偏導(dǎo)數(shù)全微分

01九月20231偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義如圖x0y0(x0,y0,0)01九月20232幾何意義fx(x0,y0)是曲線在點(diǎn)(x0,y0,z0)處的切線沿x軸的斜率。fy(x0,y0)是曲線在點(diǎn)(x0,y0,z0)處的切線沿y軸的斜率。偏導(dǎo)函數(shù)01九月20233偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如在處01九月20234例４設(shè)求f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)。解01九月20235偏導(dǎo)數(shù)存在、連續(xù)、極限存在的關(guān)系f(x,y)在(x0,y0)偏導(dǎo)數(shù)存在f(x,y)在(x0,y0)連續(xù)f(x,y)在(x0,y0)極限存在在(0,0)極限不存在，例如在(0,0)不連續(xù)，但。01九月20236二、高階偏導(dǎo)數(shù)01九月20237問題：混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？例７設(shè)求二階混合偏導(dǎo)數(shù)。解01九月20238按定義可知：01九月20239例9

證明函數(shù)滿足拉普拉斯方程例8

證明函數(shù)滿足拉普拉斯方程01九月202310內(nèi)容小結(jié)1.偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論

定義;記號(hào);幾何意義

函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)

混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)與求導(dǎo)順序無關(guān)2.偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法

求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)的方法先代后求先求后代利用定義

求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法逐次求導(dǎo)法(與求導(dǎo)順序無關(guān)時(shí),應(yīng)選擇方便的求導(dǎo)順序)01九月202311思考與練習(xí)：設(shè)z=f(u)，方程確定u

是x,y

的函數(shù),連續(xù),且解：01九月202312作業(yè)P635（1）（3）（5）；6（1）（3）（5）；

7,（1）；8；

P693；4；5；6（2）（3）；7；8；9（2）01九月202313第三節(jié)、全微分的定義一、全微分的概念1.回憶：一元函數(shù)的微分2.二元函數(shù)的偏增量與偏微分應(yīng)用近似計(jì)算估計(jì)誤差中值定理：01九月2023143.二元函數(shù)的全增量與全微分全增量例1求在(x,y)和(1,1)的全微分其中全微分定義（略）則稱為二元函數(shù)在(x,y)的全微分。其中A,B不依賴于

x,

y,僅與x,y有關(guān)。若z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)處處可微分，則稱z=f(x,y)在D內(nèi)可微分。01九月202315注：類似與一元函數(shù)的微分，二元函數(shù)的微分也有兩個(gè)特點(diǎn)：（1）dz是△z的線性主部；（2）誤差為o(

)2.函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微

函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。3.幾何意義：函數(shù)z=f(x,y)在(x,y)點(diǎn)可微?曲面z=f(x,y)在(x,y)點(diǎn)切平面存在。由微分定義:01九月202316二、可微分的條件證明：定理1（必要條件）如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微，則該函數(shù)在點(diǎn)(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)存在，且z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的全微分為:。01九月202317注意：定理1的逆定理不成立，即:偏導(dǎo)數(shù)存在不一定可微!反例：則01九月202318證明：01九月202319例2

計(jì)算函數(shù)的全微分。01九月202320例3設(shè)解:利用輪換對(duì)稱性,可得：01九月202321證明：（1）令：則????01九月202322（2）不存在。01九月202323注:此題表明,偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)只是可微的充分條件。01九月202324內(nèi)容小結(jié)1.微分定義:2.重要關(guān)系:偏導(dǎo)存在函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)01九月202325課外作業(yè)：01九月202326全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用也可寫成01九月202327解由公式得01九月202328練習(xí)題01九月20232901九月20233001九月202331練習(xí)題答案01九月20233201九月20233301九月202334不存在.觀察播放01九月202335不存在.觀察01九月202336觀察不存在.01九月202337觀察不存在.01九月202338觀察不存在.01九月202339觀察不存在.01九月202340觀察不存