初中數(shù)學(xué)專題：折疊問題

專題八折疊問題證【學(xué)習(xí)要點(diǎn)與方法點(diǎn)撥：出題位置：選擇、填空壓軸題或壓軸題倒數(shù)第二題折疊問題中，常出現(xiàn)的知識(shí)時(shí)軸對(duì)稱。折疊對(duì)象有三角形、矩形、正方形、梯形等；考查問題有求折點(diǎn)位置、求折線長、折紙邊長周長、求重疊面積、求角度、判斷線段之間關(guān)系等；軸對(duì)稱性質(zhì)一 折線，是對(duì)稱軸、折線兩邊圖形全等、對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線垂直對(duì)稱軸、對(duì)應(yīng)邊平行或交點(diǎn)在對(duì)稱軸上。壓軸題是由一道道小題綜合而成，常常伴有折疊；解壓軸題時(shí)，要學(xué)會(huì)將大題分解成一道道小題；那么多作折疊的選擇題填空題，很有必要。 基本圖形：在矩形ABCD中，將4ABF沿BE折疊至△FBE,可得何結(jié)論？結(jié)論：（1）全等；（2）垂直。L J（1）基本圖形練習(xí)：如圖，將三角形紙片ABC沿過點(diǎn)A的直線折疊，使得AC落在AB上，折痕為AD,展開紙片；再次折疊，使得A和D點(diǎn)重合，折痕為EF，展開紙片后得到44￡巳則AAEF是等腰三角形，對(duì)嗎？疊，使點(diǎn)0落在BE邊上的點(diǎn)D’，折痕為疊，使點(diǎn)0落在BE邊上的點(diǎn)D’，折痕為EG（圖2），EA1- / ID 4 再展開紙片，求圖（3）中角a的大小。E nA Ex\:/'\c?（2）折疊中角的考法與做法：將矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)B的直線折疊，使得A落在BC邊上的點(diǎn)F處，折痕為BE（圖1）；再沿過點(diǎn)E的直線折〖九年級(jí)第8講專題精講〗使得頂點(diǎn)B落在CD使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處.（3）折疊中邊的考法與做法：如圖,將邊長為6cm的正方形ABCD折疊，使點(diǎn)D落在AB邊中點(diǎn)E處折痕為FH,點(diǎn)C落在Q處，EQ與BC交于點(diǎn)G，則4EBG的周長是多少？★解題步驟：第一步：將已知條件標(biāo)在圖上；第二步：設(shè)未知數(shù)，將未知數(shù)標(biāo)在圖上；第三步：列方程，多數(shù)情況可通過勾股定理解決。J*模塊精講例1。（2014揚(yáng)州）已知矩形ABCD的一條邊AD=8,將矩形ABCD折疊（1）如圖1，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連結(jié)AP、OP、OA.①求證：△OCPs^PDA；②若△OCP與^PDA的面積比為1：4,求邊AB的長；（2）若圖1中的點(diǎn)P恰好是CD邊的中點(diǎn)，求NOAB的度數(shù)；（3）如圖2,在〔1）的條件下，擦去折痕AO、線段OP,連結(jié)BP.動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上（點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不重合），動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長線上，且BN=PM,連結(jié)MN交PB于點(diǎn)尸，作ME±BP于點(diǎn)E.試問當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過程中,線段EF的長度是否發(fā)生變化？若變化，說明理由；若不變求出線段EF的長度.〖九年級(jí)第8講專題精講〗例2.（2013?蘇州）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，將△ADE沿AE折疊后得到△AFE,且點(diǎn)F在矩形ABCD內(nèi)部.將AF延長交邊BC于點(diǎn)G.若當(dāng)"，則祟 用含k的代數(shù)式表示）.UhkHbDECA B例3、（2013?蘇州）如圖，點(diǎn)O為矩形ABCD的對(duì)稱中心，AB=10cm,BC=12cm,點(diǎn)E、F、G分別從A、B、C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s,^F的運(yùn)動(dòng)速度為3cm/s,點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度為1。5cm/s,當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)C（即點(diǎn)F與點(diǎn)C重合）時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng).在運(yùn)動(dòng)過程由△EBF關(guān)于直線EF的對(duì)稱圖形是△EB'F.設(shè)點(diǎn)E、F、G運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（單位:s）.（1）當(dāng)t=s時(shí)，四邊形EBFB,為正方形;（2）若以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F,C,G為頂點(diǎn)的三角形相似，求t的值;（3）是否存在實(shí)數(shù)t,使得點(diǎn)B'與點(diǎn)O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.〖九年級(jí)第8講專題精講〗

