基于標準正交基的隨機過程展開方法

基于標準正交基的隨機過程展開方法

在自然界中，大多數(shù)設計結構的外部負荷不僅隨著時間的推移而變化（動態(tài)特性），而且由于時間的推移而發(fā)生了顯著的隨機。從現(xiàn)象上看，這種隨機性是，在相同條件下，根據(jù)時間的推移，測量的動態(tài)載荷的過程曲線是不同的。每個具體的時間曲線對應于隨機過程的隨機抽樣曲線。為了描述隨機載荷的方法，通常被稱為隨機激勵模型法。例如，地震作用于結構平面的地面運動加速度模型，矩陣或矩陣用于結構表面的風壓模型，以及影響結構表面波浪的海拔高度模型。在隨機激勵模型中，一般使用參數(shù)譜密度函數(shù)來描述地震工程中的kanai-tolim譜、風工程中的daven濤譜和海洋工程中的pierson-morrisil譜。事實上，隨機過程中的功率譜密度本質(zhì)上是經(jīng)驗相關結構的一部分。對于具體的物理問題，有必要假定這個問題是否成熟。對于隨機過程,Karhunen-Loeve(K-L)分解提供了從獨立隨機變量集會的角度研究隨機過程的可能性.K-L分解在本質(zhì)上屬于一類本征正交分解(properorthogonaldecomposition,POD)方法,它常與主成分分析(principalcomponentanalysis,PCA)和奇異值分解(singularvaluedecomposition,SVD)等有著密切的聯(lián)系.其基本思想在于把隨機過程描述為一列由互不相關的隨機系數(shù)(主成分)所調(diào)制的確定性函數(shù)(正交模態(tài))的線性組合形式.對于具體的物理過程,往往僅需少量的展開項就可以把握隨機過程的主要能量相干結構,同時,每個主模態(tài)與物理現(xiàn)象的主要機理之間經(jīng)常還存在著某種聯(lián)系.然而,在實際問題中,由于求解Fredholm積分方程的困難,往往事先將隨機過程離散后再展開,這給誤差分析帶來了困難.文獻提出了用小波伽遼金方法來實施對隨機過程的K-L展開,并與K-L展開作了比較.在隨機場的展開中,人們也相繼提出了級數(shù)展開法、投影展開法等.基于上述分析,筆者建議一類基于標準正交基的隨機過程展開方法.該方法在形式上等價于K-L分解,在取相同展開項數(shù)時,其均方誤差接近于K-L分解,但可以避免求解Fredholm積分方程的困難,是一種有效的隨機過程展開方法.1隨機向量c的標準正交展開不失一般性,對于連續(xù)實隨機過程{X(t),0<t<T},均假設其均值函數(shù)為零,即E[X(t)]=0.此時,隨機過程的協(xié)方差函數(shù)與自相關函數(shù)相同,即互不相關與正交等價.以下不再加以區(qū)別.設連續(xù)實隨機過程{X(t),0<t<T}是二階矩過程,則它在實的標準正交基{?i(t)}上可展開為X(t)=∞∑k=1ck?k(t)(1)顯然,展開系數(shù)ck(k=1,2,…)是隨機變量,且ck=∫Τ0X(t)??k(t)dt(2)通常,對于式(1)取有限項作為其近似,即?X(t)=Ν∑k=1ck?k(t)(3)此時,由于近似引起的均方絕對誤差為ε1=E{∫Τ0[X(t)-?X(t)]2dt}=∞∑k=Ν+1E[c2k]=∫Τ0E[X2(t)]dt-Ν∑j=1E[c2j](4)注意到E[X(t)]=0,故E[ck]=0,(k=1,2,…).由式(2)知:E[cicj]=E{∫Τ0X(t1)?i(t1)dt1∫Τ0X(t2)?j(t2)dt2}=∫Τ0∫Τ0ΚX(t1,t2)?i(t1)?j(t2)dt1dt2=ρij(i,j=1,2,??