互斥事件的概率條件概率與相互獨立事件的概率

(必修3)第三章概率第23講互斥事件的概率、條件概率與相互獨立事件的概率1.了解互斥事件的概率、兩個互斥事件的概率加法公式，能利用此公式求有關(guān)事件的概率.2.了解條件概率和相互獨立事件同時發(fā)生的概率，理解n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布.1.已知事件A、B的概率都大于零,那么()CA.如果A與B互斥，則與也互斥B.如果A、B不是相互獨立事件，那么它們一定是互斥事件C.如果A、B是相互獨立事件，那么它們一定不是互斥事件D.如果A+B是必然事件，那么它們一定是對立事件2.甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是,甲獲勝的概率是,則甲不輸?shù)母怕适?/p>

.3.甲、乙兩人獨立解同一道題,甲解決這道題的概率是0.7,乙解決這道題的概率為0.8,那么恰有一人解決這一道題的概率是()BA.0.56B.0.38C.0.44D.0.94

只有甲解決這道題的概率為0.7×(1-0.8)=0.14;只有乙解決這道題的概率為0.8×(1-0.7)=0.24.故恰有一人解決這一問題的概率為0.１4+0.24=0.38,選B.4.有3道選擇題和2道填空題,如果依次不放回地抽取2道,則在第一次抽到選擇題的條件下,第二次抽到選擇題的概率為

.

第一次抽到選擇題的概率為,則第二次抽到選擇題的概率為＝.1.互斥事件①

,叫做互斥事件.

如果事件A1，A2，…，An中的任何兩個都是互斥事件，那么就說A1，A2，…，An彼此互斥.2.對立事件如果兩個互斥事件在一次試驗中必然有一個發(fā)生,那么這樣的兩個互斥事件叫做②

.通常事件A的對立事件記作,且有P(A)+P()=1.不可能同時發(fā)生的兩個事件對立事件3.互斥事件的概率加法公式設(shè)A、B是兩個事件，A+B表示這樣的事件，如果在一次試驗中A或B中至少有一個發(fā)生就表示該事件發(fā)生.

當(dāng)A與B為互斥事件時,P(A+B)=③

.

一般的,若A1,A2，…,An彼此互斥,則有P(A1+A2+…+An)=④

.4.條件概率設(shè)A、B為兩個事件,且P(A)>0,稱⑤

.為在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的條件概率.P(A)+P(B)P(A1)+P(A2)+…+P(An)P(B|A)＝5.相互獨立事件⑥

.，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件.6.相互獨立事件同時發(fā)生的概率兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P(A·B)=⑦

.一般的,如果事件A1、A2、…、An相互獨立,則有P(A1·A2·…·An)=⑧

.事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響P(A)·P(B)P(A1)·P(A2)·…·P(An)題型一互斥事件的概率例1

一個口袋里共有7個白球4個紅球，現(xiàn)在一次取出三個球，則這三個球中至少有一個紅球的概率是多少？

（方法一）記“三個球中至少有一個紅球”為事件A，“三個球中恰有一個紅球”為事件A1，“三個球中有兩個紅球”為事件A2，“三個球全是紅球”為事件A3，則A=A1+A2+A3,且這三個事件兩兩互斥,故得P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)==.(方法二)記“三個球全是白球”為事件,且是A的對立事件，則P()==,

故得P(A)=1-P()=.

在求某些稍復(fù)雜的事件的概率時通常有兩種方法：一是將所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求出此事件的對立事件的概率.

從標(biāo)有1，2，3，4，5，6，7的7個小球中取出一個，記下它上面的數(shù)字，放回并攪動，再取出一球，記下它上面的數(shù)字，若兩個數(shù)字之和大于11或兩個數(shù)字之積小于11就能中獎，問中獎的概率是多少？

從7個小球中有放回地兩次取球，兩個數(shù)字之和大于11的概率是，兩個數(shù)字之積小于11的概率是=,因為兩個數(shù)字之和大于11與兩個數(shù)字之積小于11是兩個互斥事件，所以中獎的概率為+=.

本題是有放回地取球.如果是不放回地取球，則可用數(shù)對標(biāo)記列舉出來.題型二條件概率例2

在100件產(chǎn)品中有95件合格品，5件不合格品.現(xiàn)從中不放回地取兩次，每次任取一件.試求：

(1)第一次取到不合格品的概率；

(2)在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率.

設(shè)A={第一次取到不合格品}，B={第二次取到不合格品}.(1)

P(A)==0.05.(2)根據(jù)條件概率的定義計算，需要先求出事件AB的概率.P(AB)=×=,所以有P(B|A)===.

1.在等可能性事件的問題中，求條件概率通用的方法是利用條件概率公式P(B|A)=

,這就需要求出P(AB)和P(A),用到原來的概率知識.2.本題中可以計算事件B的概率為P(B)=P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=×+×==0.05,可見，條件概率P(B|A)≠P(B).題型三相互獨立事件發(fā)生的概率例3

甲、乙兩人獨立地破譯1個密碼，他們能譯出密碼的概率分別為13和14，試求：（1）兩人都譯出密碼的概率；（2）兩人都譯不出密碼的概率；（3）恰有1人譯出密碼的概率；（4）至多1人譯出密碼的概率.

設(shè)“甲譯出密碼”為事件A，“乙譯出密碼”為事件B，則A與B相互獨立.(1)P(A·B)=P(A)·P(B)=×=.(2)P(·)=P()·P()=(1-)×(1-)=.(3)P=P(A·+·B)=P(A)·P()+P()·P(B)=×(1-)+(1-)×=.(4)P=1-P(A·B)=1-=.

要分清“互斥事件”與“相互獨立事件”的概念，以及“互斥”與“獨立”的概念.

如右圖所示，開關(guān)電路中，開關(guān)S1、S2、S3開或關(guān)的概率均為,且是相互獨立的,求燈亮的概率.

設(shè)事件A、B、C分別表示S1、S2、S3關(guān)閉，則S1、S2同時關(guān)閉或S3關(guān)閉時燈亮，即A·B·或

A·B·C或··C或·B·C或A··C發(fā)生,故P=P(A·B·

)+P(A·B·C)+P(··C)+P(·B·C)+P(A··C)=P(A)·P(B)·P()+P(A)·P(B)·P(C)+P()·P()·P(C)+P()·P(B)·P(C)+P(A)·P()·P(C)=5×()3=，即燈亮的概率為.

分類討論時要注意不重復(fù)不遺漏.1.求復(fù)雜的互斥事件的概率,一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分解成一些彼此互斥的事件的概率的和，分解后的每個事件概率的計算通常為等可能性事件的概率計算，這時應(yīng)注意事件是否互斥，是否完備；二是間接求解法,先求出此事