由柯西收斂原理證確界存在定理

有限覆蓋定理T緊致性定理證明：設數(shù)列｛x｝滿足a<x<b。nn先證3xe［a,b］，在x的任一鄰域(x-￡,x+￡)中必含有x的無限項。0000n如果不然。Vxe［a,b］，35A0，使(x-8,x+8)只含｛x｝的有限項。記x x x nE=｛(x-5,x+5)|xe［a,b］，5由上產生｝，是［a,b］的一個覆蓋。由有限覆蓋x x x定理，知3E中有限個開區(qū)間(x-5,x+5)(x-5,x+5) (x-5,x+5)11112222kkkk覆蓋［a,b］。則方面：由覆蓋的定義，｛x｝中的所有項包含于這有限個開區(qū)間內，另一方面，因n為｛x-5,iix+5｝(i=l,2,...k)均只含｛x｝為｛x-5,iiiinn的有限項，這將互相矛盾。故3x0e[a，b]，在x0的任一鄰域(x°-￡，x0+￡)中必含有xn的無限項。特別地，取￡=1，則3xe(xo—1,xo+1)，k00取￡二1/2，則3誘e(%-1/2,%+1/2),(k2>取￡二1/2，取￡二1/n，則3xe(x一1/n,x+1/n),(k>k)kn 0 0 n n-1則｛xk｝為｛x“｝的子數(shù)列，滿足°<x-x0<1/nTo,(ninn故｛xJ收斂于叮定理證完柯西收斂定理T確界存在定理以非空有上界數(shù)集必有上確界為例來證明證明：設數(shù)集A非空有上界，設b是A的上界1因為A非空，設x0eA，則存在a<x0,a就不是A的上界。1b]，如果a]+勺是A的上界，則取12aYb，用ab]，如果a]+勺是A的上界，則取121111111

1，[a2，b2]=[a1,寧]；如果寧不是A的上界，則取[a2，b2]=[寧，卩用a2，b的中點a2+b2二等分[,b]……如此繼續(xù)下去，得一閉區(qū)間列｛%,b」1，［a,b］二［a1,b1］，lim（b—a）=0nn n+1n+1 limbannnta數(shù)列｛數(shù)列｛a｝，｛b｝滿足Vn，nna不是A的上界，b是A的上界。nn下證｛a｝，下證｛a｝，｛b｝是收斂數(shù)列。nn7lim （b-a）=°，即V￡a0，3N,ntann當naN，有|b—a|y￡。nn又對又對VpgZ+，a<a<b<b，n n+p n+pn故Ia -aI<（b—a）y￡，故｛a｝是n+p nnnn）=0，故）=0，故limb=rnntannta最后證r=supA。收斂的，設lima=r。又因lim(b—annta因為b是A的上界，故對VxgA,x<b，由極限的保序性，x<rnn即r是A的上界，設任一r'Vr，我們來說明r'不是A的上界由lima=r