Ν)(5)式中,KX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)],為隨機過程X(t)的自相關函數(shù).記相關矩陣R為R=(ρij)Ν×Ν(6)顯然,矩陣R為實對稱矩陣.記隨機向量C=[c1,c2,…,cN]T.注意到隨機變量cj是一組相關的隨機變量,采用隨機向量相關結構的分解方法可將隨機向量C用一組標準正交隨機變量ξj(j=1,2,…,N)表示C=Ν∑j=1Φj√λjξj(7)其中,λj與Φj分別為相關矩陣R的特征值與標準特征向量,可由下式求解:RΦj=λjΦj(8)由式(7)可知ci=Ν∑j=1√λjξjφji(i=1?2,?,Ν)(9)式中,φji是特征向量Φj的第i個元素.把式(9)代入式(3)得?X(t)=Ν∑k=1Ν∑j=1√λjξjφjk?k(t)=Ν∑j=1√λjξjfj(t)(10)式中,fj(t)=Ν∑k=1φjk?k(t).容易證明,{fj(t),j=1,2,…,N}是一組標準正交函數(shù)∫Τ0fi(t)fj(t)dt=Ν∑k=1φjkφik=ΦΤiΦj=δij顯然,當N→∞時,有X(t)=∞∑j=1√λjξjfj(t)(11)此時,隨機過程的自相關函數(shù)可分解為ΚX(t1,t2)=∞∑j=1λjfj(t1)fj(t2)(12)式(11)稱為基于標準正交基的隨機過程正交展開.顯然,這類正交展開具有與K-L分解相類似的表達式.對于一般的非零均值隨機過程,則有X(t)=X0(t)+∞∑j=1√λjξjfj(t)(13)在實際問題中,通常用自最大特征值依次降低的前幾階特征值相應的隨機變量即可反映隨機過程的主要概率特征,因此,可在式(10)中取前r項(r?N),由此可得到一個縮減的標準正交隨機變量組(j=1,2,…,r).此時,式(10)化為～X(t)=r∑j=1√λjξjfj(t)(14)相應地,自相關函數(shù)的近似分解為～ΚX(t1,t2)=r∑j=1λjfj(t1)fj(t2)(15)則式(14)相對于式(10)的均方絕對誤差為ε2=E{∫Τ0[?X(t)-～X(t)]2dt}=Ν∑j=r+1λj(16)由此,可以得到均方絕對誤差為ε=E{∫Τ0[X(t)-～X(t)]2dt}=E{∫Τ0[(X(Τ)-?X(t))+(?X(t)-～X(t))]2dt}=ε1+ε2(17)均方相對誤差為δ=ε1+ε2∫Τ0E[X2(t)]dt=ε1+ε2∫Τ0ΚX(t,t)dt(18)對于平穩(wěn)隨機過程,則δ=ε1+ε2ΚX(0)?Τ(19)顯然,該方法也能適用于隨機場的正交展開.通過比較K-L分解法、投影展開法以及本文建議的基于標準正交基的展開法,可以發(fā)現(xiàn)三者的區(qū)別與聯(lián)系:為了使展開的隨機過程各分量所含信息正交,K-L分解法預先要求展開函數(shù)集{?j(t)}是正交歸一化的,但不指定具體形式,同時還要求展開系數(shù)cj相互正交;投影展開法是預先構造一組標準正交隨機變量(即要求{cj}是正交歸一化),而對{?j(t)}事先不作要求;本文建議的基于標準正交基的展開法則是預先指定{?j(t)}的具體形式,且要求它們是完備的歸一化正交函數(shù)集(即標準正交基),對展開系數(shù)cj,則在后續(xù)處理中通過隨機向量的相關分解實施正交化的.