大型稀疏矩陣的求解

大型稀疏矩陣的求解學(xué)生：袁濤學(xué)號(hào)：10722024Contents1.快速、有效求解線性方程組意義2.大型稀疏矩陣的概念及其特點(diǎn)3.稀疏矩陣的求解方法及優(yōu)缺點(diǎn)4.用VB實(shí)現(xiàn)解線性方程組雅克比法5.結(jié)論快速、有效求解線性方程組意義

如何利用計(jì)算機(jī)來(lái)快速、有效地求解線性方程組的問(wèn)題是數(shù)值線性代數(shù)研究的核心問(wèn)題，而且也是目前仍在繼續(xù)研究的重大課題之一。這是因?yàn)楦鞣N各樣的科學(xué)與工程問(wèn)題往往最終都要?dú)w結(jié)為一個(gè)求解線性方程組的問(wèn)題。例如，結(jié)構(gòu)分析、網(wǎng)絡(luò)分析、數(shù)據(jù)分析、最優(yōu)化及非線性方程組和微分方程數(shù)值解等，都常遇到線性方程組的求解問(wèn)題。求解線性方程組的數(shù)值方法可分為直接法和迭代法兩大類。直接法是指在沒(méi)有舍入誤差的情況下經(jīng)過(guò)有限次運(yùn)算可求得方程組的精確解的方法；迭代法則是采取逐次逼近的方法，從一個(gè)初始向量出發(fā)，按照一定的計(jì)算格式，構(gòu)造一個(gè)向量的無(wú)窮序列，其極限是方程組的精確解，只經(jīng)過(guò)有限次運(yùn)算得不到精確解。大型稀疏矩陣的概念及其特點(diǎn)

稀疏矩陣的概念：所謂稀疏矩陣，是指矩陣中大多數(shù)元素為零元素。而大型稀疏矩陣，顧名思義是指矩陣的階數(shù)很大的稀疏矩陣，比如階數(shù)大于1O萬(wàn)甚至100萬(wàn)或更大。

大型稀疏矩陣的特點(diǎn)有：

1、如何存儲(chǔ)，減少內(nèi)存的占用量

2、如何根據(jù)矩陣本身特點(diǎn)選擇可靠的解法，縮短計(jì)算時(shí)間，同時(shí)使解具有一定的精度和穩(wěn)定性。稀疏矩陣的求解方法及優(yōu)缺點(diǎn)線性方程組的直接解法：高斯消去法，直接三角分解法線性方程組的迭代解法：Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法，SOR

迭代法

高斯消去法：Gauss消去法是計(jì)算機(jī)上常用的解線性方程組的有效算法。此方法為消元過(guò)程和回代過(guò)程。消元過(guò)程是把原方程組化為上三角形方程組的過(guò)程，而回代過(guò)程是求解上三角形方程組的過(guò)程。

直接三角分解法：可以直接從矩陣A出發(fā)，利用矩陣的乘法實(shí)現(xiàn)A的LU分解。最后的解也是回求迭代求出。

稀疏矩陣的求解方法及優(yōu)缺點(diǎn)

Jacobi迭代法：將n階線性方程組：（其中，系數(shù)矩陣為n階非奇異陣，且，i=1，2，，n。）建立迭代格式：0103稀疏矩陣的求解方法及優(yōu)缺點(diǎn)給出一組初值后，由迭代式反復(fù)迭代得到一個(gè)向量序列。如果，則就是原線性方程組的真解。Gauss-Seidel迭代法：是Jacobi的進(jìn)一步優(yōu)化的方法，當(dāng)計(jì)算時(shí)，總是起用前面最新計(jì)算出的，它們一般比（j=1，2，….，i-1）要精確。SOR迭代法：它是GS迭代格式的一種加速方法，是解大型系數(shù)方程組的有效算法之一。它引入了松弛