北京市海淀區(qū)2021屆高三二模數(shù)學(xué)試題(含答案解析)

高三年級（數(shù)學(xué)）第高三年級（數(shù)學(xué)）第1頁（共6頁）高三年級（數(shù)學(xué)）第高三年級（數(shù)學(xué)）第1頁（共6頁）海淀區(qū)2020-2021學(xué)年第二學(xué)期期末練習(xí)高三數(shù)學(xué)2021.05本試卷共6頁，150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。⑴在平面直角坐標系xQy中，角&以O(shè)x為始邊，終邊經(jīng)過點（-3,4）,則cos0=43(A)y(B)|設(shè)aw7?.若(2+i)(a_i)=_l-3i,則a=(A)-l(B)-2己知a=0.3'5,^=log,50.3,c=1.50J,則(A)a<b<c(C)a<c<b34(C)嶺(D)W1(D)2(B)b<a<cb<c<a⑷己知F為拋物線/=4x的焦點，P（x”兒）是該拋物線上的一點?若|PF|>2,則(C)yoe(2,-kc)(B)2(D)?3(D)j0e(-oo,2)(A)1.5(C)45向量a,b,量，則（a十高三年級(數(shù)學(xué))第高三年級(數(shù)學(xué))第#頁(共6頁)(6)已知實數(shù)x,尹滿足x2+/+4jt-6^+12=0,則x的最大值是(A)3(B)2(C)-l(D)-3(A)3(B)2(C)-l(D)-3(7)己知指數(shù)函數(shù)=將函數(shù)/(x)的圖象上的每個點的橫坐標不變，縱坐標擴大為原來的3倍，得到函數(shù)g(x)的圖象，再將g(x)的圖象向右平移2個單位長度，所得圖象恰好與函數(shù)/W的圖象重合，則a的值是⑻己知正方體ABCD-A,BXCXDX(如圖1),點P在側(cè)面CDg內(nèi)(包括邊界)?若三棱錐B.-ABP的俯視圖為等腰直角三角形(如圖2),則此三棱錐的左視圖不可能是-4.D.圖1俯視09圖2(C)(D)-4.D.圖1俯視09圖2(C)(D)己知實數(shù)a9fi.ua+p=2k^keZ”是“sin(a協(xié))=sina+sin/?M的(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件已知函數(shù)/a)”；：：：；廣，若對于任意正數(shù)k,關(guān)于x的方程f{x)=k都恰有兩個不相等的實數(shù)根，則滿足條件的實數(shù)a的個數(shù)為(A)0(B)l(C)2(D)無數(shù)第二部分(非選擇題共110分)二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。TOC\o"1-5"\h\z已知數(shù)列｛“”｝滿足q=2,%i-2a”=0(力=1,2,..?)，則｛兔｝的前6項和為。已知(l+2x)"的展開式的二項式系數(shù)之和為16,則“二；各項系數(shù)之和為。(用數(shù)字作答)在厶ABC中，a=3,b=7,ZB=^~,則△4BC的面積為°已知雙曲線=l的左焦點為幾A,B為雙曲線M上的兩點，O為坐標原點若ab四邊形凡佔0為菱形，則雙曲線M的離心率為°普林斯頓大學(xué)的康威教授于1986年發(fā)現(xiàn)了一類有趣的數(shù)列并命名為“外觀數(shù)列”(Lookandsaysequence),該數(shù)列的后一項由前一項的外觀產(chǎn)生.以i(iwN,0909)為首項的“夕卜觀數(shù)列”記作Ai，其中出為1,11,21,1211,111221,…，即第一項為1,外觀上看是1個1,因此第二項為11；第二項外觀上看是2個1,因此第三項為21；第三項外觀上看是1個2,1個1,因此第四項為1211,按照相同的規(guī)則可得其它4,例如念為3,13,1113,3113,132113,…給出下列四個結(jié)論：若4的第介項記作心，4/的第”項記作b”，其中2<i<j<9,則VweN\an-bn^i-j:￡中存在一項，該項中某連續(xù)三個位置上均為數(shù)字3；勺的每一項中均不含數(shù)字4；對于k>2丿h1,4的第k項的首位數(shù)字與旳的第k+2項的首位數(shù)字相同°其中所有正確結(jié)論的序號是。