歷年考研微積分(高數(shù))選擇題匯總2004

歷年考研微積分（高數(shù)）選擇題匯總（2004—2013年）（含答案和解析）（2013Ⅰ，1）已知，則下列正確的是（）（A） （B）（C） （D）【答案】（D）【分析】這是型未定式，使用洛必達(dá)則即可．或者熟記常見(jiàn)無(wú)窮小的馬克勞林公式則可快速解答．【詳解1】，所以，即．【詳解2】因?yàn)椋@然，當(dāng)然有．應(yīng)該選（D）．（2013Ⅰ，2）曲面在點(diǎn)的切平面方程為（）（A） （B）（C） （D）【答案】（A）【分析】此題考查的是空間曲面在點(diǎn)處的法向量及切平面的方程．其中法向量為．【詳解】設(shè)，則在點(diǎn)處，從而切平面方程為，即．應(yīng)該選（A）．（2013Ⅰ，3）設(shè)，，令，則（）（A） （B） （C） （D）【答案】（C）【分析】此題考查的是傅立葉級(jí)數(shù)的收斂性．【詳解】由條件可知，為的正弦級(jí)數(shù)，所以應(yīng)先把函數(shù)進(jìn)行奇延拓，由收斂定理可知也是周期為２的奇函數(shù)，故，應(yīng)選（C）．（2013Ⅰ，4）設(shè)，，，為四條逆時(shí)針?lè)较虻钠矫媲€，記，則（）（A） （B） （C） （D）【答案】（D）【分析】此題考查的是梅林公式和二重積分的計(jì)算．【詳解】由格林公式，．．所以，；在橢圓：上，二重積分最好使用廣義極坐標(biāo)計(jì)算：故，．顯然最大．故應(yīng)選（D）．（2013Ⅱ，1）設(shè)，其中，則當(dāng)時(shí)，是（）（A）比高階的無(wú)窮小 （B）比低階的無(wú)窮?。–）與同階但不等價(jià)的無(wú)窮小 （D）與等價(jià)的無(wú)窮小【答案】（C）（2013Ⅱ，2）設(shè)函數(shù)由方程確定，則（）（A）2 （B）1 （C） （D）【答案】（C）（2013Ⅱ，3）設(shè)函數(shù)，，則（）（A）是函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn) （B）是函數(shù)的可去間斷點(diǎn)（C）在處連續(xù)但不可導(dǎo) （D）在處可導(dǎo)【答案】（C）（2013Ⅱ，4）設(shè)函數(shù)，若反常積分收斂，則（）（A） （B） （C） （D）【答案】（D）（2013Ⅱ，5）設(shè)，其中函數(shù)可微，則（）（A） （B） （C） （D）【答案】（A）（2013Ⅱ6，Ⅲ3）設(shè)是圓域在第象限的部分，記，則（）（A） （B） （C） （D）【答案】（B）（2013Ⅲ，1）當(dāng)時(shí)，用表示比高階的無(wú)窮小，則下列式子中錯(cuò)誤的是（）（A） （B）（C） （D）【答案】（D）（2013Ⅲ，2）函數(shù)的可去間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】（C）（2013Ⅲ，4）設(shè)為正項(xiàng)數(shù)列，下列選項(xiàng)正確的是（）（A）若，則收斂（B）若收斂，則（C）若收斂，則存在常數(shù)，使存在（D）若存在常數(shù)，使存在，則收斂【答案】（D）（2012ⅠⅡⅢ，1）曲線漸近線的條數(shù)為（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】（C）【解析】，所以為垂直漸近線；，所以是水平漸近線，沒(méi)有斜漸近線，故有2條漸近線．（2012ⅠⅡⅢ，2）設(shè)函數(shù)，其中為正整數(shù)，則=（）（A） （B） （C） （D）【答案】（C）（2012Ⅰ，3）如果在處連續(xù)，那么下列命題正確的是（）（A）若極限存在，則在處可微（B）若極限存在，則在處可微（C）若在處可微，則極限存在（D）若在處可微，則極限存在【答案】（B）【解析】由于在處連續(xù)，可知如果存在，則必有．這樣就可以寫成，即極限存在，可知，也即．由可微的定義知在處可微．（2012Ⅱ，3）設(shè)，則數(shù)列有界是數(shù)列收斂的（）（A）充分必要條件 （B）充分非必要條件（C）必要非充分條件 （D）非充分也非必要【答案】（B）【解析】由于，是單調(diào)遞增的，可知當(dāng)數(shù)列有界時(shí)，收斂，也即是存在的，此時(shí)有，也即收斂．反之，收斂，卻不一定有界，例如令，顯然有收斂，但是無(wú)界的．故數(shù)列有界是數(shù)列收斂的充分非必要條件，選（B）．（2012Ⅲ，3）設(shè)函數(shù)連續(xù)，則二次積分=（）（A）（B）（C）（D）【答案】（B）【解析】由，可知積分區(qū)域在第一象限，由，可知故．（2012ⅠⅡ，4）設(shè)，則有（）（A） （B）（C） （D）【答案】（D）【解析】由于當(dāng)時(shí)，可知，也即，可知．又由于，對(duì)做變量代換得，故由于當(dāng)時(shí)，可知，也即，可知．綜上所述有．（2012Ⅲ，4）已知級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，條件收斂，則范圍為（）（A） （B）（C） （D）【答案】（D）【解析】由絕對(duì)收斂，即收斂，則有，即，由條件收斂，則有，即．綜上，．（2012Ⅱ，5）設(shè)函數(shù)為可微函數(shù)，且對(duì)任意的都有則使不等式成立的一個(gè)充分條件是（）（A） （B）（C） （D）【答案】（D）【解析】，表示函數(shù)關(guān)于變量是單調(diào)遞增的，關(guān)于變量是單調(diào)遞減的．因此，當(dāng)時(shí)，必有，故選（D）．