變力做功的計算

變力做功的計算公式適用于恒力功的計算，對于變力做功的計算，一般有以下幾種方法。一、微元法對于變力做功，不能直接用進行計算，但是我們可以把運動過程分成很多小段，每一小段內可認為F是恒力，用求出每一小段內力F所做的功，然后累加起來就得到整個過程中變力所做的功。這種處理問題的方法稱為微元法，這種方法具有普遍的適用性。但在高中階段主要用于解決大小不變、方向總與運動方向相同或相反的變力的做功問題。例1.用水平拉力，拉著滑塊沿半徑為R的水平圓軌道運動一周，如圖1所示，已知物塊的質量為m，物塊與軌道間的動摩擦因數(shù)為。求此過程中摩擦力所做的功。圖1思路點撥：由題可知，物塊受的摩擦力在整個運動過程中大小不變，方向時刻變化，是變力，不能直接用求解；但是我們可以把圓周分成無數(shù)小微元段，如圖2所示，每一小段可近似成直線，從而摩擦力在每一小段上的方向可認為不變，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起來，便可求得結果。圖2正確解答：把圓軌道分成無窮多個微元段，摩擦力在每一段上可認為是恒力，則每一段上摩擦力做的功分別為，，…，，摩擦力在一周內所做的功。誤點警示：對于此題，若不加分析死套功的公式，誤認為位移s＝0，得到W＝0，這是錯誤的。必須注意本題中的F是變力。小結點評：對于變力做功，一般不能用功的公式直接進行計算，但有時可以根據(jù)變力的特點變通使用功的公式。如力的大小不變而方向總與運動方向相同或相反時，可用計算該力的功，但式子中的s不是物體運動的位移，而是物體運動的路程。［發(fā)散演習］如圖3所示，某個力F＝10N作用于半徑R＝1m的轉盤的邊緣上，力F的大小保持不變，但方向任何時刻與作用點處的切線方向保持一致。則轉動半圓，這個力F做功多少？圖3答案：31.4J。二、圖象法在直角坐標系中，用縱坐標表示作用在物體上的力F，橫坐標表示物體在力的方向上的位移s。如果作用在物體上的力是恒力，則其F－s圖象如圖4所示。經(jīng)過一段時間物體發(fā)生的位移為s0，則圖線與坐標軸所圍成的面積（陰影面積）在數(shù)值上等于力對物體做的功W＝Fs，s軸上方的面積表示力對物體做正功（如圖4（a）所示），s軸下方的面積表示力對物體做負功（如圖4（b）所示）。。物體的位移。在這一過程中彈力的功在數(shù)值上等于圖8中梯形OADC的面積，即，所以物塊的最大動能為。2.用質量為5kg的均勻鐵索從10m深的井中吊起一質量為20kg的物體，在這個過程中至少要做多少功？（g取10m/s2）答案：2250J提示：作用在物體和鐵索上的力至少應等于物體和鐵索的重力，但在拉起鐵索的過程中，鐵索長度逐漸縮短，因此拉力也逐漸減小，即拉力是一個隨距離變化的變力。從物體在井底開始算起，拉力隨深度h的變化關系是（0≤h≤10），作出F－h(huán)圖線如圖9所示，利用示功圖求解拉力的功（可用圖中梯形面積表示），得出。圖93.一輛汽車質量為1×105kg，從靜止開始運動，其阻力為車重的0.05倍。其牽引力的大小與車前進的距離是線性關系，且，是車所受阻力，當該車前進100m時，牽引力做了多少功？答案：1×107J。提示：阻力。則牽引力為。作出F－s圖象如圖10所示，圖中梯形OABD的面積表示牽引力的功，所以。圖10三、利用W＝Pt求變力做功這是一種等效代換的觀點，用W＝Pt計算功時，必須滿足變力的功率是一定的。例3.汽車的質量為m，輸出功率恒為P，沿平直公路前進距離s的過程中，其速度由v1增至最大速度。假定汽車在運動過程中所受阻力恒定，則汽車通過距離s所用的時間為_____________。思路點撥：汽車以恒定的功率P加速時，由P＝Fv可知，牽引力逐漸減小，汽車做加速度逐漸減小的加速運動，當F＝Ff時，加速度減小到零，速度達到最大，然后以最大的速度做勻速直線運動。正確解答：當F＝Ff時，汽車的速度達到最大v2，由可得

①對汽車，根據(jù)動能定理，有②①②兩式聯(lián)立得。誤點警示：有同學可能這樣解：平均速度，時間。這樣解是錯誤的，因為汽車的運動不是勻加速運動，不能用求平均速度。小結點評：汽車以恒定的功率起動時，牽引力是變力，牽引力的功不能用W＝Fs計算，但可以用W＝Pt計算；若用求牽引力的功也是錯誤的，因為牽引力隨位移的變化不是線性關系，不能用求平均牽引力。［發(fā)散演習］質量為m的汽車在平直的公路上從速度v0開始加速行駛，經(jīng)過一段時間t后，前進了距離s，此時恰好達到其最大速度，設此過程中汽車發(fā)動機始終以額定功率P工作，汽車所受的阻力為恒力Ff，則這段時間里，發(fā)動機所做的功為（）A.