高三年級(數(shù)學(xué))第高三年級(數(shù)學(xué))第5頁(共6殞)高三年級(數(shù)學(xué))第高三年級(數(shù)學(xué))第5頁(共6殞)高三年級(數(shù)學(xué))第高三年級(數(shù)學(xué))第4貢(共6頁)三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程o(本小題共14分)如圖，在三棱錐P-ABC中，BC丄AC9BC丄PC/C=BC=6,P4=PC=5,D,E分別是/C,PC的中點.求證：平面刃C丄平［EUBC；求二面角A—DE—B的余弦值(17)(本小題共14分)己知函數(shù)/(x)=Asin(a)x+?)(/>0,°>0,)的部分圖象如圖所示。直接寫出血的值；再從條件①、條件②中選擇一個作為己知，求函數(shù)/(x)在區(qū)間［.誇，彳上的最小值。條件①：直線.丫=舊為函數(shù)y=/(x)的圖象的一條對稱軸;條件②：(彳,o］為函數(shù)y=f(x)的圖象的一個對稱中心(18)(本小題共14分)為迎接2022年北京冬季奧運會,普及冬奧知識，某地區(qū)小學(xué)聯(lián)合開展了“冰雪答題王”冬奧知識競賽活動.現(xiàn)從參加該活動的學(xué)生中隨機抽取了30名學(xué)生，將他們的競賽成績(單位：分)用莖葉圖記錄如下：男女58806699857056668887641866862219588(I)從該地區(qū)參加該活動的男生中隨機抽取1人，估計該男生的競賽成績在90分以上的概率；從該地區(qū)參加該活動的全體男生中隨機抽取2人，全體女生中隨機抽取2人，估計這4人中男生競賽成績在90分以上的人數(shù)比女生競賽成績在90分以上的人數(shù)多的概率;為便于普及冬奧知識，現(xiàn)從該地區(qū)某所小學(xué)參加冬奧知識競賽活動的學(xué)生中隨機選取10名男生、10名女生作為冬奧宜傳志愿者.記這10名男生競賽成績的平均數(shù)為H，這10名女生競賽成績的平均數(shù)為“2,能否認為“＞血，說明理由.數(shù)學(xué)答案第數(shù)學(xué)答案第1頁(共10頁)數(shù)學(xué)答案第數(shù)學(xué)答案第1頁(共10頁)高三年級(數(shù)學(xué))第高三年級(數(shù)學(xué))第6頁(共6頁)(本小題共14分)橢圓C：4+4=1(fl>b>0)的左、右焦點分別為匚F2、E是橢圓C上一點，且a"d閃用=2,|E用+|碼|=4.求橢圓C的方程；M,N是y軸上的兩個動點(點M與點E位于x軸的兩側(cè))，ZMF’N=3EN=90。,直線EM交x軸于點P,求罔的值.網(wǎng)(本小題共15分)己知函數(shù)/(x)=x-alnx.(I)求曲線y=/(x)在點(1,/(1))處的切線方程；求/(“)的單調(diào)區(qū)間：若關(guān)于x的方程x-^lnx=0有兩個不相等的實數(shù)根，記較小的實數(shù)根為/求證:(本小題共14分)已知有限集X,Y,定義集合X-Y={x\xeX,且xeY},兇表示集合X中的元素個數(shù)。若X={1,2,3,4}#={3,4,5},求集合X-y和Y-X,以及\(X-Y)<J(Y-列的值；給定正整數(shù)n，集合S={1,2,…,n}對于實數(shù)集的非空有限子集A,B,定義集合C={x|x=a+b,awA,beB]求證：|/l-S|+0-S|+|S-C|ni：求|P_s)<j(s-/)+|(b_s2(s-b)||+|(c_s2(s_c)|的最小值。海淀區(qū)2020-2021學(xué)年第二學(xué)期期末練習(xí)高三數(shù)學(xué)參考答案2021.05一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。題號(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)<9)(10)答案CABBDCDDAB二填空題共5小題，每小題5分，共25分。