（2012Ⅱ，6）設(shè)區(qū)域由曲線圍成，則（）（A） （B）2 （C） （D）【答案】（D）【解析】區(qū)域D如圖中陰影部分所示，為了便于討論，再引入曲線將區(qū)域分為四部分．由于關(guān)于軸對(duì)稱，可知在上關(guān)于的奇函數(shù)積分為零，故；又由于關(guān)于軸對(duì)稱，可知在上關(guān)于的奇函數(shù)為零，故．因此，故選（D）．（2011Ⅰ，1）曲線的拐點(diǎn)是（）（A） （B） （C） （D）【答案】（C）【考點(diǎn)分析】本題考查拐點(diǎn)的判斷．直接利用判斷拐點(diǎn)的必要條件和第二充分條件即可．【解析】由可知分別是的一、二、三、四重根，故由導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)之間的關(guān)系可知，，，，，故（3，0）是一拐點(diǎn)．（2011Ⅰ，2）設(shè)數(shù)列單調(diào)減少，且．無(wú)界，則冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋ǎˋ） （B） （C） （D）【答案】（C）【考點(diǎn)分析】本題考查冪級(jí)數(shù)的收斂域．主要涉及到收斂半徑的計(jì)算和常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的一些結(jié)論，綜合性較強(qiáng)．【解析】無(wú)界，說(shuō)明冪級(jí)數(shù)的收斂半徑；單調(diào)減少，，說(shuō)明級(jí)數(shù)收斂，可知冪級(jí)數(shù)的收斂半徑．因此，冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)間為．又由于時(shí)冪級(jí)數(shù)收斂，時(shí)冪級(jí)數(shù)發(fā)散．可知收斂域?yàn)椋?011Ⅰ，3）設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且．．則函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值的一個(gè)充分條件是（）（A） （B）（C） （D）【答案】（C）【考點(diǎn)分析】本題考查二元函數(shù)取極值的條件，直接套用二元函數(shù)取極值的充分條件即可．【解析】由知，，，．所以，，．要使得函數(shù)在點(diǎn)（0，0）處取得極小值，僅需，，所以有．（2011ⅠⅢ4，Ⅱ6）設(shè)，，．則的大小關(guān)系是（）（A） （B） （C） （D）【答案】（B）【考點(diǎn)分析】本題考查定積分的性質(zhì)，直接將比較定積分的大小轉(zhuǎn)化為比較對(duì)應(yīng)的被積函數(shù)的大小即可．【解析】時(shí)，，因此，故選（B）．（2011ⅡⅢ，1）已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)與是等價(jià)無(wú)窮小，則（）（A） （B）（C） （D）【答案】（C）【解析】．（2011ⅡⅢ，2）設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，且，則（）（A） （B）（C） （D）【答案】（B）【解析】．（2011Ⅱ，3）函數(shù)的駐點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】（C）（2011Ⅱ，4）微分方程的特解形式為（）（A）（B）（C）（D）【答案】（C）（2011Ⅱ，5）設(shè)函數(shù)，均有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，滿足，，，則函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值的一個(gè)充分條件是（）（A），（B），（C），（D），【答案】（A）（2011Ⅲ，3）設(shè)是數(shù)列，則下列命題正確的是（）（A）若收斂，則收斂（B）若收斂，則收斂（C）若收斂，則收斂（D）若收斂，則收斂【答案】（A）【解析】反例：（B）項(xiàng)，；（C）項(xiàng)，；（D）項(xiàng)，．（2010Ⅰ，1）極限（）（A）1 （B） （C） （D）【答案】（C）【解析】．（2010Ⅰ2，Ⅱ5）設(shè)函數(shù)由方程確定，其中為可微函數(shù)，且，則（）（A） （B） （C） （D）【答案】（B）【解析】?jī)蛇厡?duì)求偏導(dǎo)，得，解得；兩邊對(duì)求偏導(dǎo)，得，解得，于是．（2010Ⅰ3，Ⅱ4）設(shè)為正整數(shù)，則反常積分的收斂性（）（A）僅與取值有關(guān) （B）僅與取值有關(guān)（C）與取值都有關(guān) （D）與取值都無(wú)關(guān)【答案】（C）【解析】顯然廣義積分有兩個(gè)瑕點(diǎn)與，，顯然的收斂性與有關(guān)，當(dāng)時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散；的收斂性與有關(guān)．（2010Ⅰ4，Ⅱ6）（）（A） （B）（C） （D）【答案】（D）【解析】，因?yàn)?，，所以．?010Ⅱ，1）函數(shù)的無(wú)窮間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【答案】（B）（2010ⅡⅢ，2）設(shè)是一階線性非齊次微分方程的兩個(gè)特解，若常數(shù)使是該方程的解，是該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的解，則（）（A） （B）（C） （D）【答案】（A）【解析】根據(jù)已知有，，于是將和分別代入得，，是方程的解，是齊次方程的解，故有．