復(fù)變函數(shù)與積分變換2011 20122第三章9講

§5解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系?2j

?2j?x2

+

?y2

=

0,1.

調(diào)和函數(shù)定義如果二元實(shí)函數(shù)j(x,y)在區(qū)域D內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足如下的拉普拉斯方程那么稱為區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。2.

解析與調(diào)和的關(guān)系引理：若f

(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析，則u(x,y),v(x,y)具有任意階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。定理：若f(z)

=

u(x,

y)

+

iv(x,

y)在區(qū)域D內(nèi)解析，則u(x,

y),

v(x,

y)必為D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。證明：因?yàn)閒(z)解析，由柯西-黎曼定理得ux

(x,

y)

=

vy

(x,

y)，uy

(x,

y)

=

-vx

(x,

y),二式分別對(duì)x,y求偏導(dǎo)，得uxx

(x,

y)

=

vyx

(x,

y),

uyy

(x,

y)

=

-vxy\

uxx

(x,

y)

+

uyy

(x,

y)

=

vyx

(x,

y)

-

vxy

(x,

y)

=

0.（混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)時(shí)，與求導(dǎo)次序無關(guān)）同理可證，vxx

+

vyy

=

0.曲線u(x,y)=c1與曲線v(x,y)=c2相互垂直證明：將u

(x,y)=c1兩端同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得xx

1ydy

uy

dxdx

uu

+

u

dy

=

0,

\

k

==

-3.

共軛調(diào)和函數(shù)定義：設(shè)u(x,y)是區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，我們把使得u(x,y)+iv(x,y)在D內(nèi)構(gòu)成解析函數(shù)的v(x,y)稱為

u(x,y)的共軛調(diào)和函數(shù)。注：共軛二字的來源是因?yàn)閥v同理，對(duì)另一族曲線，

有k

=

-

vx

，2xy

yu

vxu

vk1k2

==

-1，證畢。4.

共軛調(diào)和函數(shù)的求法我們知道，對(duì)解析函數(shù)來說，其實(shí)部和虛部并不是完全獨(dú)立而是有一定聯(lián)系的。那么他們到底有多大聯(lián)系呢？實(shí)際上知道其中一個(gè)便基本上可確定另一個(gè)。下面我們舉例說明。再由柯西-黎曼方程，例1

已知u(

x,

y)

=

y3

-

3x2

y為調(diào)和函數(shù)，試求其共軛調(diào)和函數(shù)v(

x,

y)并求解析函數(shù)f

(

z)

=

u(

x,

y)+iv(x,y)滿足f

(1)=0。解：由u(x,y),v(x,y)之間的關(guān)系，得xv

(x,

y)

=

-u

(x,

y)

=

-(3y

2

-

3x

2

)y=

-3y2

+

3x2

（1）（1）式兩端對(duì)x積分，得v(x,

y)

=

vx

(x,

y)dx

=

(-3y

+

3x

)dx2

2=

-3y2

x

+

x3

+

c(

y)下面我們進(jìn)一步一來確定c(y)，如何確定它？為此，將v(x,y)對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)，得vy

(x,

y)

=

-6xy

+

c￠(

y)又

vy

(x,

y)

=

ux

(x,

y)

=

-6xy\

c￠(

y)

=

0,

即c(

y)

=

c

(任意常數(shù)）由此得到

v(x,

y)

=

-3

y2

x

+

x3

+

c由f

(1)

=

0得，

(1+

c)i

=

0,

所以c

=

-1.于是，f

(z)=y3

-3x2

y

+i(x3

-3xy2

-1).以上我們求共軛調(diào)和函數(shù)的方法稱為偏積分法下面我們?cè)俳榻B一種已知u(x,y)或v(x,y)求解析函數(shù)f(z)的不定積分法。例2

已知f

(

z)的實(shí)部u(

x,

y)

=

x2

+

2

xy

-

y2

,試求解析函數(shù)f

(z)。解：由柯西-黎曼定理，得f

(z)

=

ux

+

ivx

=

ux

-

iu

y=

2x

+

2

y

-

i(2x

-

2

y)=

2z

-

2i2

y

-

2ix

=

2z

-

2iz,\f

(z)=z2

-iz