B.

C.

D.

答案：A、B提示：發(fā)動機所做的功即為發(fā)動機牽引力做的功，由功率定義可知W＝Pt，選項B正確。汽車以恒定功率起動，當F＝Ff時，達到最大速度，應有，所以t，選項A正確。選項C、D均將汽車的運動看作勻變速運動，其中選項C是先求出a，再求出合外力ma的功，選項D是先算出平均速度，然后用表示發(fā)動機做的功，顯然都是錯誤的，因為機車的運動是變加速運動而不是勻變速運動。四、利用功能關系求變力功求變力所做的功，往往根據(jù)動能定理、機械能守恒定律和功能關系等規(guī)律，用能量的變化量等效代換變力所做的功。這種方法的優(yōu)點是不考慮變力做功過程中力的大小及方向的細節(jié)，只考慮變力做功的效果??能量變化，解題過程簡捷，是求變力功的首選方法。例4.如圖11所示，質量m＝2kg的小球系在輕細橡皮條一端，另一端固定在懸點O處。將橡皮條拉直至水平位置OA處（橡皮條無形變）然后將小球由A處靜止釋放，小球到達O點正下方h＝0.5m處的B點時的速度為v＝2m/s。求小球從A運動到B的過程中橡皮條的彈力對小球所做的功。取g＝10m/s2。圖11思路點撥：取小球、橡皮條和地球組成的系統(tǒng)為研究對象，在小球從A運動到B的過程中，只有系統(tǒng)內的重力和彈力做功，機械能守恒。正確解答：取過B點的水平面為零重力勢能參考平面，橡皮條為原長時的彈性勢能為零。設在B時橡皮條的彈性勢能為Ep2，由機械能守恒定律得則橡皮條的彈性勢能增加6J，則小球的機械能必減少6J，故橡皮條的彈力對小球做功－6J。小結點評：彈簧或橡皮條的彈力是變力，求此類彈力做功可用機械能守恒定律結合彈力做功與彈性勢能變化的關系。［發(fā)散演習］1.將一質量為m的物體以初速度v0豎直向上拋出，落回拋出點時的速度為v，已知空氣阻力與速率成正比，則從拋出到落回拋出點的整個過程中，空氣阻力做的功為__________。答案：。提示：對整個過程應用動能定理。2.如圖12所示，物體沿曲面從A點無初速度滑下，滑至曲面的最低點B時，下滑的高度為5m，速度為6m/s。若物體的質量為1kg。則下滑過程中物體克服阻力所做的功為多少？圖12答案：根據(jù)動能定理可得。

五、利用動能定理求變力功6．質量為m的小球被系在輕繩的一端，在豎直平面內做半徑為R的圓周運動，運動過程中小球受到空氣阻力的作用。設某一時刻小球通過軌道的最低點，此時繩子的張力為7mg，此后小球繼續(xù)做圓周運動，經(jīng)過半個圓周恰能通過最高點，則在此過程中小球克服空氣阻力所做的功為（）A．mgRB．mgRC．mgRD．mgR5．某消防隊員從一平臺跳下，下落2m后雙腳觸地，接著他用雙腿彎曲的方法緩沖，使自身重心又下降了0.5m。在著地過程中，地面對他雙腿的平均作用力是他自身重力的（）A．2倍；B．5倍；C．8倍；D．10倍4．如圖所示，質量為m的物體用細繩經(jīng)過光滑小孔牽引在光滑水平面上做勻速圓周運動，拉力為某個值F時，轉動半徑為R，當拉力逐漸減小到時，物體以另一線速度仍做勻速圓周運動，半徑為2R，則物體克服外力所做的功是(

)

A．0B．C．D．2．如圖所示，AB為1/4圓弧軌道，BC為水平直軌道，圓弧的半徑為R，BC的長度也是R，一質量為m的物體，與兩個軌道間的動摩擦因數(shù)都為，當它由軌道頂端A從靜止開始下落，恰好運動到C處停止，那么物體在AB段克服摩擦力所做的功為（