（2010Ⅱ，3）曲線與曲線相切，則（）（A）4e （B）3e （C）2e （D）e【答案】（C）（2010Ⅲ，1）若，則等于（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】（C）【解析】．（2010Ⅲ，3）設(shè)函數(shù)，具有二階導(dǎo)數(shù)，且．若是的極值，則在取極大值的一個(gè)充分條件是（）（A） （B） （C） （D）【答案】（A）（2010Ⅲ，4）設(shè)，，，則當(dāng)充分大時(shí)有（）（A） （B）（C） （D）【答案】（C）【答案】，，故．（2009Ⅰ1，ⅡⅢ2）當(dāng)時(shí)，與等價(jià)無(wú)窮小，則（）（A） （B）（C） （D）【答案】（A）【解析】為等價(jià)無(wú)窮小，則，，故排除（B）、（C）．另外存在，蘊(yùn)含了故，排除（D）．所以本題選（A）．（2009Ⅰ，2）如圖，正方形被其對(duì)角線劃分為四個(gè)區(qū)域，，則（）-1-1-111（A） （B） （C） （D）【答案】（A）【解析】本題利用二重積分區(qū)域的對(duì)稱性及被積函數(shù)的奇偶性．兩區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱，而，即被積函數(shù)是關(guān)于的奇函數(shù)，所以；兩區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱，而，即被積函數(shù)是關(guān)于的偶函數(shù)，所以；．所以正確答案為（A）．（2009Ⅰ3，Ⅱ6，Ⅲ4）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的圖形為1-21-2O23-11則函數(shù)的圖形為（） O23O231-2-11O231-2-11（A） （B）O231O231-11O231-2-11（C） （D）【答案】（D）【解析】此題為定積分的應(yīng)用知識(shí)考核，由的圖形可見(jiàn)，其圖像與軸及軸、所圍的圖形的代數(shù)面積為所求函數(shù)，從而可得出幾個(gè)方面的特征：①時(shí)，，且單調(diào)遞減．②時(shí)，單調(diào)遞增．③時(shí)，為常函數(shù)．④時(shí)，為線性函數(shù)，單調(diào)遞增．⑤由于F（x）為連續(xù)函數(shù)結(jié)合這些特點(diǎn)，可見(jiàn)正確選項(xiàng)為（D）．（2009Ⅰ，4）設(shè)有兩個(gè)數(shù)列，若，則（）（A）當(dāng)收斂時(shí)，收斂 （B）當(dāng)發(fā)散時(shí)，發(fā)散（C）當(dāng)收斂時(shí)，收斂 （D）當(dāng)發(fā)散時(shí)，發(fā)散【答案】（C）【解析】方法一：舉反例．（A）??；（B）??；（D）取，故答案為（C）．方法二：因?yàn)閯t由定義可知使得時(shí)，有．又因?yàn)槭諗?，可得則由定義可知使得時(shí)，有．從而，當(dāng)時(shí)，有，則由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法可知收斂．（2009ⅡⅢ，1）函數(shù)的可去間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）無(wú)窮多個(gè)【答案】（C）【解析】，則當(dāng)取任何整數(shù)時(shí)，均無(wú)意義，故的間斷點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè)，但可去間斷點(diǎn)為極限存在的點(diǎn)，故應(yīng)是的解．故可去間斷點(diǎn)為3個(gè)，即．（2009Ⅱ，3）設(shè)函數(shù)的全微分為，則點(diǎn)（）（A）不是的連續(xù)點(diǎn) （B）不是的極值點(diǎn)（C）是的極大值點(diǎn) （D）是的極小值點(diǎn)【答案】（D）【解析】因可得，．又在處，，，故為函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn)．（2009Ⅱ，4）設(shè)函數(shù)連續(xù)，則（）（A） （B）（C） （D）【答案】（C）【解析】的積分區(qū)域?yàn)閮刹糠郑?，．將其寫成一塊，故二重積分可以表示為，故答案為（C）．（2009Ⅱ，5）若不變號(hào)，且曲線在點(diǎn)上的曲率圓為，則在區(qū)間內(nèi)（）（A）有極值點(diǎn)，無(wú)零點(diǎn) （B）無(wú)極值點(diǎn)，有零點(diǎn)（C）有極值點(diǎn)，有零點(diǎn) （D）無(wú)極值點(diǎn)，無(wú)零點(diǎn)【答案】（B）【解析】由題意可知，是一個(gè)凸函數(shù)，即，且在點(diǎn)處的曲率，而，由此可得，在上，，即單調(diào)減少，沒(méi)有極值點(diǎn)．對(duì)于，（拉格朗日中值定理）而由零點(diǎn)定理知，在上，有零點(diǎn)．故應(yīng)選（B）．（2009Ⅲ，3）使不等式成立的的范圍是（）（A） （B） （C） （D）【答案】（A）【解析】原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求成立時(shí)的取值范圍，由，時(shí)，知當(dāng)時(shí)，．故應(yīng)選（A）．（2009Ⅳ，1）在內(nèi)函數(shù)的可去間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】（D）【解析】，，是可去間斷點(diǎn)；，是可去間斷點(diǎn)．