3.3 拋物線(xiàn)（練習(xí)） - 解析版

33．3拋物線(xiàn)（練習(xí)）解析第頁(yè)3．3拋物線(xiàn)（練習(xí)）解析一．單項(xiàng)選擇題：（每小題5分，共6小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．若拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)與雙曲線(xiàn)的上焦點(diǎn)重合，則A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)殡p曲線(xiàn)半焦距，即雙曲線(xiàn)的上焦點(diǎn)為，所以?huà)佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)為，所以，即．故選C．2．拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，，則A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，所以，解得．故選D．3．已知拋物線(xiàn)上有一條長(zhǎng)為的動(dòng)弦，則的中點(diǎn)到軸的最短距離為A．B．C．D．【答案】A【解析】拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為．如圖，設(shè)中點(diǎn)為，作垂直準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)，則點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為．因?yàn)?，所以中點(diǎn)為到軸的最短距離為．故選A．4．已知，為拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則直線(xiàn)的斜率為A．B．C．D．【答案】C【解析】已知的中點(diǎn)為，設(shè)，兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，則，且．由可得，所以．故選C．5．已知點(diǎn)，分別是直線(xiàn)與拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A．B．C．D．【答案】B【解析】的最小值即為拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)的最小距離．設(shè)與直線(xiàn)平行且與拋物線(xiàn)相切的直線(xiàn)的方程為．由，得，令，解得．因?yàn)橹本€(xiàn)與拋物線(xiàn)相離，所以直線(xiàn)的方程為：，所以直線(xiàn)與與直線(xiàn)間的距離為，即的最小值為．故選B．6．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于，兩點(diǎn)，則的面積為A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)，．因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)為，所以直線(xiàn)的方程為：，即．（解法一）由，消去得，，所以，所以．又到直線(xiàn)的距離，所以的面積為．故選D．（解法二）由消去得，，所以，，所以．因此的面積為．故選D．二．填空題（每小題5分，共6小題．）7．設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為，過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，，若，則．【答案】【解析】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為．由拋物線(xiàn)定義，得，所以．又直線(xiàn)過(guò)所以直線(xiàn)的方程為，所以．8．點(diǎn)是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)，記點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，則的最小值為．【答案】【解析】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，由拋物線(xiàn)定義可知，，所以．9．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，且與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn)．若，則_________．【答案】【解析】（解法一）如圖，的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為，．因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，所以．又，所以，所以．所以．（解法二）過(guò)點(diǎn)，作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為，．因?yàn)?，所以，所以，所以直線(xiàn)的傾斜角為或．故直線(xiàn)的方程為，代入，可得，所以，所以．10．已知過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)．若點(diǎn)，使得，則_________．【答案】【解析】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，所以直線(xiàn)的方程為：代入，消去得．設(shè)，，則，，所以，．因此，所以．三、解答題（解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．）11．（本小題滿(mǎn)分12分）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，且．（1）求拋物線(xiàn)的方程；（2）設(shè)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，那么在軸上是否存在定點(diǎn)，使得當(dāng)變化時(shí)，總有成立？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，且，所以到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，即，所以．又，所以，解得，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為．（2）設(shè)，，由，消去得，，所以，．若軸上是存在定點(diǎn)，使得恒成立，則直線(xiàn)的斜率與直線(xiàn)的斜率之和恒為，即．因此，所以，所以，所以，解得．即存在點(diǎn)，使得當(dāng)變化時(shí)，總有成立．12．（本小題滿(mǎn)分12分）在直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．（1）求；（2）除以外，直線(xiàn)與是否有其它公共點(diǎn)？說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）詳見(jiàn)解析．【解析】（1）依題意得，，又為關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，所以，所以直線(xiàn)的斜率為，故直線(xiàn)方程為．代入，可得，所以或，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入，可得，故