離散群和子群

離散群和子群第1頁，課件共12頁，創(chuàng)作于2023年2月.-吳揚(yáng)揚(yáng)制-2§8.1半群和獨(dú)異點(diǎn)

2.可交換獨(dú)異點(diǎn)的性質(zhì)定理8.1.1設(shè)<S,·,e>為可交換獨(dú)異點(diǎn)，T為S中所有冪等元的集合，則

〈T,·>是<S,·>的子獨(dú)異點(diǎn)。證明(1)·在T上封閉∵

a,bT,有a·a=a,b·b=b∴(a·b)·(a·b)=(a·a)·(b·b)交換性、結(jié)合性=a·b(2)eT

∵e·e=e∴e也是冪等元因此〈T,·>是<S,·>的子獨(dú)異點(diǎn)分析前面例題冪等性第2頁，課件共12頁，創(chuàng)作于2023年2月.-吳揚(yáng)揚(yáng)制-3§8.1半群和獨(dú)異點(diǎn)

3.半群同態(tài)（1）定義半群同態(tài)獨(dú)異點(diǎn)同態(tài)單位元映射到單位元例2：設(shè)A=<*,o,>,B=<N,+,0>

定義h:*→N,x*,h(x)=‖x‖(串的長度）∵x,y*,h(xoy)=‖xoy‖=‖x‖+‖y‖=h(x)+h(y)且h()=‖‖=0∴h是A到B的獨(dú)異點(diǎn)同態(tài)*分析<R,+>與<R+,>的同構(gòu)映射h:R→R+,h(x)=ex(xR)第3頁，課件共12頁，創(chuàng)作于2023年2月.-吳揚(yáng)揚(yáng)制-4§8.1半群和獨(dú)異點(diǎn)

3.半群同態(tài)（2）其中：fx：S→S，

yS,fx(y)=x*y性質(zhì)定理8.1.2半群<S，*>與<SS，o>同態(tài)。例3：半群<S,*>,其中，S={a,b,c},*運(yùn)算定義為：*abca

abcbbcaccab定義<{a,b,c}，*>到<SS，o>同態(tài)映射h:S→SS，

xS,h(x)=fx即h(a)=fah(b)=fbh(c)=fc其中,fa：S→S，fa(a)=a*a=a,fa(b)=a*b=b,fa(c)=a*c=cfb：S→S，fb(a)=b*a=b,fb(b)=b*b=c,fb(c)=b*c=afc：S→S，fc(a)=c*a=c,fc(b)=c*b=a,fc(c)=c*c=b第4頁，課件共12頁，創(chuàng)作于2023年2月.-吳揚(yáng)揚(yáng)制-5§8.1半群和獨(dú)異點(diǎn)

3.半群同態(tài)（3）

定理8.1.3任意獨(dú)異點(diǎn)都同構(gòu)于某一變換獨(dú)異點(diǎn)。即<S,*,e>必與<SS,o,Is>的某個子獨(dú)異點(diǎn)同構(gòu)。其中：fa：S→S，

bS,fa(b)=a*b∵a,bS,cS,∴h(a*b)=h(a)oh(b)fa*b(c)=(a*b)*c且faofb(c)=fa(fb(c))=fa(b*c)=a*(b*c)=(a*b)*c∴fa*b(c)=faofb(c)∴fa*b=faofb故h是從<S,*>到<S,o>的半群同態(tài)。證明定理8.1.2：半群<S，*>與<SS，o>同態(tài)。證定義h:S→SS,aS,h(a)=fa,第5頁，課件共12頁，創(chuàng)作于2023年2月.6

第八章半群和群

§8.2群的定義和性質(zhì)

1.基本概念群：設(shè)<G,·>為獨(dú)異點(diǎn)，如果

aG,a都可逆，則稱<G,·>為群。阿貝爾群：若群<G,·>中的二元運(yùn)算·是可交換的，則稱<G,·>為可交換群，也稱阿貝爾群。例1：分析下列系統(tǒng)：

A=<I,+>B=<(A),>C=<AA,o>D=<*,o>E=<N,+>第6頁，課件共12頁，創(chuàng)作于2023年2月.7§8.2群的定義和性質(zhì)

2.判定定理定理8.2.1設(shè)<G,·>為半群。若（1）有左單位元，即

elA,使得aG,有el·a=a

（2）每個元素有左逆元，即

aG

alG,使得al·a=el,則<G,·>是群。證明(1)aG

al是逆元.∵alG，∴

a’G，使a’·al=el.∴a·al=el·(a·al)=(a’·al)·(a·al)=a’·(al·a)·al=a’·el·al=a’·(el·al)=a’·al=el∴al是右逆元(2)el是單位元∵

aG,有a·el=a·(al·a)=(a·al)·a=el·a=a

∴el是右單位元第7頁，課件共12頁，創(chuàng)作于2023年2月.8§8.2半群和獨(dú)異點(diǎn)

3.群的性質(zhì)定理8.2.2設(shè)<G,·>為半群。若

a，bG,方程a·x=b和y·a=b在G中都有解，則

<G,·>是群。性質(zhì)：設(shè)<G,·>為群。則

a，bG,方程（a·b）-1=b-1·a-1;a，bG,方程a·x=b和y·a=b在G中有唯一解;<G,·>中消去律成立。證明：群<G,·>只有單位元素是唯一的冪等元素。證：顯然單位元素e·e=e，是冪等元素。假設(shè)aG是冪等元素，即a·a=a，于是a·a=a·e，由于<G,·>消去律成立，因此a=e。第8頁，課件共12頁，創(chuàng)作于2023年2月.9§8.2半群和獨(dú)異點(diǎn)

4.元素的階定義：設(shè)<G,·>為群，aG。若

nI+,an≠e,則稱a的階是無限的，否則an=e的最小正整數(shù)n為a的階。A的階也稱為a的周期，常用|a|表示。第9頁，課件共12頁，創(chuàng)作于2023年2月.10§8.3子群和群同態(tài)

1.子群定義8.3.1：子群和真子群的定義例8.3.1定理8.3.1定理8.3.2定理8.3.3定理8.3.4例8.3.2第10頁，課件共12頁，創(chuàng)作于2023年2月.11§8.3子群和群同態(tài)