故共3個(gè)，選（D）．（2009Ⅳ，2）函數(shù)的單調(diào)增加圖形為凹的區(qū)間是（）（A） （B） （C） （D）【答案】（C）【解析】，，取交集得：，選（C）．（2009Ⅳ，3）函數(shù)的極值點(diǎn)為（）（A） （B） （C） （D）【答案】（A）【解析】因，令，得，又，故是極值點(diǎn)，選（A）．（2009Ⅳ，4）設(shè)區(qū)域，則在極坐標(biāo)下二重積分（）（A） （B）（C） （D）【答案】（B）【解析】原積分．（2008Ⅰ1）設(shè)函數(shù)，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】（B）【詳解】，，即是的一個(gè)零點(diǎn)，又，從而單調(diào)增加（），所以只有一個(gè)零點(diǎn)．（2008Ⅰ2）函數(shù)在點(diǎn)處的梯度等于（）（A） （B） （C） （D）【答案】（A）【詳解】因?yàn)?，，所以，，所以．?008ⅠⅡ3）在下列微分方程中，以（為任意常數(shù)）為通解的是（）（A） （B）（C） （D）【答案】（D）【詳解】由微分方程的通解中含有、、知齊次線性方程所對(duì)應(yīng)的特征方程有根，所以特征方程為，即．故以已知函數(shù)為通解的微分方程是．（2008Ⅰ4，Ⅱ5）設(shè)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)有界，為數(shù)列，下列命題正確的是（）（A）若收斂，則收斂 （B）若單調(diào)，則收斂（C）若收斂，則收斂 （D）若單調(diào)，則收斂【答案】（B）【詳解】因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)有界，且單調(diào)．所以單調(diào)且有界．故一定存在極限．（2008Ⅱ，1）設(shè)，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】（D）【詳解】因?yàn)椋闪_爾定理知至少有，使，所以至少有兩個(gè)零點(diǎn)．又中含有因子，故也是的零點(diǎn)，（D）正確．（2008ⅡⅢ2，Ⅳ4）曲線方程為函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則定積分表示的是（）（A）曲邊梯形ABOD面積． （B）梯形ABOD面積．（C）曲邊三角形面積． （D）三角形面積．【答案】（C）【詳解】，其中是矩形ABOC面積，為曲邊梯形ABOD的面積，所以為曲邊三角形的面積．（2008Ⅱ4，Ⅲ1，Ⅳ2）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則是函數(shù)的（）（A）跳躍間斷點(diǎn) （B）可去間斷點(diǎn) （C）無(wú)窮間斷點(diǎn) （D）振蕩間斷點(diǎn)【答案】（A）【詳解】時(shí)無(wú)定義，故是函數(shù)的間斷點(diǎn)．因?yàn)?，同理，又，所以是可去間斷點(diǎn)，是跳躍間斷點(diǎn)．（2008Ⅱ6，Ⅲ4）設(shè)函數(shù)連續(xù)，若，其中區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，則（）（A） （B） （C） （D）【答案】（A）【詳解】用極坐標(biāo)得，所以．（2008Ⅲ，3）已知，則（）（A），都存在 （B）不存在，存在（C）存在，不存在 （D），都不存在【答案】（B）【詳解】，，，故不存在．，故存在．（2008Ⅳ，1）設(shè)，則（）（A） （B） （C） （D）【答案】（B）【考點(diǎn)】考查冪指函數(shù)的極限．【解析】．（2008Ⅳ，3）設(shè)是連續(xù)的奇函數(shù)，是連續(xù)的偶函數(shù)，區(qū)域，則以下結(jié)論正確的是（）（A） （B）（C） （D）【答案】（A）【考點(diǎn)】考查利用對(duì)稱性求二重積分．【答案】（A）中區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱，是奇函數(shù)，被積函數(shù)對(duì)是奇函數(shù)，故．（2007ⅠⅡⅢⅣ，1）當(dāng)時(shí)，與等價(jià)的無(wú)窮小量是（）（A） （B） （C） （D）【分析】利用已知無(wú)窮小量的等價(jià)代換公式，盡量將四個(gè)選項(xiàng)先轉(zhuǎn)化為其等價(jià)無(wú)窮小量，再進(jìn)行比較分析找出正確答案．【詳解】當(dāng)時(shí)，有；；．用排除法知應(yīng)選（B）．（2007Ⅰ2，Ⅱ5，ⅢⅣ6）曲線的漸近線的條數(shù)為（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【分析】利用曲線的漸近線的求解公式求出水平漸近線，垂直漸近線和斜漸近線，然后判斷．【詳解】因?yàn)?，所以為垂直漸近線；又，所以為水平漸近線；進(jìn)一步，于是有斜漸近線，答案是（D）．【評(píng)注】本題為基本題型，應(yīng)熟練掌握曲線的水平漸近線，垂直漸近線和斜漸近線的求法．注意當(dāng)曲線存在水平漸近線時(shí)，斜漸近線不存在．本題要注意當(dāng)時(shí)的極限不同．（2007ⅠⅡⅢⅣ，3）如圖，連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周，設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（）（A） （B）（C） （D）【分析】本題考查定積分的幾何意義，應(yīng)注意f（x）在不同區(qū)間段上的符號(hào)，從而搞清楚相應(yīng)積分與面積的關(guān)系．