第一章第一節(jié)逆序數(shù)全排列對換

第一章第一節(jié)逆序數(shù)全排列對換第1頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月

第一章行列式§1–2§1–3§1–1

全排列、逆序數(shù)與對換2第一章行列式§1–4§1–5線性代數(shù)第2頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)

全排列、逆序數(shù)與對換二、三階行列式三、小結(jié)、思考題一、引例3第一章行列式線性代數(shù)第3頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月引例用1、2、3三個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解123123百位3種放法十位1231個位1232種放法1種放法種放法.共有這個問題相當(dāng)于把三個數(shù)字分別放在百位、十位、與個位上，有幾種不同的方法？4第一章行列式線性代數(shù)第4頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月把3個不同的元素排成一列，共有幾種不同的排法？

對于n個不同的元素，也可以提出類似的問題。5第一章行列式線性代數(shù)第5頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月定義

個不同的元素的所有排列的種數(shù)，通常用表示.由引例把n個不同的元素排成一列，叫做這n個元素的全排列（也簡稱排列）.6第一章行列式線性代數(shù)第6頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月7第一章行列式線性代數(shù)第7頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月

對于n個不同的元素，若規(guī)定各元素之間有一個標(biāo)準(zhǔn)次序,通常對n個不同的自然數(shù)，我們選定1，2，3，…，n，即按由小到大排列起來的排列叫標(biāo)準(zhǔn)排列.定義在一個排列中，如果一對數(shù)的前后位置與大小順序相反，即前面的數(shù)大于后面的數(shù)，那么它們就稱為一個逆序.

一個排列中所有逆序的總數(shù)稱此排列的逆序數(shù).逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列;逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.8第一章行列式線性代數(shù)第8頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月下面來討論計算排列的逆序數(shù)的方法9第一章行列式線性代數(shù)第9頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月例1求排列32514的逆序數(shù).解在排列32514中,3排在首位,逆序數(shù)為0;

2的前面比2大的數(shù)只有一個3,故逆序數(shù)為1;5是最大數(shù),其逆序數(shù)為0;1的前面比1大的數(shù)有3個,故逆序數(shù)為3;4的前面比4大的數(shù)有1個,故逆序數(shù)為1;于是排列32514的逆序數(shù)為10第一章行列式線性代數(shù)第10頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月定義把一個排列中任意兩個元素的位置互換，而其余的元素不動，就得到另一個排列，這樣一個變換叫做對換．將相鄰兩個元素對換，叫做相鄰對換．經(jīng)過1，2對換，排列2431就變成了1432；例如，排列2134就變成了1234。11第一章行列式線性代數(shù)第11頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月定理1

一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性．證明先證相鄰對換的情形，設(shè)排列為對換與

顯然，在排列（1）中，a,b與其它元素構(gòu)成逆序，12第一章行列式線性代數(shù)

則在排列（2）中仍然構(gòu)成逆序，

如不構(gòu)成逆序則在（2）中也不構(gòu)成逆序；第12頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月因此，對于相鄰對換的情形，定理是對的。如果原來a,b組成逆序，那么經(jīng)過對換，逆序數(shù)就減少一個；如果原來a,b

不組成逆序，那么經(jīng)過換，逆序數(shù)就增加一個.

無論是增加1還是減少1，排列的逆序數(shù)的奇偶性總是變了.13第一章行列式線性代數(shù)不同的只是a,b的次序。第13頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月經(jīng)過對換，再證一般對換的情形設(shè)排列為排列（3）變?yōu)?/p>

不難看出，這樣一個對換可以經(jīng)過一系列相鄰對換來實現(xiàn)。14第一章行列式線性代數(shù)第14頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月

次相鄰對換次相鄰對換次相鄰對換2m+1是奇數(shù)，相鄰對換改變排列的奇偶性，故這兩個排列的奇偶性相反.15第一章行列式線性代數(shù)第15頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月推論奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，證明

由定理1知對換的次