由最小作用量到量子化條件

最小作用量原理到量子化條件一?問題背景為了說明從最小作用量原理到量子化的過程是有多么驚心動魄，我們先要明白量子化的原理,并且在一開始我也要聲明這不是唯一的一種方法，并且也是當(dāng)代的一位物理學(xué)家做的工作。我僅表示最崇高的敬意而寫下這些可以讓我好好賞析的藝術(shù)。首先是介紹什么是作用量:WIKI的解釋二?最小作用量原理在物理學(xué)里，最小作用量原理(英語：leastactionprinciple)，或更精確地，平穩(wěn)作用量原理(英語：stationaryactionprinciple)，是一種變分原理，當(dāng)應(yīng)用于一個機械系統(tǒng)的作用量時，可以得到此機械系統(tǒng)的運動方程。這原理的研究引導(dǎo)出經(jīng)典力學(xué)的拉格朗日表述和哈密頓表述的發(fā)展?？?雅可比特稱最小作用量原理為分析力學(xué)之母[U在現(xiàn)代物理學(xué)里，這原理非常重要，在相對論、量子力學(xué)、量子場論里，都有廣泛的用途。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)里，這原理是莫爾斯理論的研究焦點。本篇文章主要是在闡述最小作用量原理的歷史發(fā)展。關(guān)于數(shù)學(xué)描述、推導(dǎo)和實用方法，請參閱條目作用量。最小作用量原理有很多種例子，主要的例子是莫佩爾蒂原理(Maupertuis'principle)和哈密頓原理。從英文中的造字角度看該問題可以略見端倪，”leastactionprinciple"。看了部分關(guān)于最小作用量原理的論文和賞析后。從歷史的角度看，費馬原理是最原始的表述，而到現(xiàn)在，近乎所有的物理理論都可以表述成最小作用量的形式，但是無法想象的是竟然沒有覆蓋全部的物理學(xué)。簡直無法忍受！接著先介紹電磁學(xué)的作用量：S=t2(動能—勢能)dtt1t21S=mv2—V(x))dtt12t2 S= (—mc21—v2/c2—q?x,y,z,t—v?A(x,y,z,t)])dtt1t21 1S= -eE2—-€C2B2—pe+jAdt22t1F=qE+vXBeVXFH0寫下這些方程是為了很好地表現(xiàn)拉氏量在力學(xué)和電磁學(xué)中發(fā)揮的作用~先從洛倫茲力下手，然后把勢能函數(shù)表示出來，接著可以先給出非相對論情形下的拉格朗日函數(shù):dpr %F=dt=qej—Ve—喬+VXVX力TOC\o"1-5"\h\zdA dA—V0—亍+vXVXA=—V0——■+Vv?A—v?VAL/<? L/<?\o"CurrentDocument"dA(x,y,z,t) —A —Adx —Ady —Adz —A\o"CurrentDocument" = 1 1 1 = +v?VA

dt —t —x—t —y—t —z—t —tddtp+qeA=—Vqe?—"A

發(fā)現(xiàn)電磁理論的動量和勢能函數(shù)的形式，F(xiàn)=—BtUp=q=(p—我們可以從中閱讀到的信息是qA擁有真實的動量含義，下面我們將看到一些十分驚人的結(jié)果!1厶=-mv2—q(p—v?A2edLp=—=mv—qAdv e1H= P"—L=2mp—qeA2—qp接下來是給出相對論形式的拉氏變換，為了方便我將引入四維矢量的描述方式：L]xT,XT,TT粒子的四維坐標(biāo)可以視為粒子“原時“的函數(shù)PS:原時的概念是這么引入的：我們都知道四維時空都有一個不變的間隔即11—AxAx=At2t一c2At2—Ax2—Ay2—Az2=At2C2MR c2=At1—=At1—V2/c2At=—卄c2—v2c我們把這個不隨參考系變化的時空間隔稱為”原時” AT.那么就有：6；；接著用拉格朗日乘子法，AxAx=c2