【詳解】利用定積分的幾何意義，可得，，．所以，故選（C）．【評(píng)注】本題屬基本題型．本題利用定積分的幾何意義比較簡(jiǎn)便．（2007ⅠⅡ4，Ⅳ2）設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是（）（A）若存在，則 （B）若存在，則（C）若存在，則（D）若存在，則【分析】本題考查可導(dǎo)的極限定義及連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系．由于題設(shè)條件含有抽象函數(shù)，本題最簡(jiǎn)便的方法是用賦值法求解，即取符合題設(shè)條件的特殊函數(shù)去進(jìn)行判斷，然后選擇正確選項(xiàng)．【詳解】取，則，但在不可導(dǎo)，故選（D）．事實(shí)上，在（A）（B）兩項(xiàng)中，因?yàn)榉帜傅臉O限為0，所以分子的極限也必須為0，則可推得．在（C）中，存在，則，所以（C）項(xiàng)正確，故選（D）．【評(píng)注】對(duì)于題設(shè)條件含抽象函數(shù)或備選項(xiàng)為抽象函數(shù)形式結(jié)果以及數(shù)值型結(jié)果的選擇題，用賦值法求解往往能收到奇效．（2007Ⅰ5，Ⅱ6）設(shè)函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，令，則下列結(jié)論正確的是（）（A）若，則必收斂 （B）若，則必發(fā)散（C）若，則必收斂 （D）若，則必發(fā)散【答案】（D）【分析】本題依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷數(shù)列．由于含有抽象函數(shù)，利用賦值法舉反例更易得出結(jié)果．【詳解】取，，，而發(fā)散，則可排除（A）；取，，，而收斂，則可排除（B）；取，，，而發(fā)散，則可排除（C）；故選（D）．事實(shí)上，若，則．對(duì)任意，因?yàn)?，所以，?duì)任意，．【評(píng)注】對(duì)于含有抽象函數(shù)的問(wèn)題，通過(guò)舉符合題設(shè)條件的函數(shù)的反例可簡(jiǎn)化計(jì)算．（2007Ⅰ，6）設(shè)曲線（具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)），過(guò)第Ⅱ象限內(nèi)的點(diǎn)和第Ⅳ象限內(nèi)的點(diǎn)，為上從點(diǎn)到的一段弧，則下列小于零的是（）（A） （B）（C） （D）【答案】（B）【分析】直接計(jì)算出四個(gè)積分的值，從而可確定正確選項(xiàng)．【詳解】設(shè)．先把曲線方程代入積分表達(dá)式，再計(jì)算有：；；；．（2007Ⅱ，2）函數(shù)在上的第一類間斷點(diǎn)是（）（A）0 （B）1 （C） （D）【答案】（A）【分析】因?yàn)楹瘮?shù)為初等函數(shù)，則先找出函數(shù)的無(wú)定義點(diǎn)，再根據(jù)左右極限判斷間斷點(diǎn)的類型．【詳解】函數(shù)在均無(wú)意義，而；；．所以為函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)，故應(yīng)選（A）．【評(píng)注】本題為基礎(chǔ)題型．對(duì)初等函數(shù)來(lái)講，無(wú)定義點(diǎn)即為間斷點(diǎn)，然后再根據(jù)左右極限判斷間斷點(diǎn)的類型；對(duì)分段函數(shù)來(lái)講，每一分段支中的無(wú)定義點(diǎn)為間斷點(diǎn)，而分段點(diǎn)也可能為間斷點(diǎn)，然后求左右極限進(jìn)行判斷．（2007Ⅱ，7）二元函數(shù)在點(diǎn)處可微的一個(gè)充要條件是（）（A）（B）（C）（D）【答案】（C）【分析】本題考查二元函數(shù)可微的充分條件．利用可微的判定條件及可微與連續(xù)，偏導(dǎo)的關(guān)系．【詳解】本題也可用排除法，（A）是函數(shù)在連續(xù)的定義；（B）是函數(shù)在處偏導(dǎo)數(shù)存在的條件；（D）說(shuō)明一階偏導(dǎo)數(shù)存在，但不能推導(dǎo)出兩個(gè)一階偏導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)（0，0）處連續(xù)，所以（A）（B）（D）均不能保證在點(diǎn)處可微．故應(yīng)選（C）．事實(shí)上，由可得，即同理有從而=．根據(jù)可微的判定條件可知函數(shù)在點(diǎn)處可微，故應(yīng)選（C）．【評(píng)注】二元函數(shù)連續(xù)或偏導(dǎo)數(shù)存在均不能推出可微，只有當(dāng)一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)時(shí)，才可微．（2007Ⅱ8，ⅢⅣ4）設(shè)函數(shù)連續(xù)，則二次積分等于（）（A） （B）（C） （D）【分析】本題更換二次積分的積分次序，先根據(jù)二次積分確定積分區(qū)域，然后寫出新的二次積分．【詳解】由題設(shè)可知，，則，故應(yīng)選（B）．【評(píng)注】本題為基礎(chǔ)題型．畫圖更易看出．