從展開的結果來看,K-L分解法是最小均方誤差意義上的一種最佳展開方法;基于標準正交基的展開法等價于K-L分解法;而投影展開法,雖然特征值越大越能反映隨機場的主要概率特征,但在誤差分析時,精度反而越差.2計算和分析2.1隨機地震動加速度的隨機過程(1)設X(t)(0<t<T)為一有限帶寬白噪聲隨機過程,其均值函數(shù)為零,功率譜密度函數(shù)為SX(ω)(單邊功率譜),即SX(ω)={S0?0≤ω1≤ω≤ω20?其他式中:S0為常數(shù),cm2·s-3;ω1,ω2為任意非零常數(shù),rad·s-1.則自相關函數(shù)為RX(τ)=2S0τcos(ω1+ω22)τ?sin(ω2-ω12)τ為計算方便,取ω1=0.選用完備的歸一化三角函數(shù)集作為標準正交基,計算結果(見圖1)表明,在時間T一定時,反映隨機過程主要概率特征所需獨立隨機變量的個數(shù)與帶寬Δω=ω2-ω1幾乎成線性關系.Δω越小,則所需獨立隨機變量越少.同時,持續(xù)時間T對所需獨立隨機變量個數(shù)影響也很大(該例中也幾乎成線性關系).在時間T=20s,ω1=0,Δω=0.5πrad·s-1時,則用8個左右的獨立隨機變量即可很好地描述該隨機過程的主要概率特征.(2)設平穩(wěn)隨機地震動加速度過程為X(t),其持續(xù)時間為Ts,功率譜為Kanai-Tajimi譜(單邊功率譜),即SX(ω)=1+4ζ2g(ω/ωg)2[1-(ω/ωg)2]2+4ζ2g(ω/ωg)2S0(20)式中:ωg和ζg分別為場地土的卓越圓頻率和阻尼比;S0為譜強度因子.令—ω=ω/ωg,則式(20)為S—X(—ω)=1+4ζ2g—ω2(1-—ω2)2+4ζ2g—ω2S0(21)其對應的自相關函數(shù)為R—X(—τ)=—R—X(0)?exp(-—a|—τ|)?[cos(—β—τ)+μsin(—β|—τ|)]其中,—β=√1-ζ2g?μ=1-4ζ2g1+4ζ2g?ζg√1-ζ2g,—a=ζg,—R—X(0)=π(1+4ζ2g)4ζgS0.容易證明,以Kanai-Tajimi譜為功率譜的地震動加速度隨機過程X(t)在持續(xù)時間為Ts上的正交展開,可化為以式(21)為功率譜的隨機過程—X(t)在區(qū)間為(0,—Τ)上的正交展開.且有—Τ=ωgΤs(22)表1給出了在標準正交基為歸一化的三角函數(shù)集取不同的—Τ?ζg時,所需隨機變量個數(shù)的情況.從表1可知,所需獨立隨機變量的個數(shù)取決于—Τ與場地土的阻尼比ζg;—Τ越大,所需獨立隨機變量的個數(shù)越多.2.2隨著機場的正交啟動(1)已知，機場uxaxa的相應功能為ΚU(x1,x2,ω)=exp{-[ω10000(x1-x2)]2}選擇完整的歸一化三角函數(shù)作為參考正交基?n(x)={1√2a,1√acosnπxa,1√asinnπxa,n=1,2,?}選擇一個完整的歸一化來表示正交的參考?n(x)=√2n+12aΡnxa?n=0,1,2?表2給出了在取這兩種標準正交基時,所取展開項數(shù)及引起的均方相對誤差情況.(2)標準正交基的確定ΚU(x1,x2,ω)=exp{-ω100|x1-x2|}文獻給出了該類問題K-L分解的解析式.現(xiàn)選取完備的歸一化三角函數(shù)集和勒讓德多項式作為標準正交基,分別計算ω=1,5,10三種情況下,所取展開項數(shù)及所引起的均方相對誤差.見表3.從表2,3可看出,用很少的展開項數(shù)就可把握隨機場的概率特征.同時,不同標準正交基對于隨機場展開的均方誤差有一定影響;基于標準正交基的展開方法所產(chǎn)生的均方誤差,與K-L分解較接近.3標準正交基