高數(shù)競(jìng)賽培訓(xùn)

一、求極限問題1、函數(shù)極限2、數(shù)列極限◆L-Hospital法則◆Heine原理-將數(shù)列極限轉(zhuǎn)換為函數(shù)極限◆等價(jià)無窮小替換及Taylor公式◆兩個(gè)重要極限◆其它：利用導(dǎo)數(shù)的定義、微分中值定理等◆極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則：夾逼性、單調(diào)有界原理◆利用定積分的概念◆利用收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)1、函數(shù)極限◆L-Hospital法則取對(duì)數(shù)●再次使用洛必達(dá)法則是求不定型的一種有效方法,但要注意：1、求極限過程中，若某個(gè)因子的極限已知，則可先提出已知極限；2、求極限過程中，可以與其他方法如等價(jià)無窮小替換、Taylor公式結(jié)合使用，效果更好，但小心使用；3、求極限過程中，可連續(xù)使用洛必達(dá)法則，直至求出不定型的極限；4、后面將有例題說明在求不定型過程中，不是

必須使用洛必達(dá)法則才行。●●故原式先取對(duì)數(shù)◆等價(jià)無窮小替換及Taylor公式常用的帶Peano型余項(xiàng)Taylor公式常見的等價(jià)無窮小替換難點(diǎn)：Taylor公式展開的階數(shù)與等價(jià)無窮小替換的條件●●原式掌握等價(jià)無窮小替換與Taylor公式的使用●另一方面原式●原式●提示：◆兩個(gè)重要極限提示：注意到

●原式◆其它：利用導(dǎo)數(shù)的定義、微分中值定理等●●●分析：利用重要極限可知●利用Lagrange中值定理知故原式2、數(shù)列極限◆極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則：夾逼性、單調(diào)有界原理◆利用定積分的概念◆利用收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)◆Heine原理-將數(shù)列極限轉(zhuǎn)換為函數(shù)極限◆Heine原理●故原式●故原式先取對(duì)數(shù)洛必達(dá)法則討論數(shù)列的斂散性，并且如果收斂的話，求極限值

(1)設(shè)(2)設(shè)●◆極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則：夾逼性、單調(diào)有界原理分析:(1)由數(shù)學(xué)歸納法知由此可見和都存在，且極限值是方程的正根分析:(2)根據(jù)單調(diào)有界原理知數(shù)列有極限，不妨設(shè)●◆利用定積分的概念特別地●由夾逼定理得●●由Stolz定理的推論◆利用收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)級(jí)數(shù)收斂的必要條件:●提示：考慮級(jí)數(shù)利用比值判別法可知該級(jí)數(shù)收斂首屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試題一、計(jì)算下列各題（共20分，每題各5分，要求寫出重要步驟）（3）現(xiàn)要設(shè)計(jì)一個(gè)容積為的一個(gè)圓柱體的容器。已知上下兩底的材料費(fèi)為單位面積元，而側(cè)面的材料費(fèi)為單位面積元。試給出最節(jié)省的設(shè)計(jì)方案：即高與上下底的直徑之比為何值時(shí)所需費(fèi)用最少。二、（10分）求下列極限法一：法二：故原式先取對(duì)數(shù)洛必達(dá)法則●●●●●自測(cè)題二、(偏)導(dǎo)數(shù)、高階(偏)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算1、分段點(diǎn)或特殊點(diǎn)處求導(dǎo)：直接利用定義2、復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則3、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則對(duì)數(shù)求導(dǎo)法4、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則5、高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算(一元函數(shù))6、變限積分函數(shù)的求導(dǎo)1、分段點(diǎn)或特殊點(diǎn)處求導(dǎo)：直接利用定義●●●2、復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則●因此:特別注意下面二者的區(qū)別變量樹圖變量樹圖

變量樹圖uv求設(shè)函數(shù)

z=f(x,y)

在點(diǎn)(1,1)處可微,且由題設(shè)●●偏導(dǎo)數(shù)對(duì)復(fù)合結(jié)構(gòu)具有”遺傳性”.●令復(fù)合3、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則對(duì)數(shù)求導(dǎo)法設(shè)F(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),已知方程解法1、公式法●解法2、兩邊求導(dǎo)法故解得同理可得解法3：利用全微分形式的不變性注、公式法：●證明：●兩邊取對(duì)數(shù)●4、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則5、高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算(一元函數(shù))◆利用Leibniz公式●常用高階導(dǎo)數(shù)公式◆根據(jù)已知函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式，通過恒等變形、四則運(yùn)算等方法，求出高階導(dǎo)數(shù)●◆利用Taylor級(jí)數(shù)●6、變限積分函數(shù)的求導(dǎo)●●●●●●自測(cè)題三、(偏)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1、一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用2、多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用◆函數(shù)單調(diào)性的判別法◆函數(shù)的極值與最值◆不等式的證明◆確定方程實(shí)根的個(gè)數(shù)◆函數(shù)單調(diào)性的判別法●

數(shù)列的值最小的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)________.且該項(xiàng)的數(shù)值為

.提示：，則●

設(shè)