（2007Ⅲ，2）設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是（）（A）若存在，則（B）若存在，則（C）若存在，則存在（D）若存在，則存在【答案】（D）（2007ⅢⅣ，5）設(shè)某商品的需求函數(shù)為，其中分別表示需要量和價(jià)格，如果該商品需求彈性的絕對(duì)值等于1，則商品的價(jià)格是（）（A）10 （B）20 （C）30 （D）40【答案】（D）【分析】本題考查需求彈性的概念．【詳解】商品需求彈性的絕對(duì)值等于，故選（D）．【評(píng)注】需掌握經(jīng)濟(jì)中的邊際，彈性等概念．（2006ⅠⅡⅢⅣ，7）設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，為自變量在點(diǎn)處的增量，分別為在點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的增量與微分，若，則（）（A） （B）（C） （D）【分析】題設(shè)條件有明顯的幾何意義，用圖示法求解．【詳解】由知，函數(shù)單調(diào)增加，曲線凹向，作函數(shù)的圖形如右圖所示，顯然當(dāng)時(shí)，，故應(yīng)選（A）．（2006Ⅰ8，Ⅱ11）設(shè)為連續(xù)函數(shù)，則等于（）（A） （B）．（C） （D）【答案】（C）（2006ⅠⅢ，9）若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)（）（A）收斂 （B）收斂（C）收斂 （D）收斂【答案】（D）【分析】可以通過(guò)舉反例及級(jí)數(shù)的性質(zhì)來(lái)判定．【詳解】由收斂知收斂，所以級(jí)數(shù)收斂，故應(yīng)選（D）．或利用排除法：取，則可排除選項(xiàng)（A），（B）；取，則可排除選項(xiàng)（C）．故（D）項(xiàng)正確．（2006Ⅰ10，Ⅱ12，ⅢⅣ11）設(shè)與均為可微函數(shù)，且，已知是在約束條件下的一個(gè)極值點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是（）（A）若，則 （B）若，則（C）若，則 （D）若，則【答案】（D）【解析】令令代入（1）得．令．（2006Ⅱ，8）設(shè)是奇函數(shù)，除外處處連續(xù)，是其第一類間斷點(diǎn)，則是（）（A）連續(xù)的奇函數(shù) （B）連續(xù)的偶函數(shù)（C）在間斷的奇函數(shù) （D）在間斷的偶函數(shù)【答案】（B）（2006Ⅱ，9）設(shè)函數(shù)可微，，則等于（）（A） （B） （C） （D）【答案】（C）【解析】，，則．（2006Ⅱ，10）函數(shù)滿足的一個(gè)微分方程是（）（A） （B）（C） （D）【答案】（D）【解析】將函數(shù)代入答案中驗(yàn)證即可．（2006ⅢⅣ，8）設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，且，則（）（A）且存在 （B）且存在（C）且存在 （D）且存在【答案】（C）【分析】從入手計(jì)算，利用導(dǎo)數(shù)的左右導(dǎo)數(shù)定義判定的存在性．【詳解】由知，．又因?yàn)樵谔庍B續(xù)，則．令，則．所以存在，故本題選（C）．（2006ⅢⅣ，10）設(shè)非齊次線性微分方程有兩個(gè)不同的解，，為任何常數(shù)，則該方程通解是（）（A） （B）（C） （D）【答案】（B）【分析】利用一階線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)即可．【詳解】由于是對(duì)應(yīng)齊次線性微分方程的非零解，所以它的通解是，故原方程的通解為，故應(yīng)選（B）．【評(píng)注】本題屬基本題型，考查一階線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)：，其中是所給一階線性微分方程的特解，是對(duì)應(yīng)齊次微分方程的通解．（2006Ⅳ，9）設(shè)函數(shù)與在上連續(xù)，且，且對(duì)任何（）（A） （B）（C） （D）【答案】（D）（2005ⅠⅡ，7）設(shè)函數(shù)，則在內(nèi)（）（A）處處可導(dǎo) （B）恰有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)（C）恰有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn) （D）至少有三個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)【答案】（C）【分析】先求出的表達(dá)式，再討論其可導(dǎo)情形．【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即可見(jiàn)僅在時(shí)不可導(dǎo)，故應(yīng)選（C）．（2005ⅠⅡ，8）設(shè)是連續(xù)函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，“”表示“的充分必要條件是”，則必有（）（A）是偶函數(shù)是奇函數(shù) （B）是奇函數(shù)是偶函數(shù)（C）是周期函數(shù)是周期函數(shù)（D）是單調(diào)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)【答案】（A）【分析】本題可直接推證，但最簡(jiǎn)便的方法還是通過(guò)反例用排除法找到答案．【詳解】方法一：任一原函數(shù)可表示為，且當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，有，于是，即，也即，可見(jiàn)為奇函數(shù)；反過(guò)來(lái)，若為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)，從而為偶函數(shù)，可見(jiàn)（A）為正確選項(xiàng)．