卩卩接著用拉格朗日乘子法，引入輔助函數(shù)得：入TL'=L■— (AxAx—c2)2'卩"丿對新函數(shù)取變分求極值：6LdT=0t由歐拉方程可推導(dǎo)得:dL'ddL‘一dx證明對L的任意變換，上式都是成立的。這里再介紹自由粒子的作用量形式：狹義相對論性的自由粒子的作用量表示：=—m0c2 1=—m0c2 1—v2/c2I卩 口同樣從力出發(fā)(一種本征的思考，力是與能量，動量，角動量直接相互聯(lián)系的基本量):drr=5,熾％TT亦=ei基矢量dp dvdr 一p=dp dvdr 一p=mu，丁=F =F?e.且我們可知F?e.是一標(biāo)量Q.dT dTdq. 1 iid(dr—]mu?dTddr—mu———Q=0dTdq. 1dr du d (洛必達法則給出：亍=亍=廠And—-dq. dq. dq. dT dq.drdrdu=兀dd(—m0C2 1—U2/c2d1叫 du2d1du2=不(2肌亦)dTdr21—u2/c2dq.注意到：d du du d°1注意到：d du du d°1mu2mu? -mu? -Q=0t2—az dq. dq. 1 azdq.d1mu2=0TOC\o"1-5"\h\zd(—me21—U2/c2 1du20 =m?'如 2叫dVL(x(t),X(t),T=—me21—U2/c2—V,Q= -卩卩 0 idq.我們現(xiàn)在得到了相對論條件下的自由例子的拉氏方程-LagrangeEquation接下來是確定V的表達式。我們知道在電磁場情形下，粒子將會收到電磁場的局域作用，而勢的作用在A-B效應(yīng)中體現(xiàn)出比場更加基本的性質(zhì)。所以寫下勢能函數(shù)優(yōu)先用基本勢來完成！V=q(?-v?A由此可得：L(x(t),x^(t),t=—m0c21—u2/c2—q(?-v?A接著可以寫成簡潔的四矢量的形式：A=(￥，￡C VU= ,^=卩 1—V2/c21—V2/c2P口=(iW/ctp)此時同樣可以給出相對論形式下的作用量,哈密頓量和共軛動量的表達式：drt2dry—1(—mnc2—qAU

0卩卩1dLP= =mu+qAduH=P—qA2+ 2c4+q?三?電磁場的協(xié)變性電磁場方程的表達式可以寫為：dAE=——dtB=VXA為了保證電磁場在勢函數(shù)規(guī)范變化后不發(fā)生變化(基于勢函數(shù)的隨機性，但勢函數(shù)也有限制)因此作電磁勢的規(guī)范變換：A=A+dW d 、，V=示,—V-四維梯度dt 口dtL'=L-qvWu于是有：

變換前的作用量表達式為（聲明以下的X,u都是四維矢量）:TOC\o"1-5"\h\zt2 t2QL dLSS=S Ldrc= 8x+8udr\o"CurrentDocument"dx dut1 t1dL必+dL必+喬叫2一t2ddLdtdut1Sxdz由于吐氐在時間河流上的兩端的變分為0?所以上式可以繼續(xù)寫為:dut2dLddL— 8xd.T=0T1 dXdtdU變換后:TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"t2 t2\o"CurrentDocument"SS'=S厶'必=6 L—u drT1 l1=屮I=屮I?—屮Judr= dxdx dx卩T1 卩 T1 卩由此可知規(guī)范變換的函數(shù)在其兩端點的變分為0！t2 t2 CSS'=S厶'必=8 L必+ -^T=021\o"CurrentDocument"t1 t1于是可得電磁場規(guī)范變換的協(xié)變性成立 用作用量的變分不變證明!四?作用量應(yīng)用的范圍物理是一門描述物體運動規(guī)律和物質(zhì)結(jié)構(gòu)的學(xué)科。一般性地描述運動都是用微分方程來描述,諸如弦振動方程，熱傳導(dǎo)方程和波動方程，只要給定方程的初值與邊界條件我們就可以將物體的運動規(guī)律詳細(xì)地表示出來。物體的運動軌跡是受一定的規(guī)律支配,在我們的世界就是四項基本作用力。物質(zhì)的構(gòu)成在我們現(xiàn)在的認(rèn)識基礎(chǔ)上是十二種基本粒子構(gòu)造了所有的我們宇宙的物質(zhì)?？墒俏覀兡芊裉骄孔匀唤鐬槭裁催x擇此方程？物體為什么會那樣運動？我們第一次接觸物體為何運動是在學(xué)習(xí)牛頓力學(xué)過程,力學(xué)研究運動學(xué)和動力學(xué)。運動學(xué) 就是物體是怎樣運動的？動力學(xué)---物體為何運動？牛頓的理論是決定形式的,只要給了初始條件,我們就知道物體的運動軌跡。一種巧合是某一種與物體位移和速度相關(guān)聯(lián)的量會在整個運動過程中取得一個極小值,而這種巧合不僅僅發(fā)生在機械力學(xué),在熱學(xué)（熵）和電動力學(xué)（麥克斯韋方程組和洛倫茲力）都可以找到這些極小值來描述物體運動。并且所有的物體運動方程都可以由這些作用量推導(dǎo)出來！我介紹一個極簡的粒子,以表示我對費曼的傾佩之情:121S= 2mv2dt……自由粒子的作用量11t21mv2t21mv2dt=2limAtt0Ax2LAt21At>mlim2At-0ZAx2LnAtPS:用到的不等式af+aj+a2+a2+…+呻>可知自由粒子作勻速運動是作用量極小需要滿足的！總體的極小整體描述-分段的極小微觀描述-微分方程最小作用量原理要求爲(wèi)呦2沁到極小值的那個行進方式是自然界的選擇嗎？是誰的意

