二節(jié)二重積分的計算法

第九章一、利用直角坐標(biāo)計算二重積分且在D上連續(xù)時,由曲頂柱體體積的計算可知,若D為X–型區(qū)域則若D為Y–型區(qū)域則

X型區(qū)域的特點：

穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.

Y型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.若區(qū)域如圖，在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式則必須分割.例1.計算其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x

所圍的閉區(qū)域.解法1.

將D看作X–型區(qū)域,則解法2.

將D看作Y–型區(qū)域,

則作草圖、選擇類型、確定上下限------后積先定限、限內(nèi)化條線例2.計算其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.解1:及直線1例2.計算其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.解2:為計算簡便,后對y積分,及直線則例3.計算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域.解:由被積函數(shù)可知,先對x

積分不行,說明:選擇積分序的原則：先積分的容易，并能為后積分創(chuàng)造條件；積分域的劃分，塊數(shù)越少越好例4.交換下列積分順序解:

積分域由兩部分組成:視為Y–型區(qū)域,則例5.計算其中D由所圍成.解:

令(如圖所示)顯然,二、利用極坐標(biāo)計算二重積分則除包含邊界點的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積及射線

=常數(shù),分劃區(qū)域D為在極坐標(biāo)系下,用同心圓

=常數(shù)對應(yīng)有在內(nèi)取點即則1、極點在邊界外注意：積分域的邊界曲線用極坐標(biāo)表示如何確定上下限？2、極點在邊界上(1)(2)3、極點在邊界內(nèi)何時選用極坐標(biāo)？積分域D形狀：圓域、環(huán)域、扇域、環(huán)扇域被積函數(shù)形式：例6.計算其中