方法二：令，則取排除（B）、（C）；令，則取，排除（D）；故應(yīng)選（A）．（2005Ⅰ9，Ⅱ11）設(shè)函數(shù)，其中函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，具有一階導(dǎo)數(shù)，則必有（）（A） （B）（C） （D）【答案】（B）【分析】先分別求出、、，再比較答案即可．【詳解】因?yàn)?，，于是，，，可?jiàn)有，應(yīng)選（B）．（2005Ⅰ，10）設(shè)有三元方程，根據(jù)隱函數(shù)存在定理，存在點(diǎn)的一個(gè)鄰域，在此鄰域內(nèi)該方程（）（A）只能確定一個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)（B）可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)和（C）可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)和（D）可確定兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)和【答案】（D）【分析】本題考查隱函數(shù)存在定理，只需令，分別求出三個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，再考慮在點(diǎn)處哪個(gè)偏導(dǎo)數(shù)不為0，則可確定相應(yīng)的隱函數(shù)．【詳解】令，則，，，且，，．由此可確定相應(yīng)的隱函數(shù)和．故應(yīng)選（D）．（2005Ⅱ，9）設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程確定，則曲線在處的法線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（）（A） （B） （C） （D）【答案】（A）【分析】先由確定的取值，進(jìn)而求出在此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)及相應(yīng)的法線方程，從而可得所需的橫坐標(biāo)．【詳解】當(dāng)時(shí)，有，得（舍去，此時(shí)無(wú)意義），于是，可見(jiàn)過(guò)點(diǎn)（此時(shí)）的法線方程為：，令，得其與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．（2005Ⅱ，10）設(shè)區(qū)域，為D上的正值連續(xù)函數(shù)，為常數(shù)，則（）（A） （B） （C） （D）【答案】（D）【分析】由于未知的具體形式，直接化為用極坐標(biāo)計(jì)算顯然是困難的．本題可考慮用輪換對(duì)稱性．【詳解】由輪換對(duì)稱性，有==．（2005Ⅱ，12）設(shè)函數(shù)，則（）（A）都是的第一類間斷點(diǎn)（B）都是的第二類間斷點(diǎn)（C）是的第一類間斷點(diǎn)，是的第二類間斷點(diǎn)（D）是的第二類間斷點(diǎn)，是的第一類間斷點(diǎn)【答案】（D）【分析】顯然為間斷點(diǎn)，其分類主要考慮左右極限．【詳解】由于函數(shù)在點(diǎn)處無(wú)定義，因此是間斷點(diǎn)．且，所以為第二類間斷點(diǎn)；，，所以為第一類間斷點(diǎn)，故應(yīng)選（D）．（2005ⅢⅣ，7）當(dāng)取下列哪個(gè)值時(shí)，函數(shù)恰好有兩個(gè)不同的零點(diǎn)（）（A）2 （B）4 （C）6 （D）8【答案】（B）【分析】先求出可能極值點(diǎn)，再利用單調(diào)性與極值畫出函數(shù)對(duì)應(yīng)簡(jiǎn)單圖形進(jìn)行分析，當(dāng)恰好有一個(gè)極值為零時(shí)，函數(shù)恰好有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．【詳解】=，知可能極值點(diǎn)為，且，可見(jiàn)當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，故應(yīng)選（B）．（2005ⅢⅣ，8）設(shè)，，，其中，則（）（A） （B） （C） （D）【答案】（A）【分析】關(guān)鍵在于比較、與在區(qū)域上的大?。驹斀狻吭趨^(qū)域上，有，從而有由于在上為單調(diào)減函數(shù)，于是因此，故應(yīng)選（A）．（2005Ⅲ，9）設(shè)若發(fā)散，收斂，則下列結(jié)論正確的是（）（A）收斂，發(fā)散 （B）收斂，發(fā)散（C）收斂 （D）收斂【答案】（D）【分析】可通過(guò)反例用排除法找到正確答案．【詳解】取，則發(fā)散，收斂，但與均發(fā)散，排除（A），（B）選項(xiàng)，且發(fā)散，進(jìn)一步排除（C），故應(yīng)選（D）．事實(shí)上，級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列極限存在．（2005ⅢⅣ，10）設(shè)，下列命題中正確的是（）（A）是極大值，是極小值 （B）是極小值，是極大值（C）是極大值，也是極大值 （D）是極小值，也是極小值【答案】（B）【分析】先求出，再用取極值的充分條件判斷即可．【詳解】，顯然，又，且，故是極小值，是極大值，應(yīng)選（B）．