題號(11)(12)(13)(14)(15)答案12648115^3473+1@@@三、解答題共6小題，共85分。(16)(本小題共14分)<I)因為BQ丄PC,4C丄BC■ACHPC=C9/Cu平面PAC,PCu平面P/1C,所以BC丄平面P4C.又因為ECu平面ABCf所以平而丄平面PAC.(II)連結(jié)PD,因為PA=PC,D是>4C的中點，所以AD=DC,PD丄AC?過C作CH//M,則Q7丄AC.因為BC丄平面PAC,CMu平面PAC,所以BC1CH?又BC丄AC,如圖，以C為原點，分別以CB,CA,C77所在直線為x軸，卩軸，z軸建立空間直角坐標系C-艸.因為AC=6、PC=5,所以PD=4.因為BC=6?所以C(0,0,0),8(6,0,0),J(0,6,0),儀0,3,0),P(0,3,4).因為E是PC的中點，數(shù)學(xué)答親第數(shù)學(xué)答親第2頁(共10頁)數(shù)學(xué)答親第數(shù)學(xué)答親第2頁(共10頁)3所以E（0邁,2）.所以反=（0,弓2）,DB=（6-3,0）.-尹+2z=0,6x-3j=0?-尹+2z=0,6x-3j=0?yDE?m=0,則一眄yDB?n=0,令x=—2?貝9丿=,z二一3?所以w=(-2,-4-3).由(I)可得：BC丄平面刃C.取平面ADE的一個法向量為用=(1.0,0)?m-n一22>/29所以cos<m.tt>===所以\nt\\n\lxa/2929所以二面角—的余弦值為-瞬(17)(本小題共14分)解：（I）q=2?(II)選擇條件①因為直線x=詈為函數(shù)y=f(x)的圖象的一條對稱軸,所以當x=時，2x晉+0=弓+2點兀，AgZ,即（p=—+2kntkeZ?3因為|^|<|,所以卩專.因為y（o）=>/3,所以Jsin—=Jx=-J3.32所以A=2.所以/（x）=2sin（2x+1）.敦學(xué)答案第敦學(xué)答案第4頁(共10頁)敦學(xué)答案第敦學(xué)答案第4頁(共10頁)因為當X€［~,^i時，2x+*E，竿］.124366所以當2x+-=-或竺時，即當%=--或色時,366124/（X）取到最小值，最小值為/■（-誇）=疋）=1.選擇條件②因為（韋,0）為函數(shù)尸/（X）的圖象的一個對稱中心,所以當x=—時，2x—+<p=兀+2knrke.Z,33即（p=—+2kn,XreZ.3因為I^|<y?所以?峙.因為/（0）=的，所以Jsin—=Ax—=TOC\o"1-5"\h\z32所以A=2.所以/（x）=2sin（2x+^）.因為當口-黑］時，2x+*$,乎］,124366所以當2x+￡#或牛時，即當“-鳥或?時，366124/⑴取到最小值，最小值為/（-$）=/（弓）=1?124（18）（本小題共14分）解：（I）由莖葉圖可知，隨機抽取的30名學(xué)生中男生有15名，其中競賽成績在90分以上的學(xué)生有5名.所以隨機抽取的15名男生中競賽成績在90分以上的頻率為=|?所以從該地區(qū)參加該活動的男生中隨機抽取1人,該男生的競賽成績在90分以上的概率估計為*.（II）記4（/=1,2）表示“第j名男生的競賽成績在90分以上”，5y（j=1,2）表示“第

數(shù)學(xué)答案第3貝（共10頁〉丿名女生的競賽成績在90分以上”，C表示"4人中男生競賽成績在90分以上的人數(shù)比女生競賽成績在90分以上的人數(shù)多”.同(I),從該地區(qū)參加該活動的女生中隨機抽取1人，該女生競賽成績在90分以上的概率估計為詈則P(C)=P^AyA2BxB2+442嗎坊+A{A2B}B2+44z〃i盡)=p(4)p(4)p(可p(瓦)+尸(4)卩仏)鞏即卩(瓦)+p(4)p仏)p(瓦卩(禺)+p(可p(4)p(瓦)p(瓦)+p(4)p(可p(瓦)p(石)11“1、c1、111“1、11“1、1=-x-x(l--)x(1——)+-x-x-x(l——)+_x-x(l--)x-335，533553355+(1_1)X1X(1_1)X{1_1)+1X(1_1)X(1_I)X(1-1)_88"225*(III)參考答案：不能確定是否有妙＞4?上述10名男生，10名女生競賽成績的數(shù)據(jù)是隨機的，所以是隨機的?