_______.提示:◆函數(shù)的極值與最值提示:先通過代換代入原方程得到●

設(shè)函數(shù)滿足方程求函數(shù)的極大值和極小值.再根據(jù)極值的第二充分條件得到關(guān)于的線性方程組解得極大值極小值解得再根據(jù)極值的第二充分條件

現(xiàn)要設(shè)計(jì)一個(gè)容積為的一個(gè)圓柱體的容器。已知上下兩底的材料費(fèi)為單位面積元，而側(cè)面的材料費(fèi)為單位面積元。試給出最節(jié)省的設(shè)計(jì)方案：即高與上下底的直徑之比為何值時(shí)所需費(fèi)用最少?！袂覞M足費(fèi)用函數(shù)解得◆不等式的證明

.微分中值定理利用函數(shù)的單調(diào)性(單調(diào)性的判別法)●即（*）式成立。證明不等式●利用函數(shù)的單調(diào)性來證明不等式的問題，關(guān)鍵在于通過要證明的不等式構(gòu)造相應(yīng)的輔助函數(shù)◆確定方程實(shí)根的個(gè)數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性(單調(diào)性的判別法)零點(diǎn)定理(根的存在性定理)Rolle定理（反證法）o由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理知：●●

存在性由零點(diǎn)定理矛盾,唯一性(反證法)Rolle定理也可以指明方程實(shí)根的個(gè)數(shù)(反證法)Case1:若恒正(或恒負(fù))，則根的個(gè)數(shù)Case2:若有唯一解，則根的個(gè)數(shù)Case3:若有兩個(gè)解，則根的個(gè)數(shù)Case4:若恒正(或恒負(fù))，則根的個(gè)數(shù)Case6:若恒正(或恒負(fù))，則根的個(gè)數(shù)Case5:若有唯一解，則根的個(gè)數(shù)提示:顯然故在整個(gè)實(shí)數(shù)軸上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至少有三個(gè).另外注意到●或利用2、多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用◆曲線的切線與法平面◆曲面的切平面與法線◆多元函數(shù)的極值：無條件極值、條件極值設(shè)空間曲線的方程◆曲線的切線與法平面曲線在M處的切線方程空間曲線方程為空間曲線方程為切線方程為●

求曲線在點(diǎn)M(1,–2,1)處的切線方程與法平面方程.解法1

令則切向量法平面方程即解法2

方程組兩邊對(duì)

x求導(dǎo),得解得切線方程即切線方程即法平面方程即曲線在點(diǎn)

M(1,–2,1)處有:切向量●◆曲面的切平面與法線設(shè)為曲面上的任一點(diǎn),切平面方程為將定點(diǎn)代入平面方程即得無條件極值◆多元函數(shù)的極值：無條件極值、條件極值●

求中心在原點(diǎn)的橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)度問題等價(jià)于求：在條件的極值(舍去帶減號(hào)的根)長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為化簡(jiǎn)其中滿足●

求函數(shù)在的最值原問題等價(jià)于求函數(shù)在的最值(證明：)所以在球內(nèi)部沒有函數(shù)的駐點(diǎn)。構(gòu)造輔助函數(shù)解得四、微分中值定理◆Rolle定理◆Lagrange中值定理◆Cauchy中值定理◆Taylor公式:Peano型、Lagrange型Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理特殊推廣Taylor公式●◆Rolle定理●2題結(jié)論等價(jià)于構(gòu)造輔助函數(shù)，驗(yàn)證Rolle定理滿足分析:1題難點(diǎn)在于尋求區(qū)間，而2題難點(diǎn)在于構(gòu)造合適的輔助函數(shù)，要求相應(yīng)函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上滿足

Rolle定理的條件知識(shí)點(diǎn)：Rolle定理、積分中值定理●該構(gòu)造輔助函數(shù)的方法稱為指數(shù)因子法●提示(2):等價(jià)于輔助函數(shù)◆Lagrange中值定理●分析：要證明存在兩個(gè)或兩個(gè)以上的中間值，由于用一次中值定理只能找到一個(gè)中間值，故此問題通常至少要用兩次中值定理才能解決解：利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值性(1)(2)由(1),(2)有相乘即可●提示:將結(jié)論改進(jìn)為由介值定理,(1)(2)由(1),(2)有相加即可◆Cauchy中值定理●分析:結(jié)論等價(jià)于◆Taylor公式:Peano型、Lagrange型●由題意知合并同類項(xiàng)后得到●●分析：解：注意：帶Lagrange型余項(xiàng)的Taylor公式常用于證明與中間值相聯(lián)的不等式，其關(guān)鍵是注意Taylor公式中

展開點(diǎn)的選擇。通常選擇已知區(qū)間的端點(diǎn)、中間點(diǎn)或函數(shù)的極值點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)。這類題的特點(diǎn)是已知函數(shù)可導(dǎo)的階數(shù)較高(二階或二階以上)，同時(shí)還有若干個(gè)已知的函數(shù)值或?qū)?shù)值●●●●

–,則有更一般的，●提示：由條件知●存在性由Lagran