（2005ⅢⅣ，11）以下四個(gè)命題中，正確的是（）（A）若在內(nèi)連續(xù)，則在內(nèi)有界（B）若在內(nèi)連續(xù)，則在內(nèi)有界（C）若在內(nèi)有界，則在內(nèi)有界（D）若在內(nèi)有界，則在內(nèi)有界【答案】（C）【分析】通過(guò)反例用排除法找到正確答案即可．【詳解】設(shè)，則及均在內(nèi)連續(xù)，但在內(nèi)無(wú)界，排除（A）、（B）；又在內(nèi)有界，但在內(nèi)無(wú)界，排除（D）．故應(yīng)選（C）．（2005Ⅳ，9）下列結(jié)論中正確的是（）（A）與都收斂 （B）與都發(fā)散（C）發(fā)散，收斂 （D）收斂，發(fā)散【答案】（D）【分析】直接計(jì)算相應(yīng)積分，判定其斂散性即可．【詳解】=，積分收斂，=，積分發(fā)散．故應(yīng)選（D）．（2004ⅠⅡ，7）把時(shí)的無(wú)窮小量，，排列起來(lái)，使排在后面的是前一個(gè)的高階無(wú)窮小，則正確的排列次序是（）（A） （B） （C） （D）【答案】（B）【分析】對(duì)與變限積分有關(guān)的極限問(wèn)題，一般可利用洛必塔法則實(shí)現(xiàn)對(duì)變限積分的求導(dǎo)并結(jié)合無(wú)窮小代換求解．【詳解】，即．又，即．從而按要求排列的順序?yàn)?，故選（B）．（2004Ⅰ8，Ⅱ10）設(shè)函數(shù)連續(xù)，且則存在，使得（）（A）在內(nèi)單調(diào)增加 （B）在內(nèi)單調(diào)減少（C）對(duì)任意的有 （D）對(duì)任意的有【答案】（C）【分析】函數(shù)只在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)大于零，一般不能推導(dǎo)出單調(diào)性，因此可排除（A）（B）選項(xiàng)，再利用導(dǎo)數(shù)的定義及極限的保號(hào)性進(jìn)行分析即可．【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義，知，根據(jù)保號(hào)性，知存在，當(dāng)時(shí)，有即當(dāng)時(shí)，；而當(dāng)時(shí)，有．故應(yīng)選（C）．【評(píng)注】題設(shè)函數(shù)一點(diǎn)可導(dǎo)，一般均應(yīng)聯(lián)想到用導(dǎo)數(shù)的定義進(jìn)行討論．（2004Ⅰ，9）設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）（A）若=0，則級(jí)數(shù)收斂（B）若存在非零常數(shù)，使得，則級(jí)數(shù)發(fā)散（C）若級(jí)數(shù)收斂，則（D）若級(jí)數(shù)發(fā)散，則存在非零常數(shù)，使得【答案】（B）【分析】對(duì)于斂散性的判定問(wèn)題，若不便直接推證，往往可用反例通過(guò)排除法找到正確選項(xiàng)．【詳解】取，則=0，但發(fā)散，排除（A），（D）；又取，則級(jí)數(shù)收斂，但，排除（C），故應(yīng)選（B）．【評(píng)注】本題也可用比較判別法的極限形式，，而級(jí)數(shù)發(fā)散，因此級(jí)數(shù)也發(fā)散，故應(yīng)選（B）．（2004Ⅰ，10）設(shè)為連續(xù)函數(shù)，，則等于（）（A） （B） （C） （D）0【答案】（B）【分析】先求導(dǎo)，再代入求即可．關(guān)鍵是求導(dǎo)前應(yīng)先交換積分次序，使得被積函數(shù)中不含有變量．【詳解】交換積分次序，得=于是，，從而有，故應(yīng)選（B）．【評(píng)注】在應(yīng)用變限的積分對(duì)變量求導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意被積函數(shù)中不能含有變量：否則，應(yīng)先通過(guò)恒等變形、變量代換和交換積分次序等將被積函數(shù)中的變量換到積分號(hào)外或積分線上．（2004Ⅱ，8）設(shè)，則（）（A）是的極值點(diǎn)，但不是曲線的拐點(diǎn)（B）不是的極值點(diǎn)，但是曲線的拐點(diǎn)（C）是的極值點(diǎn)，且是曲線的拐點(diǎn)（D）不是的極值點(diǎn)，也不是曲線的拐點(diǎn)【答案】（C）【分析】求分段函數(shù)的極值點(diǎn)與拐點(diǎn)，按要求只需討論兩方，的符號(hào)．【詳解】，，，從而時(shí)，凹，時(shí)，凸，于是為拐點(diǎn)．又，時(shí)，，從而為極小值點(diǎn)．所以，是極值點(diǎn)，是曲線的拐點(diǎn)，故選（C）．（2004Ⅱ，9）等于（）（A） （B）（C） （D）【答案】（B）【分析】將原極限變型，使其對(duì)應(yīng)一函數(shù)在一區(qū)間上的積分和式．作變換后，從四個(gè)選項(xiàng)中選出正確的．【詳解】故選（B）．（2004Ⅱ，11）微分方程的特解形式可設(shè)為（）（A）（B）（C）（D）【答案】（A）【分析】利用待定系數(shù)法確定二階常系數(shù)線性非齊次方程特解的形式．【詳解】對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為，特征根為，對(duì)而言，因0不是特征根，從而其特解形式可設(shè)為對(duì)，因?yàn)樘卣鞲?，從而其特解形式可設(shè)為從而的特解形式可設(shè)為（2004Ⅱ，12）設(shè)函數(shù)連續(xù)，區(qū)域，則等于（）（A） （B）（C） （D）【分析】將二重積分化為累次積分的方