圖和旨意呢？物體本身是”聞出”了所有的路徑后選擇了一條作用量最小的值嗎?我覺得統(tǒng)計力學(xué)的“熵”給了一種微觀的解釋。物體的確走了所有的路徑，在微觀下他們表現(xiàn)出一種概率分布，隨著時間的流逝，這種分布趨于穩(wěn)定的宏觀值。而至于物體是怎么走的所有路徑？首先要澄清一個觀點，真的有所謂的確切的路徑嗎？當(dāng)我們?nèi)ゴ_定（也就是探測”路徑“的時候）實際上已經(jīng)影響了物體的路徑，而真實的路徑已經(jīng)不是我們觀察的到的那樣。而真實的路徑也是無法觀察的！那么對于真實的不確定就賦予了真實各種可能性。這也就是量子力學(xué)的觀點：到量子力學(xué)層次，按波函數(shù)的解釋，物體實際上所以可能的路徑都是要走的。每條路徑通過一個權(quán)重因子e；對體系的"振幅"產(chǎn)生貢獻。對一般的路徑稍微偏離一點，就會有變化，產(chǎn)生干涉相消（?’'?）---類似于雙縫干涉。而只有（唯一性保證）S取極小值，權(quán)重AS變化最微弱，路徑稍偏離S基本不變6S=0,此時才會產(chǎn)生相干疊加！此路徑”經(jīng)典路徑"對振幅起重要貢獻，類似于光選擇最短光程，留下可觀測的經(jīng)典宏觀效應(yīng)。而散步在全空間的各種路徑仍然是存在的，只不過此時他們的概率極低，不至于我們敏感度極低的眼睛和現(xiàn)有的普通儀器觀測到！現(xiàn)在討論關(guān)于最小作用量的”逆問題“：即所有的物理量都有其對應(yīng)的作用量嗎？當(dāng)初費曼發(fā)明”路徑積分“就因有些系統(tǒng)無法用哈密頓系統(tǒng)描述！如果可以的話，這就意味著最小作用量原理可以完全取代微分方程決定的運動規(guī)律。費曼發(fā)現(xiàn)洛倫茲力找不到其對應(yīng)的作用量表示。王青老師ppt自由質(zhì)點被約束在單位球面上運動：S=/曲:肌/r.F=1m[r-Fm[r-Ff)]=D現(xiàn)假設(shè)此質(zhì)點帶電電量鴿并且在球心放置一個單位磁單極：B場方程中應(yīng)出現(xiàn)洛倫茲力項：+rr-r）—qvX療一gFxF洛倫茲力項如何在作用量中體現(xiàn)？產(chǎn)（尹XR=0五.從作用量推導(dǎo)量子化條件現(xiàn)在考慮一位物理學(xué)家的工作，他是一位弦論物理學(xué)家。這是我對他的全部了解了。他假設(shè)了磁荷存在的情形下，我們可以有最小作用量原理給出量子化條件。也就是解釋一個懸而未決的問題：為什么元電荷是e=1.60217656535X10-19C這個值？不過同時假定磁荷的話，就需要思考元磁荷的問題？這也是一個我們即將面對的問題！消息：2015/4/30科學(xué)家已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了量子磁荷的存在。/news/2015-04-physicists-quantum-mechanical-monopoles.htmOutm_sourcenmenu&utm_medium=link&utm_campaign=item-menu不過這也不算是好消息，因為大物的掛科率和退課率要呈指數(shù)式上升了~。電荷在磁荷外圍的球面上作閉合回路運動。我們可以計算該回路的作用量：t2 S= (―mc21—v2/c2—q^[^x,y,z,t—v?A(x,y,z,t)])dtt1TOC\o"1-5"\h\zt2 12S= (—mc21—v2/c2—qg^)dt—qg A?dl\o"CurrentDocument"ti 11t2 t2A?dl= BdS可是我們發(fā)現(xiàn)磁通量積分可以選擇任意兩個曲面C]，C2！ti ti\o"CurrentDocument"t2 12 aBdS+BdS=顯uti,C1 t