例4、如圖，已知矩形紙片ABCD,AD=2,AB=4.將紙片折疊，使頂點(diǎn)A與邊CD上的點(diǎn)E重合，折痕FG分別與AB,CD交于點(diǎn)G,F,AE與FG交于點(diǎn)O.(1)如圖1,求證：A,G,E,F四點(diǎn)圍成的四邊形是菱形;點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn);(2)如圖2,當(dāng)4AED的外接圓與點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn);(3)如圖2,在(2)的條件下,求折痕FG的長.圖1 圖1 圖?例5、已知例5、已知AD〃BC,ABLAD,點(diǎn)￡,點(diǎn)F分別在射線AD,關(guān)于BD對(duì)稱，AC與BD相交于點(diǎn)6,則（ ）A.1+tanNADB=，'2 B.2BC=5CFC.ZAEB+220=NDEF D.4cosNAGB="6射線BC上.若點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于AC對(duì)稱，點(diǎn)E與點(diǎn)F〖九年級(jí)第8講專題精講〗課堂練習(xí)1、2、（2014連云港）如圖1,將正方形紙片ABCD對(duì)折，使AB與CD重合，折痕為EF.如圖2,展開后再折疊一次，使點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，折痕為GH，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M，EM交AB于N,則tan/ANE=.電E DA 5 DR圖3 圖43、（2014?徐州）如圖3,在等腰三角形紙片ABC中，AB=AC,NA=50°,折疊該紙片，使點(diǎn)A落在點(diǎn)B處,折痕為DE,貝INCBE=°.4、（2014?揚(yáng)州）如圖4,△ABC的中位線口￡=5?:m把4ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)F處，若A、F兩點(diǎn)間的距離是8cm,則△ABC的面積為cm2.5、（2013?揚(yáng)州）如圖1,在梯形ABCD中,AB〃CD,NB=90°,AB=2,CD=1,BC=m,P為線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)，且和B、C不重合，連接PA,過P作PE±PA交CD所在直線于E.設(shè)BP=x,CE=y.（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E總在線段CD上，求m的取值范圍；〖九年級(jí)第8講專題精講〗

■課后鞏固習(xí)題1、（2014?淮安）如圖,在三角形紙片ABC中，AD平分NBAC7^ABC折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，展開后折痕分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，連接DE、DF.求證：四邊形AEDF是菱形.2、（2013?宿遷）如圖,在梯形ABCD中,AB〃DC,NB=90°,且AB=10,BC=6,CD=2.點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)E作EF〃AD交邊AB于點(diǎn)F.將^BEF沿EF所在的直線折疊得到△GEF,直線FG、EG分別交AD于點(diǎn)M、2當(dāng)EG過點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)E即停止運(yùn)動(dòng).設(shè)BE=x,△GEF與梯形ABCD的重疊部分的面積為y.（1）證明△AMF是等腰三角形；（2）當(dāng)EG過點(diǎn)D時(shí)（如圖（3）），求x的值；DC（3）將y表示成x的函數(shù)，并求y的最大值.DC〖九年級(jí)第8講專題精講〗3、如圖，在矩形ABCD中"8=6508,把ABCD沿著對(duì)角線B