所以不能確定是否有“>“2?(19)(本小題共14分)r2c=2,解：(I)由題意知：2*4,a^b^c2?解得嚴：[b=*.所以橢圓c的方程為4+4=i-43(II)設(shè)M(09m),N(0/),%%)?由(I)可知￡(70),耳(1,0).因為如F、N=9$,所以F{M?FtN=0,即(l^m)-(l,n)=1+=0.所以mn=-1?又因為Z^V=90°,所以ME?NE=0,即(兀J。-加)?(Xo』o-")=x：+允十(丄-〃吹-1=0.m數(shù)學(xué)答案第數(shù)學(xué)答案第6頁(共10頁)數(shù)學(xué)答案第數(shù)學(xué)答案第6頁(共10頁)敎爭答案第敎爭答案第5頁(共10頁)又因為所以4—所以4—釵+此+―譏亠0.所以仇-2)(兒+3〃】)=0?3m所以=—或刃)=-3加?m因為點M與點E位于x軸的兩側(cè)，即幾與加異號,1陽=M\PMrm所以兒=一31陽=M\PMrm(20)(本小題共15分)解：(I)因為/(x)=x-alnxF所以/'(x)=l--?X所以/'(l)=l-a.又因為/(1)=1,所以曲線y=/(x)在點(1,/(1))處的切線方程為y-l=(l-a)(x-l),即y=(l-a)x+a.(ID/(x)的定義域為(0,心)./W=l—=——■xx當*0時，八x)>0,所以/⑴的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,4CO).當a>0時，令f(x)=0,得/?與/(x)在區(qū)間(0,亦)上的情況如下:X(0<)aa+8)八X)——0+/?極小值所以/co的單調(diào)遞減區(qū)間為(0衛(wèi))，單調(diào)遞增區(qū)間為@,燉).(III)由(II)知：當必0時，/(X)在(0,杉)上單調(diào)遞增.所以/(%)=o至多有一個實根，不符合題懣.當a>0時，/⑴在(0衛(wèi))上單調(diào)遞減，在(a,收)上單調(diào)遞增.所以/(x)的最小值為f(a)=a-a\na.若/(a)20,則/(x)>0,所以f(x)=0至多有一個實根，不符合題意.若/(a)<0,即a-alna<0,得a>e.又/(1)=1>0,且/(x)在(0衛(wèi))上單調(diào)遞減，所以/(x)在(0,a)上有唯一零點.因為方程x-?lnx=O有兩個不相等的實數(shù)根，且較小的實數(shù)根為勺，所以/(x)在(0,a)上的唯一零點就是可.方法一：所以x0-alnx0=0,xoe(1,?).所以a=o.Inx。所以—等價于“(浮-一1)勺>嚴_”，即x0-lnx0>l.InxQInx0由(II)知，當a=l時，f(x)=x-\nx的最小值為/(I)=1.又因為必工1，所以x0-lnjr0>l.所以(fl-l)x0>a.方法二：“@_1)勺>4”等價于“勺>-^/■a—1數(shù)學(xué)答案第數(shù)學(xué)答案第8頁（共10頁）數(shù)學(xué)答案第數(shù)學(xué)答案第9頁（共10頁）?a-a+2a-a(a-2)八又a==<0,。一1a-}a-1所以一牛<。?a-1因為/⑴在(0衛(wèi))上單調(diào)遞減，所以—”等價于"/g)v/(—牛)”，Q-lfl-1即/(—)=—--aln—>0.(*)a-lq-1a-l因為a>c,令/=￡,則/>1，Q=厶.0-1Z-1即(*)等價于/一一lnZ>0,即z-l-lnr>0.r—1所以“仗一1)勺>0”等價于“—1一12>0”.令=>f>1?所以g'(f)=l-*=年.當el時，gV)>o,所以g(/)在(1,艸)上單調(diào)遞增.所以g(f)>g(l)，而g(l)=0.所以r-1-lnz>0成立.所以(a-l)x0>a.(21)(木小題共14分)解：(I)無-Y={1,2},Y-X={5},|(X-Y)Ua-X)|=3?(II)①顯然|%|>0.若At)B中含有一個不在S中的元素，則M-S|+0-S|ni,即M-s|+|B-s|+|s-qni?若/fcS,且BuS,則/-S|=|〃-S|=O.數(shù)學(xué)答案第7頁(共10頁)此時/中最小的元素a>l,E中最